习题6.多元复合函数的求导法则

2.2, 3
3. f1′ + yf 2′, f1′ + xf 2′
2 3
4.0
x x f ′ ′ )dx − 2 f ′ ′dy 二、dz = ( 2 xf + ϕ ϕ y y
∂z 2 xyf ′ ∂z 1 2 y 2 f ′ , , 代入即可证得。 代入即可证得。 三、 = − = + 2 2 f f f ∂x ∂y
2
四.
2 1 ∂ z ′′ ′′ ′′ 2. 2 = f11 + f13 + 2 f 33 y y ∂x
2 2
∂ z ∂ z 2 2 1. 2 = 2 f ′ + 4 x f ′′ , 2 = 2 f ′ + 4 y f ′′ ∂x ∂y
2 2
x 1 1 x ∂ z ′′ ′′ ′′ ′′ = f12 − 2 f13 − 2 f 3′ + f 32 − 3 f 33 y y y y ∂x∂y
∂ z ′′ + 4 xy f 12 + 4 x 2 y 2 f 22 + 2 yf 2′ ′′ ′′ 3. 2 = f 11 ∂x 2 ∂ z ′′ + 2 x 2 f 12 + x 4 f 22 ′′ ′′ = f 11 2 ∂y
2
习题六
1 1.[ t t t 一、2sin( −1) − ln(t +1)]cos( −1) +[2ln(t +1) − sin( −1)] t +1
2
∂ z 2 1 四、.z x = 2 xf ′, z y = 2 yf ′, 2 = 2 f ′ + 4 x f ′′ ∂x 2 2
∂ z ∂ z 2 = 2 f ′ + 4 y f ′′, = 4 xyf ′′ ∂y 2 ∂x∂y
x 1 2. z x = f1′ + f 3′, z y = f 2′ − 2 f 3′ y y ∂2 z 1 1 1 2 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + f13 + ( f 31 + f33 ) = f11 + f13 + 2 f33 2 ∂x y y y y y ∂2z x 1 1 x ′′ ′′ ′′ ′′ = f12 − 2 f13 − 2 f 3′ + f 32 − 3 f 33 ∂x∂y y y y y
2
五、 u x = uξ + uη , ut = a ( − uξ + uη )
∂u ∂ u 2∂ u ′′ ′′ ′′ = uξξ + 2uξη + uηη , 2 = a 2 ⇒ uξη = 0 2 ∂x ∂t ∂x ∴u = f1(ξ ) + f2 (η) = f1( x − at) + f2 ( x + at)
3 . z x = f1′ + 2 xy f 2′, z y = f1′ + x f 2′
2
来自百度文库
∂ z ′′ + 4 xy f 12′ + 4 x 2 y 2 f 22 + 2 y f 2′ ′ ′′ = f 11 ∂x 2 2 ∂ z 2 4 ′′ ′′ ′′ = f11 + 2 x f12 + x f 22 2 ∂y
1 ( ( ( 1.(2sin t −1) − ln(t +1))cost −1) + (2ln(t +1) −sin t −1)) ⋅ t +1
一.
习题六
2. 2 , 3 .
3. f1′ + yf2′ , f1′ + xf2′
2 3
4. 0 .
x x f ′ ′)dx − 2 f ′ ′dy ϕ ϕ 二、dz = (2 xf + y y 2 xyf ′ ∂z 1 2 y f ′ ∂z 三、 = − ， = + 2 2 f f ∂x ∂y f
3. yx
y −1
dx + x ln xdy
y
1 y 1 4. ⋅ (− 2 dx + dy ) y 2 1+ ( x ) x x
1 x y 5. x ( x (1 + ln x)dx + y (1 + ln y)dy y z x +y +z + z (1 + ln x)dz)
z
2 2 2
例如 : u = ξ + η = ( x − at ) + x + at
2 2
习题六 课余练习
1.( f ′(e )e
x
+ f (e )e ⋅ f ′( x))dx −1 1 1 2. f ′(arcsin x ) ⋅ ( 2 )dx 1 2 1− ( x ) x
x+ f ( x) x f ( x)