第八章第九节圆锥曲线的综合问题理
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[精析考题] [例1] (2012·郑州模拟)已知圆C：(x＋ 3)2＋y2＝16，点A( 3，0)，Q是 圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB(O是坐标 原点)的面积S＝45，求直线AB的方程．
c2－a42.
又OuuEur＝12(OuuFur
uuur ＋OP )，∴E是PF的中点，
∴PF＝2 c2－a42，PM＝a(三角形中位线定理)．
又PF－PM＝2a，
即2
c2－a42－a＝2a，∴离心率e＝ac＝
10 2.
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[冲关锦囊] 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研 究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．也 可用数形结合的方法求解.
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[自主解答] (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有 x－12＋y2－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x； 当x<0时，y＝0. 所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．
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(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0， 设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)． 由yy＝2＝k4xx－1 ，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两个实根，于是
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3．已知F1为椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C 交于A、B两点，求F1A＋F1B的值． 解：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由x22＋y2＝1 消去y整理得 y＝x－1
3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝43，
易得点A(0，－1)，B(43，13)．又点F1(－1,0)，
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二、圆锥曲线的弦长问题
设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则弦长|AB|＝ 1＋k12|y1－y2| .
1＋k2|x1－x2| 或
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1．(教材习题改编)判断直线y＝kx－k＋1与椭圆x92＋y42＝1的位置关系．
解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)， 而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
第
第九
八
节
章
圆锥
平
面
曲线
解
的综
析
能力
教你一招 我来演练
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一、直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程 与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程： ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线 相离． 若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．
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所以y1＋y2＝4－＋2mm2， y1·y2＝－4＋3m2.
S＝12|OP||y1－y2|＝12 y1＋y22－4y1y2 ＝2 mm2＋2＋4 3.由S＝45，解得m2＝1，即m＝±1. 故直线AB的方程为x＝±y＋1， 即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
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[精析考题] [例2] (2011·湖南高考)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点 P到y轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1、ulu2u，r u设uurl1与轨迹C 相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求 AD·EB的最小值．
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x1＋x2＝2＋k42，x1x2＝1.
因为 l1⊥l2，所以 l2 的斜率为－1k.
设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得
x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故
uAuDur ·uEuBur ＝(
uAuFur ＋
uuur uuur
FD)·( EF
＋
uuur
FB)
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uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ＝ AF ·EF ＋ AF ·FB＋FD·EF ＋FD·FB
1．(2012·盐城模拟)过双曲线xa22－by22＝1(b>0，a>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)
作圆x2＋y2＝a42的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，
若OuuEur＝12(OuuFur
uuur ＋OP
)，求双曲线的离心率．
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解：设双曲线的右焦点为M，∵OE⊥PF，
∴在Rt△OEF中，EF＝
因此F1A＋F1B＝ 12＋－12＋
732＋132＝8
3
2 .
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(1)直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、 对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中 要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．
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(2)当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根 与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦 所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转 化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与 量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主 要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦 长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
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[自主解答] (1)由题意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2 3， 所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆， 即轨迹E的方程为x42＋y2＝1. (2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x＝1也不满足条件， 故可设AB的方程为x＝my＋1. 由xx2＝＋m4yy＋2＝14，， 消x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，
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2．动直线l的倾斜角为60°，若直线l与抛物线x2＝ 2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之 和为3，求抛物线的方程．
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解：设直线 l 的方程为 y＝ 3x＋b， 联立xy＝2＝23pxy＋b ，消去 y，得 x2＝2p( 3x＋b)， 即 x2－2 3px－2pb＝0， ∴x1＋x2＝2 3p＝3. ∴p＝ 23.抛物线的方程为 x2＝ 3y.
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[精析考题] [例1] (2012·郑州模拟)已知圆C：(x＋ 3)2＋y2＝16，点A( 3，0)，Q是 圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB(O是坐标 原点)的面积S＝45，求直线AB的方程．
c2－a42.
又OuuEur＝12(OuuFur
uuur ＋OP )，∴E是PF的中点，
∴PF＝2 c2－a42，PM＝a(三角形中位线定理)．
又PF－PM＝2a，
即2
c2－a42－a＝2a，∴离心率e＝ac＝
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[冲关锦囊] 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研 究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．也 可用数形结合的方法求解.
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[自主解答] (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有 x－12＋y2－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x； 当x<0时，y＝0. 所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．
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(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0， 设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)． 由yy＝2＝k4xx－1 ，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两个实根，于是
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3．已知F1为椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C 交于A、B两点，求F1A＋F1B的值． 解：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由x22＋y2＝1 消去y整理得 y＝x－1
3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝43，
易得点A(0，－1)，B(43，13)．又点F1(－1,0)，
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二、圆锥曲线的弦长问题
设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则弦长|AB|＝ 1＋k12|y1－y2| .
1＋k2|x1－x2| 或
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1．(教材习题改编)判断直线y＝kx－k＋1与椭圆x92＋y42＝1的位置关系．
解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)， 而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
第
第九
八
节
章
圆锥
平
面
曲线
解
的综
析
能力
教你一招 我来演练
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一、直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程 与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程： ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线 相离． 若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．
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所以y1＋y2＝4－＋2mm2， y1·y2＝－4＋3m2.
S＝12|OP||y1－y2|＝12 y1＋y22－4y1y2 ＝2 mm2＋2＋4 3.由S＝45，解得m2＝1，即m＝±1. 故直线AB的方程为x＝±y＋1， 即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
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[精析考题] [例2] (2011·湖南高考)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点 P到y轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1、ulu2u，r u设uurl1与轨迹C 相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求 AD·EB的最小值．
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x1＋x2＝2＋k42，x1x2＝1.
因为 l1⊥l2，所以 l2 的斜率为－1k.
设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得
x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故
uAuDur ·uEuBur ＝(
uAuFur ＋
uuur uuur
FD)·( EF
＋
uuur
FB)
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uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ＝ AF ·EF ＋ AF ·FB＋FD·EF ＋FD·FB
1．(2012·盐城模拟)过双曲线xa22－by22＝1(b>0，a>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)
作圆x2＋y2＝a42的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，
若OuuEur＝12(OuuFur
uuur ＋OP
)，求双曲线的离心率．
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解：设双曲线的右焦点为M，∵OE⊥PF，
∴在Rt△OEF中，EF＝
因此F1A＋F1B＝ 12＋－12＋
732＋132＝8
3
2 .
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(1)直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、 对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中 要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．
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(2)当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根 与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦 所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转 化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与 量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主 要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦 长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
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[自主解答] (1)由题意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2 3， 所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆， 即轨迹E的方程为x42＋y2＝1. (2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x＝1也不满足条件， 故可设AB的方程为x＝my＋1. 由xx2＝＋m4yy＋2＝14，， 消x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，
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2．动直线l的倾斜角为60°，若直线l与抛物线x2＝ 2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之 和为3，求抛物线的方程．
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解：设直线 l 的方程为 y＝ 3x＋b， 联立xy＝2＝23pxy＋b ，消去 y，得 x2＝2p( 3x＋b)， 即 x2－2 3px－2pb＝0， ∴x1＋x2＝2 3p＝3. ∴p＝ 23.抛物线的方程为 x2＝ 3y.