混沌电路的详解(课堂PPT)

R 4 22k
15V
O
15V
R6 R2
2.2k
220
R6
3.3k
O
15V
R 5 22k
15
蔡氏电路状态方程为：
dv 1
dt
G C1
(v2
v1 )
G C1
v1
dv 2 dt
1 C 2 iL
G C2
( v1 v 2 )
di
L
dt
1 L v2
其中，v1和v2分别是电容C1、C2两端的电压，iL是电感L 中的电流， G=1/RNL是等效非线性电阻RNL的电导。 G(v1)由下式决定，重写于下：
典型蔡氏电路双涡旋相图
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将 3 个相图画在一起并用立体图的形式表示则 如图 (d) 所示。由相图清楚可见，相图轨线在三维 相空间中围绕两个点旋绕并在这两个点之间跳来跳 去，永不闭合，运动是无周期的。这样的相图很像 两个靠近的旋涡，所以称蔡氏电路的这一个运动形 态叫做“双涡旋”。图(e)是三维相图的形象化画 法。
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以输入激励信号的幅值Um为横轴，以等激励周期横截 输出所得点为纵轴，得到倍周期分岔图如下图所示。
当输入电压的幅值Um继续增长，例如达到Um2时，回 路电流仍 为周期性的非正弦电流，但它的周期变为输入 信号周期的4倍，即Tm2=4T=1/(4f)。这种现象称为4周期 分岔。回路电流i的周期数与输入信号的幅值Um的关系如
混沌电路的详解
组长：赵昕 组员：杨念,李翩，龚婷，吴鹏，王智源，
黎好栩，胡园园，刘心宇，张家懿 郭磊，邓博，李成
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目录
Ⅰ.混沌电路引言
ⅰ.传统非线性电路和现代非线性电路的区别 ⅱ.混沌的定义 ⅲ.简单混沌电路的介绍 ⅳ.产生混沌电路的基本条件
Ⅱ.混沌电路常用的微分方程
Ⅲ.典型混沌电路及其分析
ⅰ.蔡氏电路 ⅱ.chen氏电路 ⅲ. Liu电路
(a) 稳定焦点，v1波形 (b)周期1，v1波形 (c)周期3，v1波形 (d)单涡旋，v1波形 (e)双涡旋，v1波形
(f)稳定焦点，v2波形 (g)周期1，v2波形 (h) 周期3，v2波形 (i) 单涡旋，v2波形 (j) 双涡旋，v224波形
R=1.320kΩ～1.300kΩ，无波形，有一个短暂的 不动点。
x
ax
z b z ( x c )
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(7) 陈氏(Chen’s，陈关荣)方程
x a(y x)
y
(c
a)x
xz
cy
z xy bz
（8）负阻尼振荡器
xy ya(1x2)yx3bcofs)t(
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典型混沌电路及其分析
蔡氏电路
1983年美国科学家蔡少棠发明了蔡氏混沌电路，促进了 现代非线性电路理论的发展。
当输入电压的振幅值Um小于1V时，回路电流i是一 个与输入信号同频率、同周期的非正弦电流。回路电 流i的频率为f=2MHz，周期为T=1/f=0.5μs。回路电流i 的周期变化与输入信号的幅值Um的关系如下图中0～ Um1段所示。
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当输入电压的幅值Um增加至1~2V之间的某一 个值Um1时，回路电流i是一个周期性的非正弦电 流，而且它的幅度具有如下的规律：
组中的第一个方程是非线性方程。
v1 R v2
iL
1.5k
iNL
L
17mH
C2
C1
R NL
100nF 10nF
R
iL
1.5k
L
17mH
C2
C1
100nF 10nF
R1 220
15V
R 4 22k
15V
O 15V
R 6 R 2 220 R 6
2.2k
3.3k
O 15V
R5 22k
蔡氏电路方框图和它的实现电路 17
R继续减小会出现周期3、周期6、周期12等，并 第二次进入单涡旋混沌。这样继续周期—混沌—周 期—混沌地演变，直至洛斯勒形混沌结束。
(a) 稳定焦点，v1波形 (b)周期1，v1波形 (c)周期3，v1波形 (d)单涡旋，v1波形 (e)双涡旋，v1波形
蔡氏电路v1与v2信号输出波形
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R减少至R=1.7165kΩ时演变成双涡旋图形。基 本范围是R为1.716kΩ～1.300kΩ。仔细调试R值(在 1/10000精度内)并仔细观察还会发现，双涡旋混沌 相图的演变中也有各种“周期”出现，例如 R=1.349 kΩ时出现“周期5”，R=1.324kΩ时出现 “周期3”等。如图(c)和图(e)所示。
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混沌电路常用的微分方程 在混沌电路的分析与设计中常用的几个非线性 微分方程与迭代方程是： (1) 李纳德(Lienard)方程
x f(x )x g (x ) 0
(2) 范德波尔(Van Der Pol)方程
x (x 2 1 )x x 0
(3) 杜芬(Duffing)方程
x 2x k x a x 3 A c o st
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Liu混沌电路
过去，由于技术和观念的局限，我们总是将不少 的非线性系统在某个区间内或在一定的条件下简化为 线性问题来处理。然而，我们周围的很多事物实际上 都是以非线性的规律运行着。
混沌学就是力图探索非线性系统运动的真实规律， 揭示它的本质，刻画它的基本特征，了解它的动力学 行为，并对它加以控制和利用。
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为了对混沌电路有一个初步的了解，下面介绍
上图所示的电压电流关系说明电路产生了混沌 现象。
这种能产生混沌形象的电路称为混沌电路。
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一个电路能够产生混沌现象的最基本条件是电 路中有非线性元件。如果电路中一个元件的参数 随电路变量的变化而变化，则该元件称为非线性 元件。
常遇到的非线性元件有非线性电阻、非线性电 容和非线性电感。如果一个电路中含有非线性元 件，则该电路就叫做非线性电路；如果一个非线 性电路中只含有非线性电阻，而不含有其他非线 性元件，则该电路就叫做非线性电阻电路；如果 一个非线性电路中含有非线性电容或非线性电感 这样的动态元件，则该电路就叫做非线性动态电 路。
G bV(G bG a)Ea IG(V) GaV
G bV(G aG b)Ea
(VEa) (Ea≤ V≤ Ea)
(VEa)
或
1 I G ( V ) G b V 2 (G a G b ) V E V E 16
所以下图电路由v1、v2、iL三个状态变量描述，构 成三维相空间。由于G(v1)是非线性电导，可以用 多项式函数展开，含有高次项，所以在上式方程
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蔡氏电路元件参数对运动形态的影响
蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有 不同的拓扑性质。以电路元件参数值作为控制参数 可以使蔡氏电路工作在不同的拓扑结构状态。
下面以下图电路为例，讨论R在1.298 kΩ～1.92 kΩ这一范围内变化时电路的状态。
iL
L
17mH
R
1.5k
C2
100nF
C1
10nF
在激励信号的第一个周期，响应电流i的振幅 较小。而在激励信号的第二个周期，响应电流i 的的振幅较大。在激励信号的第三周期，响应电 流i的振幅与激励信号的第一个周期时相同。在 激励信号的第四个周期，响应电流i的振幅与激 励信号的第二个周期时相同。可见，在这个电路 中，激励信号变化了四个周期，响应信号变化了 两个周期。这种现象称为2周期分岔。
现代非线性电路则主要研究混沌电路，而混沌电 路的主要研究内容包括混沌电路的概念、数学基础、 基本分析方法、基本设计方法、电路中的分形、混沌 测量与控制、混沌保密通信、孤立子通信、神经网络 电路以及混沌电路在现代通信系统和信号处理中的应 用等。
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“混沌”一词的基本含义是无序、不确定。混沌作 为一门科学，至今在学术界尚无统一的定义。一般来 说，混沌是自然界中由确定性的运动条件而导致的不 确定、如同随机运动的一类运动状态。混沌运动是普 遍存在于人类生活、自然科学各个领域的一种基本的 非线性现象。当然，混沌也存在于电子学的各个领域， 它在电子学中涉及的范围也是相当广泛的。
R=1.200kΩ～1.000kΩ时，10.0ms之前不动，之 后缓慢增幅振荡从而达到最大振幅，呈单叶周期。
各种演变的波形图如图所示。
(a) 稳定焦点，v1波形 (b)周期1，v1波形 (c)周期3，v1波形 (d)单涡旋，v1波形 (e)双涡旋，v1波形
(f)稳定焦点，v2波形 (g)周期1，v2波形 (h) 周期3，v2波形 (i) 单涡旋，v2波形 (j) 双涡旋，v2波形
(a) 稳定焦点，v1波形 (b)周期1，v1波形 (c)周期3，v1波形
(b)
(d)单涡旋，v1波形 (e)双涡旋，v1波形
蔡氏电路v1与v2信号输出波形
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R为1.918 kΩ～1.820kΩ，周期2；R为1.819 kΩ～ 1.818kΩ，周期4；R+1.787kΩ，周期8；R=1.786kΩ， 周期16；R继续减少至1.750kΩ为单涡旋图形，这 是电路第一次进入单涡旋混沌，为洛斯勒形混沌吸 引子。如图(d)所示。
蔡氏电路的原理如左图所示。用有源电路实现的一种蔡 氏电路如右图所示，其中虚线框中的电路就是双运算放大 器非线性电阻电路。虚线框外的电路与左图中的完全相同。
v1
R
v2
iL
L
17mH
1.5k
C2
C1
100nF
10nF
i NL R NL
R
iL
L
17mH
1.5k
C2
C1
100nF 10nF
R 1 220
15V
R 1 220
15V
O
15V
R 6 R 2 220
2.2k
R6
3.3k
R 4 22k
15V
O
15V
R 5 22k
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先考虑R很大的情况，即R>1.92kΩ，如R为100KΩ，
电路状态变化中v1与v2相图为稳定焦点，呈蝌蚪形，为衰 减振荡，如图(a)所示。这就是不动点。
R逐渐减小至1.911kΩ时，等幅振荡。如图 (b)所示。 R逐渐减小至1.910kΩ时，增幅振荡开始，L、C2振幅 增至3.7V，C1两端电压振幅增至3.7V，周期1。
如下图所示的最简单的混沌电路，该电路称为林 森混沌电路。电路由电阻R、电感L、变容二极管 D和一个外加输入信号u组成。如果元件值取 R=200，L=100µH，变容二极管D选1N4001型， 输入信号u是频率f=2MHz、振幅值Um可以变化 的正弦波电压。
林森混沌电路
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当改变输入信号的振幅值而观察电路中回路电流i 的变化情况时，就会发现如下现象：
蔡氏电路电压、电流图形分析
典型蔡氏电路的电压v1、v2与电流iL波形如下图 所示。这些波形呈现无休止的、非周期的、复杂的 运动形态。其中v1与iL在两个正、负数值之间跳来 跳去，波形相同而极性相反；v2在零附近无规则地 变化。
典型蔡氏电路中v1、v2与iL信号波形
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蔡氏电路的相图是v1-v2-iL三维空间的相轨道流线 图。在相平面的投影如图(a)、(b)、(c)所示。
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(4) 洛伦兹(Lorenz)方程
x (y x)
y
x
y
xz
z
xy
z
(5) 蔡氏电路(Chua’s Cuicut，蔡少棠)方程
x α(y x G(x))
y
x
y
z
z
y
G (x)G bx1 2(G aG b)(x1x1)
(6) 洛斯勒(Rosslor)方程
x (y z)
y
蔡氏电路v1与v2信号输出波形
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各种演变的相图如下图所示：
蔡氏电路相图中看到的混沌演变(v1-v2相图) 26
Chen氏混沌电路
Chen氏混沌系统是 Chen 等提出的 一种新的吸引子。近年来 ,关于 Chen 氏 系统本身特性的研究以及控制与同步的 研究越来越多。目前 ，关于该系统的电 路实现和同步控制的电路实现的研究报 道不多。
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现代电路理论的一个重要内容就是现代非线性电
路理论，而现代非线性电路的一个重要内容就是混沌 电路。
传统的非线性电路主要研究频率变换电路、非线 性器件、功率放大电路、振荡电路、模拟乘法电路、 混频电路、调制与解调电路以及这些电路中的非线性 特性及分析与设计方法等。它的一个主要特征是，当 信号经过这种电路后将会产生新的频率分量。
下图中Um2～Um4段所示。
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之后，回路电流仍然是周期性的非正弦电流，但它的 周期会变为输入信号周期的8倍、16倍。即出现8周期分 岔和16周期分岔。
自16周期分岔后，电路的电流开始变成非周期性的非 正弦电流，而且该电流在一定区域内进行永不重复的振 荡，如右图所示。这时我们称电路进入了混沌状态。
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如果电路的条件不发生变化或在一定的范围内 变化，这种状态将会在电路中一直持续下去。输 入电压变化时混沌持续进行的这个区域称为混沌 区。
在该电路中，混沌区实际上是指能够使混沌持 续进行的输入电压变化的一个范围。在经过一个 混沌区后，随着输入电压幅值的增加，电路中还 会出现3周期分岔、6周期分岔、12周期分岔。然 后再进入另一个混沌区。