结构力学教案位移法和力矩分配法剖析

§7-6 用位移法计算有侧移刚架

例1.求图(a)所示铰接排架的弯矩图。

解：（1）只需加一附加支杆，得基本结构如图(b)所示，有一个基本未知量Z 1。 （2）位移法方程为0

1111=+P R Z r

（3）求系数和自由项

2211123l i

l i r ==∑

ql R P 4

3

1-=

（4）代入方程求未知量

i

ql Z 163

1=

（5）绘制弯矩图

例2.用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M 图 解：（1）此刚架具有一个独立转角Z 1和一个独立线位移Z 2。在结点C 加入一个附加刚臂和附加支杆，便得到图(b)所示的基本结构。

（2）建立位移法方程

01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r

（3）求各系数和自由项

i i i r 73411=+=， i r r 5.12112-==

16

15434122222i

i i r =

+=

01=P R

kN ql R P 60308

3

2-=--=

（4）求未知量

i Z 87.201=，i Z 39.972=

（5）绘制弯矩图

例3.用直接平衡法求刚架的弯矩图。

解：（1）图示刚架有刚结点C 的转角Z 1和结点C 、D 的水平线位移Z 2两个基本未知量。设Z 1顺时针方向转动，Z 2向右移动。 （2）求各杆杆端弯矩的表达式

3421+-=Z Z M CA 3221--=Z Z M AC 13Z M CD =

25.0Z M BD -=

（3）建立位移法方程

有侧移刚架的位移法方程，有下述两种：

Ⅰ.与结点转角Z 1对应的基本方程为结点C 的力矩平衡方程。

∑=0C

M ， 037021=+-⇒=+Z Z M M CD CA

Ⅱ.与结点线位移Z 2对应的基本方程为横梁CD 的截面平衡方程。

∑=0x

F

， 0

=+DC CA Q Q

取立柱CA 为隔离体(图(d))，∑=0A M ， 33

1

216262121-+-=---

=Z Z ql Z Z Q CA

同样，取立柱DB 为隔离体（(e))，∑=0B M ， 2212

1

65.0Z Z Q DB =--= 代入截面平衡方程得

0312

5

012133121221=-+-⇒=+-+-Z Z Z Z Z

（4）联立方程求未知量 Z 1=0.91 Z 2=9.37

（5）求杆端弯矩绘制弯矩图

将Z 1、Z 2的值回代杆端弯矩表达式求杆端弯矩作弯矩图。 例4.计算图(a)所示结构C 点的竖向位移。

解：解法（一）——用典型方程求解

（1）确定基本未知量。变截面处C 点应作为刚结点，加刚臂及支杆得位移法基本结构如图(b)

所示。其中未知量是C 点角位移Z 1和C 点的竖向线位移Z 2。 （2）位移法典型方程 01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r

（3）求各系数和自由项

i i i r 128411=+=， l

i

l i l i r r 66122112-=+-

== 22222361224l

i

l i l i r =+=

, 01=P R , ql R P -=2

（4）求未知量

EI ql Z 6631=，EI

ql Z 334

2=

Z 2即为所求的C 点的竖向位移。 解法（二）——用直接平衡法求解 （1）确定基本未知量为C 点的角

位移C ϕ和竖向线位移C ∆

（2）求各杆杆端弯矩表达式

2121

128ql l i i M C C CA +∆-=ϕ，

ql l

i l i Q C C CA 21

24122-∆+-=ϕ，

2121124ql l i M C C AC -∆-=ϕ，2121

64ql l i i M C C CB -∆+=ϕ，

ql l

i l i Q C C CB 211262+∆--=ϕ，2121

62ql l i M C C BC +∆-=ϕ

（3）建立位移法方程

∑=0C

M ， 06120=∆-⇒=+C C CB CA l

i

i M M ϕ ∑=0y

F ， 036602

=-∆+-⇒=-ql l i

l i Q Q C C CB CA ϕ （4）解方程求C ϕ和C ∆ EI ql C 663=ϕ，EI

ql C 334

=∆

§7-7 用剪力分配法计算等高铰结排架

适用范围——适用于横梁刚度无穷大只有结点线位移的铰接排架或刚架（等高或不等高） 一、柱顶有水平集中荷载作用的计算

1.取水平横梁为隔离体，由∑=0x F 得 ∑=i Q P

2.求每根竖柱的柱顶剪力， Z h EI l i Q i

i i 3233=∆=

则P P h EI h EI Q Z h EI Q P i i

i i

i

i i

i i η==

⇒==∑

∑

∑33

3

333 令3

3i

i i h EI =

γ，称为抗侧移刚度系数；∑=

i

i

i γγη称为剪力分配系数。 3.作柱的弯矩图。把每一根竖柱看成柱上端作用有集中荷载i Q 的悬臂梁作弯矩图。