混沌电路的详解(课堂PPT)
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混沌电路的设计ppt课件
R
C
xi
-
+x
xi C dx
R
dt
dx dt
1 RC
xi
:
1. 混沌模拟电路设计原理
利用反相加法器实现加法运算
R1
R
x1
x2
c
R2
xo
R3
x3
-
+
x0R R1x1R R2 x2R R3x3
:
1. 混沌模拟电路设计原理
利用反相器实现 “反号〞运算
利用反相放大器实 现“比例〞运算
R
R
-
xi
+ xo
R2
R1
-
xi
+ xo
R x0 R xi xi
x0
R2 R1
xi
kxi
:
1. 混沌模拟电路设计原理
利用乘法器实 现乘法运算
AD633
x
y
z
z xy
w x1 x2 y3 y4 z
10 when x2 y4 z 0 w x1 y3
10
:
1. 设计实例
x ay x
x 1 R y x
RC R1
y
1 RC
R R3
x
1 RC
R R4
y
1 RC
R R6
1 10
xz
1 RC
R R5
u
z
1 RC
R R8
xy 10
1 RC
R R7
z
u 1 R x RC R9
:
1. 设计实例
We may write equation (17) in normalized dimensionless form by rescaling the variables as x’=10x, y’=10y, z’=10z , u’=10u , t’=t/10RC and then redefining x’, y’,z’ , u’, as x, y, z, u , t respectively. Thus:
电路PPT
关于混沌电路的研究
组员：
苏 宇 仇 志 黄洪康
引言
非线性特性才是自然界的基本特性和本质 存在 混沌学揭示的随机性存在于确定性之中的 这一科学事实，最有力的说明客观实体可以 兼有确定性和随机性。
混沌现象的发现
公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体问 题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊人的 复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性。他 在《科学的价值》一书中写道：“初始条件的微小差别在 最后的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促成了 后者的巨大误差，于是预言变的不可能了”。这些描述实 际上已经蕴涵了“确定性系统具有内在的随机性”这一混 沌现象的重要特征。
Pspice仿真电路的过程
以此电路图为基础，改变电路元件参数，逐 次对电路图进行模拟仿真。
V 对典型蔡氏电路(R=1.5kΩ)的电压 ， 1 与 V 2电 流i 进行测定。
L
i L 波形
V1波形
V2波形
所有波形呈现无休止的、非周期的、复杂的运动形态。其 实 与 i L 在两个正负数值之间跳来跳去，波形相同而极性 相反;V 2在零附近无规则变化。
Pspice的简介
• 本次实验主要由pspice进行仿真。对该软件进行必 要的简单介绍。 • 用于模拟电路仿真的SPICE（Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis）软件于1972年由 美国加州大学伯克利分校的计算机辅助设计小组 利用FORTR AN语言开发而成，主要用于大规模集 成电路的计算机辅助设计。它具有这样一些特点： • 1采用直观的图形界面创建电路，在计算机屏幕上 模拟仿真实验台。 • 2软件带有丰富的电路元件库，便于设计电路 • 3实用性强，简单方便。仿真效果好，很好的的模 拟出相位图，频率图，波形图.
组员：
苏 宇 仇 志 黄洪康
引言
非线性特性才是自然界的基本特性和本质 存在 混沌学揭示的随机性存在于确定性之中的 这一科学事实，最有力的说明客观实体可以 兼有确定性和随机性。
混沌现象的发现
公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体问 题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊人的 复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性。他 在《科学的价值》一书中写道：“初始条件的微小差别在 最后的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促成了 后者的巨大误差，于是预言变的不可能了”。这些描述实 际上已经蕴涵了“确定性系统具有内在的随机性”这一混 沌现象的重要特征。
Pspice仿真电路的过程
以此电路图为基础，改变电路元件参数，逐 次对电路图进行模拟仿真。
V 对典型蔡氏电路(R=1.5kΩ)的电压 ， 1 与 V 2电 流i 进行测定。
L
i L 波形
V1波形
V2波形
所有波形呈现无休止的、非周期的、复杂的运动形态。其 实 与 i L 在两个正负数值之间跳来跳去，波形相同而极性 相反;V 2在零附近无规则变化。
Pspice的简介
• 本次实验主要由pspice进行仿真。对该软件进行必 要的简单介绍。 • 用于模拟电路仿真的SPICE（Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis）软件于1972年由 美国加州大学伯克利分校的计算机辅助设计小组 利用FORTR AN语言开发而成，主要用于大规模集 成电路的计算机辅助设计。它具有这样一些特点： • 1采用直观的图形界面创建电路，在计算机屏幕上 模拟仿真实验台。 • 2软件带有丰富的电路元件库，便于设计电路 • 3实用性强，简单方便。仿真效果好，很好的的模 拟出相位图，频率图，波形图.
混沌电子学讲座ppt-PowerPoint演示文稿
2004.5
混沌电子
抛物线映射及混沌 (4) — 混沌轨道、相空间和相图
• 混沌轨道
** 在有限长的轨道点中，有某些近似的重复图式或“结构” ** 用该有限长为单位考察整个轨道时，该有限长的出现为
随机的 ** 当该有限长轨道点个数为1时，混沌轨道即为随机轨道 ** 混沌轨道对初值极为敏感
勇于开始，才能找到成功的路
• 1983年前 Leon O. Chua（蔡绍棠）给出了Chua电路的原型
• 1983年 T. Matsymoto给出了Chua电路的计算机模拟结果，并
命名为Chua电路
• 1984年 G. Q. Zhong和F. Ayrom给出了第一个混沌实验结果
• 1984年
继Zhong和Ayrom后， T. Matsymoto，给出了第二个 Chua电路的实验结果，该实验电路由Tokynaga设计
2004.5
混沌电子
混沌的概念 （3）
—— 混沌定义的要素
• 混沌定义的要素
· 确定论 —— 摆的运动是一个混沌运动
·
随机论
·
非线性
·
确定论中的随机轨道是混沌轨道的特例，即其
中近似
重复图式的长度为1
－－郝柏林
• 混沌是一种新的动力学的观点
· 混沌企图，也有可能消除确定论和随机论之间的鸿沟
· 20世纪科学将永远记住的三件事将是相对论、量子力
• 倍周期分岔通向混沌的道路 • 切分岔通向混沌的道路（阵发混沌道路） • N＋1周期增加通向混沌的道路
2004.5
混沌电子
混沌电子学的概念 (1)
—— 历史（1）
• 混沌电子学形成
• 80年代初，电子学界开始关注非线性电路系统的动力学 行为
混沌电路的详解
过去，由于技术和观念的局限，我们总是将不少
的非线性系统在某个区间内或在一定的条件下简化为 线性问题来处理。然而，我们周围的很多事物实际上 都是以非线性的规律运行着。
混沌学就是力图探索非线性系统运动的真实规律，
揭示它的本质，刻画它的基本特征，了解它的动力学 行为，并对它加以控制和利用。
为了对混沌电路有一个初步的了解，下面介绍 如下图所示的最简单的混沌电路，该电路称为林 森混沌电路。电路由电阻R、电感L、变容二极管 D和一个外加输入信号u组成。如果元件值取 R=200，L=100µH，变容二极管D选1N4001型， 输入信号u是频率f=2MHz、振幅值Um可以变化 的正弦波电压。
林森混沌电路
当改变输入信号的振幅值而观察电路中回路电流i
的变化情况时，就会发现如下现象：
当输入电压的振幅值Um小于1V时，回路电流i是一 个与输入信号同频率、同周期的非正弦电流。回路电 流i的频率为f=2MHz，周期为T=1/f=0.5μs。回路电流i 的周期变化与输入信号的幅值Um的关系如下图中0～ Um1段所示。
(4) 洛伦兹(Lorenz)方程
x (y x)
y
x
y
xz
(5) 蔡氏z 电 xy路 (Cz hua’s Cuicut，蔡少棠)方
程
x α(y x G(x))
y
xyຫໍສະໝຸດ zz yG(x)
Gb x
1 2 (Ga
Gb )(
x
1
x
1 )
(6) 洛斯勒(Rosslor)方程
x (y z)
现代电路理论的一个重要内容就是现代非线性电
路理论，而现代非线性电路的一个重要内容就是混沌 电路。
传统的非线性电路主要研究频率变换电路、非线
的非线性系统在某个区间内或在一定的条件下简化为 线性问题来处理。然而，我们周围的很多事物实际上 都是以非线性的规律运行着。
混沌学就是力图探索非线性系统运动的真实规律，
揭示它的本质，刻画它的基本特征，了解它的动力学 行为，并对它加以控制和利用。
为了对混沌电路有一个初步的了解，下面介绍 如下图所示的最简单的混沌电路，该电路称为林 森混沌电路。电路由电阻R、电感L、变容二极管 D和一个外加输入信号u组成。如果元件值取 R=200，L=100µH，变容二极管D选1N4001型， 输入信号u是频率f=2MHz、振幅值Um可以变化 的正弦波电压。
林森混沌电路
当改变输入信号的振幅值而观察电路中回路电流i
的变化情况时，就会发现如下现象：
当输入电压的振幅值Um小于1V时，回路电流i是一 个与输入信号同频率、同周期的非正弦电流。回路电 流i的频率为f=2MHz，周期为T=1/f=0.5μs。回路电流i 的周期变化与输入信号的幅值Um的关系如下图中0～ Um1段所示。
(4) 洛伦兹(Lorenz)方程
x (y x)
y
x
y
xz
(5) 蔡氏z 电 xy路 (Cz hua’s Cuicut，蔡少棠)方
程
x α(y x G(x))
y
xyຫໍສະໝຸດ zz yG(x)
Gb x
1 2 (Ga
Gb )(
x
1
x
1 )
(6) 洛斯勒(Rosslor)方程
x (y z)
现代电路理论的一个重要内容就是现代非线性电
路理论，而现代非线性电路的一个重要内容就是混沌 电路。
传统的非线性电路主要研究频率变换电路、非线
混沌系统理论 ppt课件
非周期定态
在奇怪吸引子上的运动是系统的一种稳 定定态行为。 在奇怪吸引子上的运动具有回归性，但 混沌的回归性是不严格的，是非周期的。 非周期运动也可能是定态行为，非周期 定态未必都是混沌。
｛ ｛ 回归性
严格的周期性 周期性
准周期性
｛混沌式非周期
非周期性
非混沌式非周期
非线性回归 完备分类
对初始条件的敏感依赖性
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。
洛伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
“上帝的指纹”
混沌理论的特征
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家--曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自然的分形 几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
康托尔三分集
谢尔宾斯基地毯
分 形 项 链
在离散系统中，通常取逻辑斯蒂方程为典型系 统。
Logistic Equation：
x n 1 a x n (1 x n ) 或
xn1 1 x 2
虫口模型
逻辑斯蒂方程在生态学中的应用是无世代交叠的 虫口系统，x为状态变量，a或λ为控制变量。方程 给出第n代虫口数与第n+1代虫口数的确定性关系。 0<x<1， 0<a<4
近代物理实验--混沌通信原理及其应用课件PPT
2021/3/10
21
注意事项
1.在拔出和插入模块前，一定要关闭实验仪电源。
2. 在调整混沌过程中，把W1(W2、W3)调到最大，再 慢慢调小，出现很小的图形时，按下示波器的自动 按键，使其自动选择合适显示档位。
3.系统地混沌区域较小，一定要仔细调节，一旦出 现混沌态，就不能再大幅度调节W1(W2)否则会失去 混沌态，需重新调节。
2021/3/10
8
实验仪器
信号发生器 示波器
2021/3/10
9
实验原理-非线性电阻的伏安特性
非线性电阻伏安特性
对欧姆定律不适用的导体和器件 ，即电流和电压不成 正比的电学元件叫做非线性元件。非线性元件表现出 混沌现象
2021/3/10
10
实验原理-混沌波形发生实验
蔡氏电路混沌发生实验
L-C振荡电路
从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运
动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的
2021/3/10
28
2021/3/1024 几种混沌的照片2021/3/10
25
拓展研究内容： 1.简述混沌理论在通讯中的应用
2021/3/10
26
拓展研究内容--混沌与蝴蝶效应：
❖ 1960年，美国麻省理工学院教授洛伦兹研究“长期天气预 报”问题时，在计算机上用一组简化模型模拟天气的演变。 他原本的意图是利用计算机的高速运算来提高技期天气预报 的准确性。但是，事与愿违，多次计算表明，初始条件的极 微小差异，均会导致计算结果的很大不同。
近代物理实验 --混沌通信原理及其应用
2021/3/10
1
研究混沌的意义
❖ 混沌的发现和混沌学的建立，同相对论和 量子论一样，是对牛顿确定性经典理论的重 大突破，为人类观察物质世界打开了一个新 的窗口。
并联型忆阻器混沌电路设计PPT文档共22页
并联型忆阻器混沌电路设计
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
忆阻器及忆阻混沌电路ppt课件
上述四个电路变量两两之间→_可→以建立六个数学关系式，其 中五对关系式已经为大家所熟知——分别来自R、C、L、Q 的定义和法拉第电磁感应定律（如图1所示），但φ、Q 间 的关系却一直没被揭示。
1 引言
根据图1中基本变量组合完 备性原理，，美国加州大 学伯克利分校华裔科学家 蔡少棠于1971年从理论上 预测了描述电荷和磁通关 系元件的存在性，并且定 义这类元件为记忆电阻器 （简称忆阻器，英文名称 为Memristor）.
忆阻器与忆阻混沌电路
学号： 姓名：
目录
1 2 3
忆引基阻于言器三的次等模型效型忆电阻路器模的型混沌电路 4
LOGO
.
1 引言
由电路基本理论可知，电路和元件特性是有四个基本变量 来描述的，分别为四个电路变量电压（V）、电流（I）、 磁通量（φ）和电荷量（Q） a.电压和电流关系→电阻器R b.电压和电荷关系→电容器C c.电流和磁通关系→电感器L
图3 HP TiO2 忆阻的基本模型
.
➢ HP TiO2忆阻线性杂质漂移模型和非线性窗函数模型可以统一表 示为:
式中：i为输入电流； v 为输出电压； RON.ROFF和k 为系统参数； x为状态变量； M(x)代表忆阻模型的忆阻器； Fn(x)(n=1,2,3,4,5)分别代表HP线性窗函数和4种非线性窗函数
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义 2.2 物理器件模型 2.3 数学理论模型
2.3.1 分段线性模型 2.3.2 三次型非线性模型 2.3.3 二次型非线性模型
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义
➢ 忆阻器是一个基本的无源二端元件，它的磁通量φ 与累积 的电荷q 之间的关系可以用φ -q 或q- φ平面上的一条曲 线f(φ ，q) = 0 来确定，忆阻器分为荷控忆阻器和磁控 忆阻器两种，如图2所示
1 引言
根据图1中基本变量组合完 备性原理，，美国加州大 学伯克利分校华裔科学家 蔡少棠于1971年从理论上 预测了描述电荷和磁通关 系元件的存在性，并且定 义这类元件为记忆电阻器 （简称忆阻器，英文名称 为Memristor）.
忆阻器与忆阻混沌电路
学号： 姓名：
目录
1 2 3
忆引基阻于言器三的次等模型效型忆电阻路器模的型混沌电路 4
LOGO
.
1 引言
由电路基本理论可知，电路和元件特性是有四个基本变量 来描述的，分别为四个电路变量电压（V）、电流（I）、 磁通量（φ）和电荷量（Q） a.电压和电流关系→电阻器R b.电压和电荷关系→电容器C c.电流和磁通关系→电感器L
图3 HP TiO2 忆阻的基本模型
.
➢ HP TiO2忆阻线性杂质漂移模型和非线性窗函数模型可以统一表 示为:
式中：i为输入电流； v 为输出电压； RON.ROFF和k 为系统参数； x为状态变量； M(x)代表忆阻模型的忆阻器； Fn(x)(n=1,2,3,4,5)分别代表HP线性窗函数和4种非线性窗函数
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义 2.2 物理器件模型 2.3 数学理论模型
2.3.1 分段线性模型 2.3.2 三次型非线性模型 2.3.3 二次型非线性模型
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义
➢ 忆阻器是一个基本的无源二端元件，它的磁通量φ 与累积 的电荷q 之间的关系可以用φ -q 或q- φ平面上的一条曲 线f(φ ，q) = 0 来确定，忆阻器分为荷控忆阻器和磁控 忆阻器两种，如图2所示
忆阻器及忆阻混沌电路ppt课件
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义 2.2 物理器件模型 2.3 数学理论模型
2.3.1 分段线性模型 2.3.2 三次型非线性模型 2.3.3 二次型非线性模型
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义
➢ 忆阻器是一个基本的无源二端元件，它的磁通量φ 与累积 的电荷q 之间的关系可以用φ -q 或q- φ平面上的一条曲 线f(φ ，q) = 0 来确定，忆阻器分为荷控忆阻器和磁控 忆阻器两种，如图2所示
和流入的能量
w(t0,t)
t p()d0
t0
➢ 随着时间的演化将在正值和负值之间变化。
根据蔡少棠提出的忆阻器无源定理，可以判断上式描述的是磁控 忆阻器不具备无源性，有源的。
一个有源忆阻器可以等效为一个有无源忆阻器和负电阻组成的忆 阻电力。
.
3 忆阻器的等效电路模型
3.1 模拟单元电路介绍
3.1.1 线性运算电路 3.1.2非线性运算电路 3.1.3 模拟时滞电路
.
图（2）反相加法电路
(3)同相比例电路
➢ 图下所示电路是一个同相放 大器。根据理想运算放大器 的二个特点可以知道，
u+=u-=ui,i1=i2 由图可以列出
i1R ui1,i2uR 3uouiR 3uo
可得 u o
1
R3 R1
ui
当电阻R1=∞（断开）或者
R3=0时，式可以写成
u0=ui，为电压跟随器。
.
2.2 物理器件模型
忆阻模型种类很多，大致可以分为二大类：物理器件模型 和数学理论模型。
分类： ➢ 基于金属和金属氧化物的纳米级忆阻器（惠普实验室） ➢ 基于电子磁性特性的电子自旋忆阻器 ➢ 基于具有亚纳秒开关特性的氧化钽忆阻器 ➢ 基于具有亚纳秒开关特性的铁电忆阻器 ➢ 基于具有亚纳秒开关特性的铁电隧道忆阻器 ➢ 基于具有亚纳秒开关特性的发光忆阻器
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义 2.2 物理器件模型 2.3 数学理论模型
2.3.1 分段线性模型 2.3.2 三次型非线性模型 2.3.3 二次型非线性模型
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义
➢ 忆阻器是一个基本的无源二端元件，它的磁通量φ 与累积 的电荷q 之间的关系可以用φ -q 或q- φ平面上的一条曲 线f(φ ，q) = 0 来确定，忆阻器分为荷控忆阻器和磁控 忆阻器两种，如图2所示
和流入的能量
w(t0,t)
t p()d0
t0
➢ 随着时间的演化将在正值和负值之间变化。
根据蔡少棠提出的忆阻器无源定理，可以判断上式描述的是磁控 忆阻器不具备无源性，有源的。
一个有源忆阻器可以等效为一个有无源忆阻器和负电阻组成的忆 阻电力。
.
3 忆阻器的等效电路模型
3.1 模拟单元电路介绍
3.1.1 线性运算电路 3.1.2非线性运算电路 3.1.3 模拟时滞电路
.
图（2）反相加法电路
(3)同相比例电路
➢ 图下所示电路是一个同相放 大器。根据理想运算放大器 的二个特点可以知道，
u+=u-=ui,i1=i2 由图可以列出
i1R ui1,i2uR 3uouiR 3uo
可得 u o
1
R3 R1
ui
当电阻R1=∞（断开）或者
R3=0时，式可以写成
u0=ui，为电压跟随器。
.
2.2 物理器件模型
忆阻模型种类很多，大致可以分为二大类：物理器件模型 和数学理论模型。
分类： ➢ 基于金属和金属氧化物的纳米级忆阻器（惠普实验室） ➢ 基于电子磁性特性的电子自旋忆阻器 ➢ 基于具有亚纳秒开关特性的氧化钽忆阻器 ➢ 基于具有亚纳秒开关特性的铁电忆阻器 ➢ 基于具有亚纳秒开关特性的铁电隧道忆阻器 ➢ 基于具有亚纳秒开关特性的发光忆阻器
蔡氏混沌电路的混沌现象及其simulink仿真PPT
从上图中可以看出，当电阻的值为 2.1K时，蔡氏电路的运行状态有一个渐进稳定点，并 且在稳定点附近运动。
2、蔡氏电路simulink数值仿真分析
• 2.1.2、R 1.91 K • 当 R 1.91 K 时，b=21.2098,simulink仿真结果如下：
• 当电阻的值减小到 R 1.91K 时，蔡氏电路的运动状态出现单漩涡混沌振荡。 从以上相轨图中可以观察到明显的倍周期现象。
2、蔡氏电路simulink数值仿真分析
• 2.2、调节电容 • 给定初始值：u1 0.1V , u 2 0.1V , iL 0.001 A ，固定电路参数 ,C2=100nF 、 L2=17.2mH、,此时b的值是14.51395保持不变，与以上内容不同，下面的内容 保持b的值不变，改变a的值。电容c1的值可变，simulink数值仿真可得到在不 同C1值时蔡氏电路的运行状态。
0、混沌现象及混沌电路介绍
• 0.4、混沌吸引子 • 混沌吸引子也称奇异吸引子，是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种 混沌系统中无序稳态的运动形态，它具有复杂的拉伸、扭曲的结构。奇异吸引 子是系统总体稳定性和局部不稳定性共同作用的产物，具有自相似性，具有分 形结构。从整体上讲，系统是稳定的，即吸引之外的一切运动最终都要收敛到 吸引子上。但就局部来说，吸引子内的运动又是不稳定的，即相邻运动轨道要 相互排斥而按指数型分离。
2、蔡氏电路simulink数值仿真分析
• 2.2.1、令C1=20nF，则a=5,simulink仿真结果为：
• 有以上图可以得出，改变电容的值改变a系数同样可以得到蔡氏电路的稳定状 态，此时的运动轨迹基本上在一点处，是稳定状态。
2、蔡氏电路simulink数值仿真分析
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蔡氏电路v1与v2信号输出波形
25
各种演变的相图如下图所示：
蔡氏电路相图中看到的混沌演变(v1-v2相图) 26
Chen氏混沌电路
Chen氏混沌系统是 Chen 等提出的 一种新的吸引子。近年来 ,关于 Chen 氏 系统本身特性的研究以及控制与同步的 研究越来越多。目前 ，关于该系统的电 路实现和同步控制的电路实现的研究报 道不多。
20
蔡氏电路元件参数对运动形态的影响
蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有 不同的拓扑性质。以电路元件参数值作为控制参数 可以使蔡氏电路工作在不同的拓扑结构状态。
下面以下图电路为例，讨论R在1.298 kΩ～1.92 kΩ这一范围内变化时电路的状态。
iL
L
17mH
R
1.5k
C2
100nF
C1
10nF
12
(4) 洛伦兹(Lorenz)方程
x (y x)
y
x
y
xz
z
xy
z
(5) 蔡氏电路(Chua’s Cuicut，蔡少棠)方程
x α(y x G(x))
y
x
y
z
z
y
G (x)G bx1 2(G aG b)(x1x1)
(6) 洛斯勒(Rosslor)方程
x (y z)
y
(a) 稳定焦点，v1波形 (b)周期1，v1波形 (c)周期3，v1波形
(b)
(d)单涡旋，v1波形 (e)双涡旋，v1波形
蔡氏电路v1与v2信号输出波形
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R为1.918 kΩ～1.820kΩ，周期2；R为1.819 kΩ～ 1.818kΩ，周期4；R+1.787kΩ，周期8；R=1.786kΩ， 周期16；R继续减少至1.750kΩ为单涡旋图形，这 是电路第一次进入单涡旋混沌，为洛斯勒形混沌吸 引子。如图(d)所示。
蔡氏电路电压、电流图形分析
典型蔡氏电路的电压v1、v2与电流iL波形如下图 所示。这些波形呈现无休止的、非周期的、复杂的 运动形态。其中v1与iL在两个正、负数值之间跳来 跳去，波形相同而极性相反；v2在零附近无规则地 变化。
典型蔡氏电路中v1、v2与iL信号波形
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蔡氏电路的相图是v1-v2-iL三维空间的相轨道流线 图。在相平面的投影如图(a)、(b)、(c)所示。
典型蔡氏电路双涡旋相图
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将 3 个相图画在一起并用立体图的形式表示则 如图 (d) 所示。由相图清楚可见，相图轨线在三维 相空间中围绕两个点旋绕并在这两个点之间跳来跳 去，永不闭合，运动是无周期的。这样的相图很像 两个靠近的旋涡，所以称蔡氏电路的这一个运动形 态叫做“双涡旋”。图(e)是三维相图的形象化画 法。
在激励信号的第一个周期，响应电流i的振幅 较小。而在激励信号的第二个周期，响应电流i 的的振幅较大。在激励信号的第三周期，响应电 流i的振幅与激励信号的第一个周期时相同。在 激励信号的第四个周期，响应电流i的振幅与激 励信号的第二个周期时相同。可见，在这个电路 中，激励信号变化了四个周期，响应信号变化了 两个周期。这种现象称为2周期分岔。
下图中Um2～Um4段所示。
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之后，回路电流仍然是周期性的非正弦电流，但它的 周期会变为输入信号周期的8倍、16倍。即出现8周期分 岔和16周期分岔。
自16周期分岔后，电路的电流开始变成非周期性的非 正弦电流，而且该电流在一定区域内进行永不重复的振 荡，如右图所示。这时我们称电路进入了混沌状态。
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R=1.200kΩ～1.000kΩ时，10.0ms之前不动，之 后缓慢增幅振荡从而达到最大振幅，呈单叶周期。
各种演变的波形图如图所示。
(a) 稳定焦点，v1波形 (b)周期1，v1波形 (c)周期3，v1波形 (d)单涡旋，v1波形 (e)双涡旋，v1波形
(f)稳定焦点，v2波形 (g)周期1，v2波形 (h) 周期3，v2波形 (i) 单涡旋，v2波形 (j) 双涡旋，v2波形
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以输入激励信号的幅值Um为横轴，以等激励周期横截 输出所得点为纵轴，得到倍周期分岔图如下图所示。
当输入电压的幅值Um继续增长，例如达到Um2时，回 路电流仍 为周期性的非正弦电流，但它的周期变为输入 信号周期的4倍，即Tm2=4T=1/(4f)。这种现象称为4周期 分岔。回路电流i的周期数与输入信号的幅值Um的关系如
R 4 22k
15V
O
15V
R6 R2
2.2k
220
R6
3.3k
O
15V
R 5 22k
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蔡氏电路状态方程为：
dv 1
dt
G C1
(v2
v1 )
G C1
v1
dv 2 dt
1 C 2 iL
G C2
( v1 v பைடு நூலகம் )
di
L
dt
1 L v2
其中，v1和v2分别是电容C1、C2两端的电压，iL是电感L 中的电流， G=1/RNL是等效非线性电阻RNL的电导。 G(v1)由下式决定，重写于下：
如下图所示的最简单的混沌电路，该电路称为林 森混沌电路。电路由电阻R、电感L、变容二极管 D和一个外加输入信号u组成。如果元件值取 R=200，L=100µH，变容二极管D选1N4001型， 输入信号u是频率f=2MHz、振幅值Um可以变化 的正弦波电压。
林森混沌电路
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当改变输入信号的振幅值而观察电路中回路电流i 的变化情况时，就会发现如下现象：
G bV(G bG a)Ea IG(V) GaV
G bV(G aG b)Ea
(VEa) (Ea≤ V≤ Ea)
(VEa)
或
1 I G ( V ) G b V 2 (G a G b ) V E V E 16
所以下图电路由v1、v2、iL三个状态变量描述，构 成三维相空间。由于G(v1)是非线性电导，可以用 多项式函数展开，含有高次项，所以在上式方程
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Liu混沌电路
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混沌电路常用的微分方程 在混沌电路的分析与设计中常用的几个非线性 微分方程与迭代方程是： (1) 李纳德(Lienard)方程
x f(x )x g (x ) 0
(2) 范德波尔(Van Der Pol)方程
x (x 2 1 )x x 0
(3) 杜芬(Duffing)方程
x 2x k x a x 3 A c o st
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现代电路理论的一个重要内容就是现代非线性电
路理论，而现代非线性电路的一个重要内容就是混沌 电路。
传统的非线性电路主要研究频率变换电路、非线 性器件、功率放大电路、振荡电路、模拟乘法电路、 混频电路、调制与解调电路以及这些电路中的非线性 特性及分析与设计方法等。它的一个主要特征是，当 信号经过这种电路后将会产生新的频率分量。
现代非线性电路则主要研究混沌电路，而混沌电 路的主要研究内容包括混沌电路的概念、数学基础、 基本分析方法、基本设计方法、电路中的分形、混沌 测量与控制、混沌保密通信、孤立子通信、神经网络 电路以及混沌电路在现代通信系统和信号处理中的应 用等。
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“混沌”一词的基本含义是无序、不确定。混沌作 为一门科学，至今在学术界尚无统一的定义。一般来 说，混沌是自然界中由确定性的运动条件而导致的不 确定、如同随机运动的一类运动状态。混沌运动是普 遍存在于人类生活、自然科学各个领域的一种基本的 非线性现象。当然，混沌也存在于电子学的各个领域， 它在电子学中涉及的范围也是相当广泛的。
组中的第一个方程是非线性方程。
v1 R v2
iL
1.5k
iNL
L
17mH
C2
C1
R NL
100nF 10nF
R
iL
1.5k
L
17mH
C2
C1
100nF 10nF
R1 220
15V
R 4 22k
15V
O 15V
R 6 R 2 220 R 6
2.2k
3.3k
O 15V
R5 22k
蔡氏电路方框图和它的实现电路 17
过去，由于技术和观念的局限，我们总是将不少 的非线性系统在某个区间内或在一定的条件下简化为 线性问题来处理。然而，我们周围的很多事物实际上 都是以非线性的规律运行着。
混沌学就是力图探索非线性系统运动的真实规律， 揭示它的本质，刻画它的基本特征，了解它的动力学 行为，并对它加以控制和利用。
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为了对混沌电路有一个初步的了解，下面介绍
(a) 稳定焦点，v1波形 (b)周期1，v1波形 (c)周期3，v1波形 (d)单涡旋，v1波形 (e)双涡旋，v1波形
(f)稳定焦点，v2波形 (g)周期1，v2波形 (h) 周期3，v2波形 (i) 单涡旋，v2波形 (j) 双涡旋，v224波形
R=1.320kΩ～1.300kΩ，无波形，有一个短暂的 不动点。
如果电路的条件不发生变化或在一定的范围内 变化，这种状态将会在电路中一直持续下去。输 入电压变化时混沌持续进行的这个区域称为混沌 区。
在该电路中，混沌区实际上是指能够使混沌持 续进行的输入电压变化的一个范围。在经过一个 混沌区后，随着输入电压幅值的增加，电路中还 会出现3周期分岔、6周期分岔、12周期分岔。然 后再进入另一个混沌区。
上图所示的电压电流关系说明电路产生了混沌 现象。
这种能产生混沌形象的电路称为混沌电路。
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一个电路能够产生混沌现象的最基本条件是电 路中有非线性元件。如果电路中一个元件的参数 随电路变量的变化而变化，则该元件称为非线性 元件。
常遇到的非线性元件有非线性电阻、非线性电 容和非线性电感。如果一个电路中含有非线性元 件，则该电路就叫做非线性电路；如果一个非线 性电路中只含有非线性电阻，而不含有其他非线 性元件，则该电路就叫做非线性电阻电路；如果 一个非线性电路中含有非线性电容或非线性电感 这样的动态元件，则该电路就叫做非线性动态电 路。