量子力学第六章

q 其中P = r + A 由正则方程还可得: c 由正则方程还可得 正则动量 = q(E + v ×B) r
机械动量
c. 粒子 粒子(,q)的Hamiltonian 的
ii. 量子情形
1 q 2 = i, 算符化 P →P H= (P A) + qφ 2 c 取库仑规范 A = 0 P A= A P 2 = 1 P2 e A P + e A2 + qφ H 2 c 2c2
0 z
r r
(H, l 2 , lz ) 的共同本征函数 也是
考 自 虑 旋 eB Enrlm = Enrl + m ==== Enrl + (m+ 2ms )ωL 2c 1
eB ωL ≡ 2c
Larmor
3p
l=±1; m=0,±1; ms=0 ± =0,
0 1
1 0 1
ω = ω0 ωL
= 1 [(P eB y)2 + P2 + P2 ] = H + 1 P2 H x y z 0 z 2M c 2M
暂不考虑z向的自由运动 暂不考虑 向的自由运动
的共同本征态: (H0 , P ) 的共同本征态 x
ψ (x, y) = e
iP x/ x
φ( y)
cP y0 ≡ x eB
Leabharlann BaidueB ωc ≡ = 2ωL Mc
1 eB 2 2 d2 [(P y) ]φ( y) = Eφ( y) x 2 2M c dy
2 1 ′′( y) + Mωc2 ( y y0 )2φ( y) = Eφ( y) φ 2M 2
1 En = (n + )ω 2
φn ( y, y0 ) ∝ e
α2 ( y y0 )2 /2
频 率
ω0
ω0
ω = ω0 ωL ω0 ω = ω0 + ωL ω = ω0 + ωL
3s
ms =1/ 2
0 m
ms = 1/ 2
0 m
未加外磁场
加强磁场B
§6.3 Landau能级 能级 ——具有分立能谱的非束缚定态 具有分立能谱的非束缚定态 强匀场 B = Bk中的电子 A = By, Ay = A = 0 x z
第6章 电磁场中粒子的运动 章
电磁场中荷电粒子的运动, §6.1电磁场中荷电粒子的运动,两类动量 电磁场中荷电粒子的运动 6.1.1 分析力学之哈密顿正则方程 m m2 1 i.选择广义坐标 qα t = 0: 选择广义坐标
x1, x2 , x3
m3
x2 x3
t =t:
ii. 能量分析
x1
1 2 2 2 k T = (mx1 + m2x2 + m3x3 ), V = [(x2 x1)2 + (x3 x2 )2 ], 1 2 2 iii. 写出 写出Largrenge量L = L(qα , qα ), 对保守系 L =T V 量
1 H= + + + k[(x2 x1)2 + (x3 x2 ) ] 2m 2m2 2m3 2 1
2 p1 2 p2 2 p3
α 2
6.1.2 荷电粒子的 荷电粒子的Hamiltonian 1 A i. 经典情形 φ E = a. 引入矢势 A和标势 φ ,则电磁场 引入矢势 c t B =× A b. 规范不变性 ′ A→ A = A+χ(r , t) (A, iφ)与(A′, iφ′)表同一E, B 1 χ(r , t) , 库仑规范: 库仑规范: A = 0 φ →φ′ = φ c t
Hn[α( y y0 )]
可见: 分立的能级 可见 i.分立的能级 En无穷度简并 ii.属于分立能级 En的定态是非束缚的 属于分立能级
cP ∵y0 = x eB ∴ y0 ∈(∞, ∞)
�
可以证明, 可以证明,薛定谔方程仍具有规范不变性 ρ 6.1.3 定域的概率守恒与流密度 + j = 0
j = Re(ψ vψ ),
*
= (P q A) / v c
t
正常Zeeman效应 §6.2 正常 效应 ——强磁场中原子谱线三分裂 强磁场中原子谱线三分裂
1 A = By / 2 A = B×r , x 原子范围内外磁场 y 缓变, 缓变,可视为匀强 若 2 Bk, 则 A = Bx / 2 原子实屏 B= A = 0 蔽库仑场 z 对碱金 1 eB 2 eB 2 2 x z 属原子 H = 2 [(P 2c y) + (Py + 2c x) + P ] +V(r) 较小 1 2 eB e2B2 2 = [P + lz + 2 (x + y2 )] +V(r) U = M B 2 c 4c e 1 2 eB eB M= L = P +V(r) + lz = H0 + lz 2c 2 2c 2c (H , l 2 , l )的共同本征函数 ψn lm = Rn l (r)Y (θ,) lm
L iv. 定义正则动量 pα ≡ 定义正则动量 α q
pi = mxi i
v. 定义 定义Hamiltonian(哈密顿量 对保守系 H =T +V 哈密顿量) 哈密顿量 H = H(qα , pα ) ≡ ∑qα pα L
H pα = q α vi. Hamilton正则方程 正则方程 q = H α pα mx1 = p1 = k(x2 x1) 1 m2x2 = p2 = k(x1 2x2 + x3 ) m x = p = k(x x ) 2 3 33 3