高一必修五数学数列全章知识点(完整版)

高一数学数列知识总结
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、知识梳理
一、看数列是不是等差数列有以下三种方法
① a n a n 1 d（n 2, d为常数）
②2a n a n 1 a n 1（n 2）
③ a n kn b（n,k 为常数）.
二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：
① a n a n 1q（n 2,q为常数,且0）
（n 2，a n a n 1a n 1 0）
② a n a n 1 a n 1
三、在等差数列{ a n }中,有关S n 的最值问题：（1）当a1 >0,d<0 时，满足a m 0的项数
m 使a m 1 0
a m 0
得s m取最大值 . （2）当a1 <0,d>0 时，满足m的项数 m 使得s m 取最小值。

在解含绝对值
a m 1 0
的数列最值问题时 ,注意转化思想的应用。

四. 数列通项的常用方法：
( 1)利用观察法求数列的通项 .
( 2)利用公式法求数列的通项：① a S(1 n 1)；② a n等差、等比数列a n公式 .
S n S n 1(n 2)
( 3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：
①a n 1 a n f (n) ；②a n 1 a n f (n).
(4)造等差、等比数列求通项：
①a n 1 pa n q ；②a n 1 pa n q n ；③a n 1 pa n f (n) ；④a n 2 p a n 1 q a n .
第一节通项公式常用方法
题型 1 利用公式法求通项
例 1： 1. 已知 {a n} 满足 a n+1=a n+2 ，而且 a1=1。

求 a n。

2. 已知S n 为数列a n 的前n 项和，求下列数列a n 的通项公式：
⑴ S n 2n2 3n 1；⑵ S n 2n 1.
S1(n 1)
总结 :任何一个数列，它的前n 项和S n与通项a n都存在关系：a n1若a1适
S n S n 1(n 2)
合a n ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.
题型 2 应用迭加(迭乘、迭代)法求通项
例 2：⑴已知数列a n 中，a1 2,a n a n 1 2n 1(n 2) ，求数列a n 的通项公式；
⑵已知S n 为数列a n 的前n 项和，a1 1，S n n2 a n ，求数列a n 的通项公式 . 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“a n 1 a n f (n) ”；迭乘法适用于求递推关系形如
a
n 1 a
n
f (n) “；⑵迭加法、迭乘法公式：
a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) (a n 2 a n 3) (a2 a1) a1
②a n a n 1 a n 2 a3 a2
②a n a1 .
a n 1 a n 2 a n 3 a2 a1
题型 3 构造等比数列求通项
例 3 已知数列a n 中，a1 1,a n 1 2a n 3，求数列a n 的通项公式总结：递推关系形如“ a n 1 pa n q ” 适用于待定系数法或特征根法：
①令a n 1 p(a n )；
② 在a n 1 pa n q 中令a n 1 a n x x ，a n 1 x p(a n x) ；1p
③由a n 1 pa n q得a n pa n 1 q ，a n 1 a n p(a n a n 1).
例 4 已知数列a n中，a1 1,a n 1 2a n 3n，求数列a n的通项公式 .
总结：递推关系形如“ a n 1 pa n q n”通过适当变形可转化为：
“ a n 1 pa n q”或“ a n 1 a n f (n)n求解 .
例5 已知数列a n 中，a1 1,a2 2,a n 2 3a n 1 2a n ，求数列a n 的通项公式
总结：递推关系形如“ a n 2 p a n 1 q a n ”，通过适当变形转化为可求和的数列 . 强化巩固练习
1、已知S n为数列a n 的前n项和，S n 3a n 2(n N ,n 2) ，求数列a n 的通项公
式 .
2、已知数列a n 中，a1 2,(n 2)a n 1 (n 1)a n 0(n N ) ，求数列a n 的通项公
式 .
小结：数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项；⑵利用公式法求数列的通项；⑶ 应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：①a n 1 a n f (n) ；② a n 1 a n f (n). (4)构
造等差、等比数列求通项：①a n 1pa n q ；②a n 1 pa n
q n；③ a
n 1pa
n
f (n) ；
④a n 2 p a n 1 q a n .
3、数列a n 中，a1 1,a n n(a n 1 a n) ，则数列a n 的通项a n 。

4、数列a n 中，a n 1 3a n 2(n N ) ,且a10 8，则a4 。

5、设a n 是首项为 1 的正项数列，且(n 1)a n2 1 na n2 a n 1a n 0(n N ) ，
则数列a n 的通项a n .
6、数列a n中，a11,a n 12a n (n N ) ，则a n的通项a n.
①令a n 1 p(a n )；
n n
n 1 n 1
2 an
7、设数列a n 的前n 项和为S n ，已知a1 a,a n 1 S n 3n (n N )，设
b n S n 3n，求
数列b n 的通项公式．
3)
a
n
1 1 1 n(n 1)(n 2)
2[ n(n 1) 1
(n 1)(n 2)
第二节数列求和的常用方法
公式法 :适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
列、含阶乘的数列等。

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分 解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 . 通项分解（裂项）如：
巩固练习：
设 S n ＝ 1+2+3+⋯+n ， n ∈ N, 求 f(n) S
n
的最
大值 .
n
S n k
k1 1、 等差数列求和公式： S n
n(a 1 a n ) 2
na 1 n(n
1) 2、等比数列求和公式： S n
na 1
a 1(1 q n ) a 1 a n q 1 q 1 q
(q 1) (q 1)
3、
1
S n k n(n 1)
2
k1 S n
n
k 2
k1
1
1
n(n 1)(2n 1) 6
[1
2
n(n 1)]2
2
二.裂项相消法 :适用于
a n a
n 1
其中｛ a n ｝是各项不为 0 的等差数列， c 为常数；部分无理数
例2 求数列
的前 n 项和 n （n 1）
1)
a
n
1 n(n 1)
11 n n 1
2） a n
(2n)2
(2n 1)(2n 1)
1
1
(
1 1 )
2n 1 2n 1
4) 5)
2) 1+3+5+...+(2n-1) =n 2
3) 13
23
n
3
12
n(n 1)
2 2 2 2
2
2 2 2
1
n(n 1)(2n 1) 6
11
n(n 1) n n 1
1 1 1 1 n(n 2) 2(
n n 2)
1 1 1
巩固练习： 1. 在数列
的前 n 项和为
s n
，则 s
99
n(n 1) n n 1
1
a
n
2. 数列的通项公式是 n
n n 1 , 若前 n 项和为 10，则项数为
6 6 6 6
3. 求数列 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
前 n 项和
三.错位相减法
:可以求形如
的数列的和，其中
为等差数列， 为等比数列
例 1 ：求和： .
例 2: 数列
1，
2 n-1
3x ， 5x , ⋯ ,(2n-1)x 前 n 项的
等差数列 a 小结：错位相减法类型题均为： 等等比差数数列列 b a
n n
连续相加。

四.常用结论 1): 1+2+3+...+n = n(n 1)
2
、选择题：
1．数列 1，3， 6，10，⋯⋯的一个通项公式是( )
单元练习
A．n2－ n+1 B．n（n 1）
C． n（n －1）D．
n（n 1）
2．已知数列的通项公式为 a n =n(n －1), 则下述结论正确的是 ( )
9 常数数列 {
a n }
是等差数列，且 {a n } 的第 5、10、20 项成等比数列，则此等比数列的公比为
(
1 2 D
．
1
5
2
10 等差数列 {
a n }
的前 n 项和为 S n ，若 S 3 9，
S
6 36 ， 则 a
7 a
8 a
9 （
A ． 63
B ．45
C ． 36
D ． 27
二、填空题
11．已知
a n 为等差数列， a 3 a 8 22 ， a 6 7 ，则 a 5 ________________
12．设数列 a n 中， a 1 2,a n 1 a n n 1，则通项 a n __________________ 。

13．设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和， a 12 8, S 9 9, 则 S 16 三、解答题
1、设等差数列 {a n } 满足 a 3＝5，a 10＝－ 9.
3在数列 {a n } 中，a 1=1,a 2=5, n+2=a n+1－ a n , 则 = （ )
A ． 4
B ． 5
C ． －4
D ． －5 4． 设数列 {a n } 的首项为 1， 对所有的 n ≥2，此数列的前 n 项之积为 n 2，则这个数列的第 项与第 5 项的和是 ( )
A ． 25
B ．
21 C ． 61 D ． 256
9
25 16
275
A ．420 是这个数列的第 20 项 C ．420 是这个数列的第 22 项
B ．420 是这个数列的第 21 项 D ． 420 不是这个数列中的项 3
4、设 {a n } 是等差数
列，若 a 2 3,a 7 13 ,则数列 {a n } 前 8 项的和
为 （
）
A.128
B.80
C.64
D.56
5 记等差数列的前 n 项和为
S n ，若 S 2 4,S 4 20 ，则该数列的公差 d ( A 、2
、3 、6 、7
6 设等比数列 {
a n }
的公比 q 2 ，前 n 项和为
S n ，则 S
4
（ a
2
A ．2
B ．4
C ．125
D ．17
2
7 若等差数列 {
a n }
的前 5 项和 S 5 25 ， 且
a 2 3 ，则 a 7 ( C ）14
D) （A ） 12
（ B ）13
8 知
a n 是等比数列， a 2 2，a 5
，则 a 1a 2 a 2a 3
a n a n 1=（
4
15
A ）16（1 4 n
）
32
B ）16（ 1 2 n
） （C ） （1 4 D) 32
（1 2 n
）
3
(1)求{ a n }的通项公式；
(2)求{ a n }的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值
a n ＋ a n ＋ 1 *
2、已知数列 {a n }满足 a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝ 2 ，n ∈N *.
(1)令 b n ＝a n ＋ 1－a n ，证明： {b n } 是等比数列；
(2)求{ a n }的通项公式．
n*
3、已知数列 {x n } 的首项 x 1＝ 3，通项 x n ＝2n p ＋nq(n ∈N *，
p ，q 为常数 )，且 x 1，x 4，
x 5 成等差数列．求：
(1)p ，q 的值；
(2)数列{ x n }前 n 项和 S n 的公式． 4、已知等差数列 {a n } 满足 a 2＝0，a 6＋ a 8＝－ 10.
(1)求数列 { a n }的通项公式；
1 1 1 5、已知数列 {a n } 是首项为 a 1＝ 1
4，公比 q ＝14的等比数列，设
b n ＋2＝3log 41
a n (n ∈ N *)，
数列{ c n } 满足 c n ＝a n ·b n .
(1)求数列 { b n }的通项公式；
(2)求数列 {c n }的前 n 项和 S n .
(2)求数列 的前 n 项和。