三阶幻方的构造方法
三阶幻方中的规律及证明
三阶幻方中的规律及证明三阶幻方是一个3×3的正方形网格，其中填入了1到9的数字，使得每行、每列和每条对角线上的数字之和都相等。
下面我们将探讨三阶幻方的规律及证明。
首先，我们可以观察到三阶幻方的特点是，中心数字始终为5，而其他数字则根据位置的不同而有所变化。
因此，我们可以将幻方表示为：```abcd5efgh```其中a、b、c、d、e、f、g、h分别代表1到9之间的数字，不重不漏。
根据幻方的定义，我们可以列出一系列等式：1.a+b+c=15(第一行之和)2.d+5+e=15(第二行之和)3.f+g+h=15(第三行之和)4.a+d+f=15(第一列之和)5.b+5+g=15(第二列之和)6.c+e+h=15(第三列之和)7.a+5+h=15(正对角线之和)8.c+5+f=15(反对角线之和)现在我们来推导幻方的规律。
首先，我们可以将式(2)、(4)、(7)和(8)分别改写为：2.d+e=104.a+f=107.a+h=108.c+f=10由于a、d、f、h是1到9之间的数字，且不重不漏，我们可以得出以下结论：1.a+d+f+h的值必须为固定的常数，即15-10=52.c+e的值也必须为固定的常数，即10。
因此，我们可以得出以下结论：1.第一行、第一列、两条对角线的和都必须为15、即a+b+c=d+5+e=f+g+h=a+d+f=b+5+h=c+e+g=a+5+h=c+5+f=152.第二行、第二列的和都必须为10。
即d+5+e=b+5+g=10。
基于以上推论，我们可以根据“顺序原则”来构建三阶幻方。
顺序原则即我们将数字按照顺序依次填入幻方中，从1开始到9结束。
根据顺序原则，我们可以完成以下构造过程：```276951438```其中，每行、每列和每条对角线的和都为15，满足幻方的定义。
接下来，我们来证明三阶幻方的唯一性。
假设存在两个不同的三阶幻方，我们将它们表示为：```abcxyzd5e和m5nfghopq```根据幻方的定义，我们可以列出以下等式：1.a+b+c=x+y+z2.d+5+e=m+5+n3.f+g+h=o+p+q4.a+d+f=x+m+o5.b+5+g=y+5+p6.c+e+h=z+n+q7.a+5+h=x+5+q8.c+5+f=z+5+o将等式1~6代入等式7和等式8中，我们可以得到以下等式：9.x+m+o=x+5+q10.z+n+q=z+5+o由于等式9和等式10的左侧相等，右侧也必须相等。
三阶幻方的讲解
三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。
如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。
幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
这里我们主要学习三阶幻方。
例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。
（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。
同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。
三阶幻方
17
4
12
6 11 16 10 18 5
三阶幻方的构造法
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了 系统的研究阶幻方的秘诀： [九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出]
杨辉法
4 3
8
9 5
1
2 7
6
规律1： 幻和=中间数×3
三 阶 幻 方
4
3 8
9
2
7 6
5
1
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三 阶 幻 方
4 3 8
9
2 7 6
5
1
规律3：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
三 阶 幻 方
4
3
9
5
2
7
8
1
6
练习1：
补 全 这 个 幻 方
知识背景
引入： 相传，大禹治水时，洛阳西洛 宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书 ”，献给大禹。大禹依此治水成功 ，遂划天下为九州。洛水中出现的 “神龟”背上的美妙的图案，史称 “洛书”即现在的三阶幻方.
洛书
神奇的幻方
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：每一 横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等 ，这 个和叫做“幻和”
奇数三阶幻方的解法
奇数三阶幻方的解法摘要：1.奇数三阶幻方的概念及特点2.构造奇数三阶幻方的基本方法3.构造奇数三阶幻方的具体步骤4.奇数三阶幻方的验证方法5.结论正文：一、奇数三阶幻方的概念及特点奇数三阶幻方，又称为奇数阶幻方，是指一个含有N 行N 列的数表，满足如下条件：1.每一行中的数字之和等于奇数；2.每一列中的数字之和等于奇数；3.每一对角线上的数字之和等于奇数；4.每一反对角线上的数字之和等于奇数；5.N 个数字都不重复。
由于满足以上条件的数表中的数字和为奇数，因此称为奇数三阶幻方。
二、构造奇数三阶幻方的基本方法构造奇数三阶幻方的基本方法是先设定中心数，然后按照一定的规律填充其他数字。
三、构造奇数三阶幻方的具体步骤构造奇数三阶幻方的具体步骤如下：1.选择一个奇数作为中心数，例如选定数字5 作为中心数；2.将中心数放在数表的中心位置，即第3 行第3 列；3.从中心数开始，按照顺时针和逆时针方向填充其他数字。
具体规律为：- 从中心数开始，向上、下、左、右四个方向填充数字，直到碰到边界；- 碰到边界后，从该方向的对角线开始填充数字，直到碰到另一个边界；- 填充完四个方向后，再从中心数开始，按照顺时针和逆时针方向继续填充数字，直到填满整个数表。
四、奇数三阶幻方的验证方法在填充完数字后，需要验证该数表是否满足奇数三阶幻方的条件。
验证方法如下：1.验证每一行、每一列的数字之和是否为奇数；2.验证每一对角线和每一反对角线上的数字之和是否为奇数。
如果满足以上条件，则所构造的数表是一个有效的奇数三阶幻方。
五、结论通过以上步骤，我们可以构造出一个满足条件的奇数三阶幻方。
这种方法不仅适用于奇数三阶幻方，还可以推广到其他奇数阶幻方。
三阶幻方的解题技巧
三阶幻方的解题技巧三阶幻方的解题技巧1. 了解三阶幻方的基本概念和性质•三阶幻方是一个3x3的方阵，其中填充了1到9的数字，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等。
•幻方的和等于15，即每行、每列和对角线上的数字之和都为15。
2. 掌握构造幻方的基本方法先将幻方的核心数字填入方阵中•幻方的核心数字是5，将其填入方阵的正中央。
•由于幻方的和为15，剩余的数字之和为10，因此将剩下的数字5个分散填入方阵的四个角和四个边中。
使用交叉填充法填充剩余数字•从幻方的核心数字开始，按照交叉填充的方式，填充剩余的数字。
•在填充时，优先选择未被填充的位置，按照特定的顺序分别填入剩余的数字，确保满足幻方的条件。
3. 借助数学规律优化解题过程交叉填充法的数学规律•在使用交叉填充法时，填入的每个数字都满足一个特定的数学规律。
•可以观察到，相邻的两个数字之和等于15。
例如，1和9、2和8、3和7等，它们的和都等于15。
•基于这个数学规律，可以在填入数字时，选择与已填数字的补数填入，使得每个新增的数字与已填数字的和都等于15。
对角线和行列和的对称性•幻方具有对角线和行列和的对称性，即对角线上的数字之和等于行或列上数字之和。
•可以利用这个对称性来简化解题过程。
确定方阵中的某些数字后，可以根据对称性推算出其他位置应填入的数字，进一步减少尝试的次数。
4. 通过举例练习提高解题能力•通过练习解题，掌握上述技巧的应用方法，提高解题效率和准确性。
•可以尝试解题网站或应用程序提供的三阶幻方题目，不断练习并思考解题过程中的技巧和方法。
5. 总结•三阶幻方的解题涉及到基本概念、构造方法和数学规律等多个方面的知识。
•理解这些知识并加以应用，可以有效地解题，并提高解题的效率和准确性。
注意：文章中的数字仅为示范用途，实际解题过程需要根据具体情况进行调整和计算。
24点三阶幻方
24点三阶幻方24点三阶幻方是指一个3×3的矩阵，其中每个元素是1到9之间的不同的整数，且每行、每列和对角线上元素之和都等于24。
下面我们将介绍如何构造一个24点三阶幻方。
我们需要确定幻方的中间行和中间列的元素。
由于每个元素都是1到9之间的不同的整数，且每行和每列之和都为24，我们可以得出以下结论：1. 中间行和中间列的元素之和为24的一半，即12。
2. 中间行和中间列的元素分别为1到9之间的连续3个整数。
3. 中间行和中间列的元素之和为奇数，因此其中至少有一个奇数。
根据上述结论，我们可以列出所有满足条件的可能中间行和中间列的元素之和为12的情况：1 2 94 5 38 7 61 3 86 5 19 2 42 3 78 5 19 6 2其中，第一个幻方的中间行和中间列的元素之和为12，并且包含奇数，因此符合条件。
然后，我们需要在这个幻方的基础上调整上方和下方的元素。
以第一个幻方为例，我们将上方的元素和下方的元素进行逆序排列。
即将上方的元素1、2、9替换成9、2、1，将下方的元素8、7、6替换成6、7、8。
调整后的幻方如下：9 2 14 5 36 7 8我们需要调整幻方的左上到右下的对角线上的元素。
为了使对角线上的元素之和等于24，我们需要保证对角线上的元素是2个奇数和1个偶数或2个偶数和1个奇数。
由于1和9都是奇数，而5是偶数，我们可以将原来幻方上角的元素2替换成5，得到最终的24点三阶幻方：9 5 14 5 36 7 8这个幻方的每行和每列的元素之和都等于24，且对角线上元素之和也等于24。
需要注意的是，这只是构造24点三阶幻方的一种可能方式，还有其他方法可以得到不同的幻方。
通过对中间行和中间列的元素之和的分析，并根据不同元素的奇偶性进行调整，可以找到多种可行的幻方。
总结起来，构造24点三阶幻方的步骤包括确定中间行和中间列的元素、逆序排列上方和下方的元素、调整对角线上的元素。
通过这些步骤，我们可以得到满足条件的幻方，并验证其每行、每列和对角线上元素之和都等于24。
构造三阶幻方的方法
构造三阶幻方的方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊构造三阶幻方的方法。
首先，构造三阶幻方有特定的步骤哦。
先把数字 1 放在第一行中间位置，然后按照斜上方依次填入数字，若遇到边界，就把下一个数字填到相对的那一侧。
就好像走迷宫一样，可有意思啦！但要注意哦，填到已有数字的位置时，就要填到它下面啦。
这步骤简单吧？嘿嘿，是不是觉得挺有趣的。
然后说说这过程中的安全性和稳定性。
就像建房子，每一块砖都要放对位置，才能稳稳当当。
构造三阶幻方也是这样，只要按照规则来，就不会出错，安安稳稳地就把幻方给造出来啦，多靠谱呀！
三阶幻方的应用场景那可多啦！比如在数学游戏中，它能带来很多乐趣，让我们玩得不亦乐乎。
它的优势也很明显呀，能锻炼我们的思维能力，就像给大脑做了一场健身操！
我给大家举个实际案例吧。
在一次数学竞赛中，有个题目就是关于三阶幻方的，那些掌握了构造方法的同学，那可真是如鱼得水呀，轻松就解决了问题，看到他们得意的样子，就知道效果有多好啦！
所以呀，构造三阶幻方真的是个超棒的数学技巧，它既能带来乐趣，又能提升我们的能力，为啥不赶紧学起来呢？。
三阶幻方的N种构造方法
三阶幻方的N种构造方法三阶幻方是一种3x3的数字方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
以下是几种构造三阶幻方的方法：1.蛇型法：首先将数字1放在第一行的中间位置，然后按照蛇形的方式，依次填充数字2、3、4⋯、9、当数字超出边界时，从相反的边界开始填充。
这样构造出的三阶幻方如下：8163574922.阶梯法：首先将数字1放在第一行的第一列，然后依次填充数字2、3到第一列的第三行。
接下来，将数字4填充到第一行的第二列，之后将数字5、6依次填充到第二列的第一行和第三行。
最后将数字7、8、9填充到第二列的第二行、第三行和第一行，最终构造出以下三阶幻方：2769514383.方块法：将数字1填充到方阵的上方，然后从上方顺序填充数字2、3、4到右上角、右下角和左下角。
接下来，将数字5填充到剩余的位置。
构造出的三阶幻方如下：2947536184.加法法：首先将数字1填充到方阵的中间位置。
然后从中间位置开始，按照数字的递增顺序依次填充2、3、4到右上角、右下角和左下角。
最后将剩下的数字以对称的方式填充到相应的位置。
构造出的三阶幻方如下：8163574925.填充法：首先将数字1填充到方阵的上方，然后从上方顺序填充数字2、3、4到右上角、右下角和左下角。
接下来，将数字5填充到剩余的位置。
构造出的三阶幻方如下：294753618以上只是几种常见的构造三阶幻方的方法，实际上，三阶幻方的构造方法有很多种，而且可以进行旋转和翻转等操作来得到更多的构造方法。
由于幻方的特殊性质和对称性，可以通过一些数学方法进行推导和计算来构造出更多的三阶幻方。
幻方是数学中的一个有趣且古老的问题，它的研究既有实际应用价值，又具有数学美感。
4 三阶幻方(精英)
第四讲三阶幻方教室姓名学号【知识要点】三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等，三阶幻方是一种特殊的数阵图。
方法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维突出。
【例题精讲】例1、将1~9这九个数填入图中，使它成为一个三阶幻方。
根据口诀：九子斜排，上下对易，左右相更，四维突出。
例2、将1，3，5，7，……，17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方。
例3、如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？1+4+7+……+25=（1+25）×9÷2=117117÷3=39两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍，所以中央的那个数是（39×3-39×2）÷3=13例4、如下图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数。
已知每一行（每一列、对角线）的和是中央那个数的3倍，因此，现在每一行的和是：15×3=45这样，就可以得出第三行第一个数是45-6-28=11第三行第三个数是45-6-15=24第三行第二个数是45-11-24=10例5、已知下图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等。
请填出其他的第一列的第二个数是：3×6×12÷12÷1=18第二列的第二个数是：3×6×12÷18÷3=4第二列的第三个数是：3×6×12÷1÷6=36第三列的第二个数是：3×6×12÷4÷6=9第三列的第三个数是：3×6×12÷18÷6=2例6、已知下图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2037。
三阶幻方
简单的三阶幻方1、什么是幻方？幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 罗伯法构造三阶幻方游戏：把1~9这9个数字按照要求填入下面的九宫格中？（1）把1~9依次按照从右上到左下的斜行顺序填入9个空白格中；（2）把最上面的“1”调到粗线框中第三行中间，最小面的“9”调到粗线框中第一行的中间。
最左边的“3”调到粗线框中第列的中间，最右边的“7”调到粗线框中第一列的中间。
（3）把粗线框中最后的结果填入右边的九宫格中算一算，九宫格中各行、各列及斜行的数字和，你有什么发现？三阶幻方的规律：1、幻和：各行、各列及斜行的和都是15，我们称它为幻和；幻和= 九个数之和 ÷3；2、中心数：幻和是中心数字的3倍；中间数=幻和÷3=(3+7)÷2=(1+9)÷2=(2+8)÷2=(6+4)÷23、左上角、右上角、左下角、右下角的四个数字依次是第2、第4、第6、第8个数字672159834四个角上的数字2=(3＋1)÷2，8=(9＋7)÷2；6=(3＋9)÷2；4=(1＋7)÷22、小试牛刀你能用上面的方法把2、4、6、8、10、12、、14、16、18这九个数字填入右面的九宫格中，使它构成三阶幻方吗？例1在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
（1（2巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
三阶幻方的N种构造方法
三阶幻方的N种构造方法说起幻方，许多人见惯不怪了。
最简单的莫过于三阶幻方或者说四阶幻方，三阶幻方是由1到9这9个数填进3X3的九宫图中，使每行，每列和对角线的三个数之和相等（3阶，幻和为15）。
三阶幻方最早起源于我国，古代人们将三阶幻方称之为“河图”和“洛书”我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
好了，其他的不多说了，让我们直奔主题吧。
第一种：变形法将1~9数依顺序填入下框;2和6对调，4和6对调;将2、4、6、8向四个角外移。
这样就快速完成3阶幻方了。
第二种：楼梯法在第一行的中间填上1.，然后依次在“右上角”填上2（下一个数），再在2的“右上角”（相对的）填上3,依次类推。
当遇到“右上角”已经有数的时候，就填在原地的下一个格，再运用楼梯法继续填，知道填到最后一个数。
□n□□□□□由于3的右上角已经有数了，所以4要填在3的下一个格。
□n□N n n□□再填5在4的右上角，就这样以此类推。
n□□□s就这样就完成了。
还有，这种方法适用于所有的奇数幻方。
第三种：推理法①1〜9个数填入九宫图，容易推出幻和为15,而用1〜9个数有以下的算式组合。
1+5+9=152+5+8=153+5+7=154+5+6=152+6+7=152+5+8=152+4+9=154+3+8=158+1+6=15观察上面9条算式容易知道，5出现了4次，1、3、7、9出现了2次，2、4、6、8出现了3次。
再回来想想九宫格的位置特性，中间的格一定要满足4条算式（中间行，中间列，2对角线）成立，故中间应该填的是5；n n nM M nO o o四个角的格也要各满足3条算式成立，故四个角的格应该填的是2、4、6、8。
nn M nt□（其实不用下面步骤都可以构造出来了，因为幻和为15,可以推算出。
）同理, 1、3、7、9应该填在前行前列的中间。
这样的话，就很容易构造出3阶幻方。
n n n□o所以得出的3阶幻方如下:□t Q t第四种：推理法②前提条件：已知幻和=15,中间是5。
三阶幻方公式简易口诀
三阶幻方公式简易口诀三阶幻方是指由1到9的九个数字组成的一个3x3的方阵，使得方阵中的每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
下面是一个简单的口诀来求解三阶幻方的公式：首先，我们需要把9个数字按照一定的规律填入到3x3的方阵中。
设置一个3x3的方阵如下：abcdefghi第一步：选取任意一个数字填入中间的位置，比如选取数字5，填入方阵的中心位置e：abcd5fghi第二步：根据魔方的特性，可以得出以下规律：1.真正的幻方中心位置的值将会是(n^2+1)/2，对于三阶幻方来说，中心位置的值为(3^2+1)/2=52.方阵的每个角的位置必须是n的倍数，对于三阶幻方来说，四个角的值即为1、3、7、9根据以上两个规律，我们可以进行以下步骤填充幻方：第三步：将数字1填入到方阵的上一个位置g（此处的上指的是在方阵中“上方”相对于中心位置e的方向）：abc15fghi第四步：根据规律2，将数字9填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159ghi第五步：根据规律2，将数字3填入到方阵的下一个位置h（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159g3i第六步：根据规律2，将数字7填入到方阵的下一个位置d（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc15973i第七步：根据规律1，将数字8填入到方阵的下一个位置b（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c15973i第八步：根据规律1，将数字4填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c159734最终得到了一个三阶幻方。
利用以上口诀和规律，我们可以通过简单的步骤来构造三阶幻方。
通过这个口诀，我们可以快速而准确地创建出一个三阶幻方，仅需一些简单的数字填充操作。
三阶幻方文档
三阶幻方什么是幻方？幻方是一个由数字组成的方形矩阵，其中每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
这种特殊的矩阵在数学和游戏领域都有广泛的应用。
幻方可以划分为奇阶幻方和偶阶幻方两种类型，根据矩阵边长的奇偶性质进行分类。
三阶幻方三阶幻方是指边长为3的幻方。
三阶幻方是最简单的幻方之一，它是一种非常有趣且充满挑战性的问题，吸引了许多数学家和爱好者的研究。
在三阶幻方中，矩阵由3行3列的方格组成，每个方格填入1到9之间的不重复数字。
对于一个三阶幻方，要求每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
下面是一个例子，展示了一个三阶幻方的布局：2 9 47 5 36 1 8该幻方的每行、每列以及对角线上的数字之和都是15。
如何构造三阶幻方？构造一个符合条件的三阶幻方是一个具有一定难度的问题。
目前，已经有多种方法被开发出来用于构造三阶幻方。
阶梯法阶梯法是一种基于填充数字的规律来构造三阶幻方的方法。
这种方法是通过按照一定的规则，依次填充数字到矩阵的不同位置上来实现的。
具体步骤如下： 1. 矩阵的中间行第一列为1； 2. 从2开始依次填充数字，如果当前的位置已经被填充，则向下一行移动，并将数字填充到下一行的同一列。
如果下一行超出边界，则返回到当前行第一列的下一行； 3. 如果当前位置为空，则将数字填充到此位置。
以下是根据阶梯法构造的一个三阶幻方的示例：8 1 63 5 74 9 2奇偶交换法奇偶交换法是另一种常用的构造三阶幻方的方法。
这种方法是通过将两个已知的三阶幻方进行特定的交换来构造新的三阶幻方。
具体步骤如下： 1. 构造两个已知的三阶幻方，可以使用任何已知的三阶幻方；2. 将两个已知的幻方中的某些数字进行交换，并保持每行、每列以及对角线上的数字之和不变。
以下是一个使用奇偶交换法构造的三阶幻方的示例：已知幻方A：2 9 47 5 36 1 8已知幻方B：4 9 23 5 78 1 6通过交换A和B的2和4，以及6和8，得到以下新的三阶幻方：4 9 27 5 36 1 8总结三阶幻方是一种非常有趣且具有挑战性的问题。
第9讲 幻 方
第9讲幻方杨辉的三阶幻方构造法：九子斜排，上下对易，左右对易，四维挺出。
例1、把1~9这九个自然数填在如右图的九个空格里，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数的和都相等。
罗伯法（适用于编排所有的奇数阶幻方）1居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时往下填，右出框时左边放；排重便在下格填，右上排重一个样。
例2、请用罗伯法完成例1。
例3、把3、4、5、6、7、8、9、10、11九个数字填入下图九个空格里，每格填一个数字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数的和都相等。
例4、已知下面幻方的幻和是18，请将幻方填写完整。
例5、请将下面的三阶幻方填写完整。
例6、在下面的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
练习1、将1~25填入下图的方格内，组成一个五阶幻方。
2、把5、10、15、20、25、30、35、40、45填入方格，组成一三阶幻方。
3、已知图中三阶幻方的幻和是24，请将幻方填写完整。
4、请将下面的三阶幻方填写完整。
5、在下面两个图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数，使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30。
6、如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等。
那么X=（）。
作业1、用6~14这九个自然数构成一个三阶幻方。
2、把1、3、5、7、9、11、13、15、17填入方格，组成一个三阶幻方。
3、将1~50中的偶数填入下图的方格内，组成一个五阶幻方。
4、将1~49填入下图的方格内，组成一个七阶幻方。
5、用1~9这九个数补全图中的幻方，并求幻和。
小学奥数三阶幻方
三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方是一种特殊的数阵图。
例1 将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。
分析：1+2+3+4+...+9=45 所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=159+5+1，9+4+2 8+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。
8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。
随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。
2、将2，4，6，...，18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。
公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央数是多少？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。
（4） （5）5、已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。
6、把下图三阶幻方补充完整。
练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。
2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。
（第1题） （第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
（第3题） （第4题） （第5题）4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
5、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和是60。
6、下图是一个三阶幻方，求？是多少。
（第6题） （第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。
这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？8、填完第7题的图。
三阶幻方知识点
三阶幻方知识点
三阶幻方是指一个3×3的方阵，其中填有从1到9的不重复整数，使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
以下是三阶幻方的一些知识点：
1. 构造方法：三阶幻方的构造方法有多种，其中最著名的方法是"Siamese Method"，该方法由Thabet bin Qurra在9世纪发现。
该方法通过从方阵中的中间行的第一列开始，依次填入数字1
到9，按照特定的规则进行填充，最后得到一个幻方。
另外还
有其他的构造方法，如"奇偶法"、"杨辉法"等。
2. 幻方的特性：三阶幻方的特点是每行、每列和对角线上的数字之和都相等，这个和被称为魔数。
魔数可以通过任意一行、一列或对角线上的数字之和来计算。
3. 幻方的性质：三阶幻方有一些特殊的性质。
例如，三阶幻方的中央数字必定为魔数的一半；对角线上的数字之和必定等于魔数。
4. 幻方的变种：除了三阶幻方，还存在其他阶数的幻方，如四阶幻方、五阶幻方等。
每种阶数的幻方有不同的构造方法和特性。
5. 幻方的历史：幻方的研究可以追溯到古代。
中国在公元650
年前后就开始研究幻方，出现了一些三阶和四阶幻方。
此后，幻方的研究逐渐传到了西方，成为了一个数学上的热门问题。
这些是三阶幻方的一些基本知识点，通过研究和了解幻方，我们可以更深入地探索数字的特性和数学规律。
三阶幻方阵原理
三阶幻方阵原理幻方阵是一种远古而神奇的数学结构，它由一组整数组成，使得这些整数在矩阵中的每一行、每一列以及对角线上的和都相等。
其中，三阶幻方阵是最简单、最基础的一种幻方阵。
三阶幻方阵由3行3列的矩阵组成，共有9个位置可以填入整数。
我们可以使用逐个填数的方法来构建三阶幻方阵。
首先，我们选择一个起始位置，通常是矩阵的中间位置。
然后，我们从1开始按顺序填入每个位置，直到填满整个矩阵为止。
为了满足幻方阵的条件，我们需要遵循以下规则来填写矩阵的每个位置：1. 从起始位置开始填数，将1填入矩阵的中间位置。
2. 下一个数填入当前位置的右上方，即向上一行、向右一列的位置。
如果该位置已经被填过数，我们则将下一个数填入当前位置的下方，即向下一行、不变列的位置。
3. 重复步骤2，直到填满整个矩阵。
通过以上规则，我们可以得到一个符合幻方阵条件的三阶矩阵。
例如，以下是一个典型的三阶幻方阵：8 1 63 5 74 9 2在这个幻方阵中，每一行、每一列以及对角线的和都是15。
这也是三阶幻方阵的一个重要特点：每行、每列以及对角线的和都等于矩阵的行数或列数乘以幻方阵的行数或列数的中间值。
三阶幻方阵的原理可以通过数学推导来解释。
我们可以发现，幻方阵的构造方法与奇数的排列规律有关。
对于任意一个奇数n，我们可以通过以下公式计算出对应的三阶幻方阵：1. 幻方阵中的第一个数为：(n^2 + 1) / 22. 从第二个数开始，每个数的位置为当前位置的右上方，如果超出矩阵范围，则填入下方。
3. 如果当前位置已经被填过数，则按照规则2填入下方。
通过这个公式，我们可以根据任意奇数n构造出对应的三阶幻方阵。
例如，当n为3时，根据公式计算得到的幻方阵与前面给出的典型幻方阵完全一致。
三阶幻方阵不仅仅是一种数学结构，它还具有一定的实际应用价值。
例如，在游戏设计中，可以将三阶幻方阵用作迷宫的布局，使得玩家在游戏中的移动路径更加有趣、多样化。
总结一下，三阶幻方阵是由一组整数构成的矩阵，使得矩阵中每一行、每一列以及对角线的和都相等。
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三阶幻方的构造方法
洛阳市王城公园西门内屹立着一椭圆形棕色巨石，那就是河图洛书碑．
所谓洛书，指的是用1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字，组成三行三列的方阵．它的每行每列及两条对角线上的三个数字的和都等于15.古时候称九宫图 ，数学上称为三阶幻方．这一问题有许多解法．这里介绍七种解法．
一 凑
这个问题介绍给小孩子们，他们会用九张纸片，分别写上九个数字（或者用九张扑克牌）在桌（地）面上摆出来答案．此法是＂凑＂出来的．
二 转
第一步把九个数字摆成图一．第二步让周围的八个数字绕着中心的数字依次转动一个位置，成图二，第三步将对角的数字进行对换，成图三．这个方法归结为＂一排，二转，三对换＂．这个方法可以让孩子作游戏，也是有趣的．
987654321 698357214 4
923578
16
图一＂排＂ 图二 ＂转＂ 图三 ＂对换＂
三 杨辉法
我国古代数学家在＂续古摘奇算法＂中，总结洛书幻方的构造方法时写到：＂九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出＂具体作法如图四――图七．
9
68
357
24
1
168357249 图四 九子排列 图五 上下对易 16
875
324
9
4
92357816 图六 左右相更 图七 四维挺出
四 罗伯法
［1］ 中所举的罗伯法也可以用来作三阶幻方．罗伯法是这样讲的．
1居上行正中央，依次斜填且莫忘，上出框往下写，右出框时左边放．排重便在下格填，右上排重一个样．罗伯法排出的三阶幻方见图八．
294753618 7
84951
623
9
341596
72 图八 图九 图十
巴舍法
先画一个凸阶梯形，先填成图九，然后按＂上移下，下移上，左移右，右移左＂（作出的结果与杨辉法完全相同）进行调整成为图十．
五 行列交会法
首先将九个数字排成图十一，然后将中间行中间列不动，作为幻方的左右主对角线，如图十二，因每一个数都是一条左对角线与一条右对角线的交点．所以其它每一个数的行列位置按照：＂左对角线与中间列的交点的行为行，右对角线与中间行的交点的列为列＂的法则确定．作出的结果如图十三．
9
876543
21
68524 图十一 图十二 6
18753294 98665
432
1x x x x x x x x x 图十三 图十四
六 数学解法
设图十四构成三阶幻方，列出方程组
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++=++=++=++)8.(..........15)7..(..........
15)6..(..........15)5..(..........15)4..(..........15)3..(..........15)2..(..........15)1...(. (15753)
951063852
741987654
321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
由(7)+(8)+(2)=(4)+(6)+53x 知453305=+x 得55=x
由(1)+(2)得5.....21551542=-+=+x x x x x 代入
得)9.....(220142x x x -=+
若11=x 则1842=+x x 矛盾 所以11≠x
若31=x 则1442=+x x 则只有8,642==x x 或或6842==x x 或只考虑其中一种 以6,321==x x 代入得63=x 矛盾 所以,31≠x
令21=x 代入（9）得1642=+x x 则只有9,742==x x 或 或7,942==x x 或 不妨取7,942==x x 则.
以4)19,2321===x x x 得代入（
以6)47,2321===x x x 得代入（
以8)75,2951===x x x 得代入（
以1)55,9852===x x x 得代入（
以3)15,7654===x x x 得代入（
从而得到三阶幻方的解．
七 奇偶分析法
在＂六＂中得到55=x 以后，将其代入(2),(5),(7),(8)得到：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+)13.........(
10)12.........(10)11.........(10)10.........(107391
8264x x x x x x x x 由以上四个方程可以看出73918264,,,x x x x x x x x 与与与与的奇偶性相同，又幻方交换一三两行后仍然是幻方，交换一三两列后仍然是幻方，所以四个角的奇偶性是相同的．今断言，四个角上的数字不能是奇
数，如果四个角上的数字是奇数，那么,,8264x x x x
只能是偶数于是15321≠=+奇＋偶＋奇 ＋x x x 矛盾．所以7391.,.x x x x
只能是偶数．由(12),(13)可知，而且只有2+8,4+6,不妨取6.4,8.,27391==x x x x 则 取＝ 则＝随后便可确定,.,8264x x x x 的值．
参考材料：
［1］张君达《小学数学奥林匹克数学专题讲座》北京师范学院出版社1987年北京版第24页中师教育研究1995年第二期。