2014中考数学动点最值问题归纳及解法

。
例 4 (2010 年天津市中考 )在平面角坐标系中，矩形
的顶点 在坐标Βιβλιοθήκη 点，顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，
，
， 为边 的中点。
（ 1）若 为边 上的一个动点，当
的周长最小时，求点 的坐标；
（ 2）若 ， 为边 上的两个动点，且
，当四边形
的周长最小时，
求点 ， 的坐标。
解析：作点 关于 轴的对称点 ，则
。利用一次
函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点 ----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与
特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊
位置。）
动点问题一直是中考热点， 近几年考查探究运动中的特殊性： 等腰三角形、 直角三角形、
相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
中考数学动点最值问题归纳及解法
最值问题是初中数学的重要内容， 也是一类综合性较强的问题， 它贯穿初中数学的始终，
是中考的热点问题， 它主要考察学生对平时所学的内容综合运用， 无论是代数问题还是几何
问题都有最值问题， 在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论
（如两点之间
线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）
③探究相似三角形时， 按对应 时间分段分类
交点 D、E 是定点； 动线段
特
角不同分类讨论；先画图，再
③ 画 出 矩 形 必 备 PF长度是定值， PF=OA）
探究。
条 件 的 图 形 探 究 ④通过相似三角形过度，
④通过相似三角形过度， 转化 其存在性
转化相似比得出方程。
相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先
1.两个定点 +一个动点。
如图 1-3，作一定点 关于动点 所在直线 的对称点 ，线段 （ 是另一定点）
与 的交点即为距离和最小时动点
位置，最小距离和
。
例 1（ 2006 年河南省中考题 ）如图 2，正方形
是对角线
上一动点，则
的最小值是
的边长为 ， 是 的中点， 。
解析： 与 关于直线
对称，连结
，则
，
。
（ 1）连接
交 轴于点 ，连接 ，此时
的周长最小。 由
可知
，那么
，则
。
（ 2）将 向左平移 2 个单位（
）到 点，定点 、 分别到动点 、 的距
离和等于为定点 、 到动点 的距离和，即 点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。
在 上截取
，连接
交 轴于 ，四边形
。从而把“两个定 为平行四边形，
一、问题原型：
如图 1-1，要在燃气管道 上修建一个泵站， 分别向 、 两镇供气，泵站修在管道的什 么地方，可使所用的输气管线最短？
这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题 二、基本解法： 对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变）， 确定动点位置，计算线路最短长度。 三、一般结论：
三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：
（ 2） 与 关于对称轴
对称，连结
， 与对称轴交点即为所求
点。
设直线
解析式为：
。把
、
代入得，
。
当
时，
，则
2.两个定点 +两个动点。 两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不 变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。
动点个数 问题背景
考查难点
“坐标几何题”（动点问题）分析
两个
一个
两个
特殊菱形两边上移动
特 殊 直 角 梯 形 三 抛物线中特殊直角梯形底
边上移动
边上移动
探究相似三角形
探 究 三 角 形 面 积 探究等腰三角形 函数关系式
①菱形性质
②特殊角三角函数
考
③求直线、抛物线解析式
④相似三角形
点
⑤不等式
①求直线解析式 ②四边形面积的 表示 ③动三角形面积 函数④矩形性质
①求抛物线顶点坐标 ②探究平行四边形 ③探究动三角形面积是定 值 ④探究等腰三角形存在性
①菱形是含 60°的特殊菱形； ① 观 察 图 形 构 造 ①直角梯形是特殊的（一
△AOB是底角为 30°的等腰三 特 征 适 当 割 补 表 底角是 45°）
角形。
示面积
②点动带动线动
②一个动点速度是参数字母。 ② 动 点 按 到 拐 点 ③线动中的特殊性（两个
。此时
值最小，则四边形
的周长最小。
由
、
可求直线
解析式为
，当
时，
，即
，
则
。（也可以用（ 1）中相似的方法求 坐标）
（二）“ |动定 |+|动动 |”型： 两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。 利用轴对称变换， 使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上 （两点之间线段最短） ， 且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线 （连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。
例 3 如图 4，河岸两侧有 、 两个村庄， 为了村民出行方便， 计划在河上修一座桥， 桥修在何处才能两村村民来往路程最短？
解析：设桥端两动点为 直于河岸。
将 向上平移河宽长到
、 ，那么 点随 点而动，
等于河宽，且
垂
，线段
与河北岸线的交点即为桥端
点位置。四边形
为平行四边形，
，此时
值最小。那么
来往 、 两村最短路程为：
连结
,在
中，
，
。 ，则
故
的最小值为
例 2 （ 2009 年济南市中考题 ）如图 3，已知：抛物线
称轴为
，与 轴交于 、 两点，与轴 交于点 ，其中
，
的对 。
（ 1）求这条抛物线的函数表达式；
（ 2）已知在对称轴上存在一点
，使得
的周长最小，请求出点 的坐标。
解析：（ 1）对称轴为
，
，由对称性可知：
。根据 、 、
( 在线段
上时取等号 )（如图 1-2 ）
线段和最小，常见有三种类型：
（一）“ |定动 |+|定动 |”型：两定点到一动点的距离和最小
通过轴对称， 将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个， 映射到直线的另一侧， 当
动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，
由“两点之间线段最短” 可知线段和的最
小值，最小值为定点线段的长。
点
⑤利用 a、t 范围， 运用不等式
画图，再探究（按边相等
求出 a、t 的值。
分类讨论）
近几年共同点：
①特殊四边形为背景；
②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）
；
④求直线、抛物线解析式；
⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
小类知识归纳：