正弦定理(教案)

正弦定理
教学目标：
1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正
弦定理的内容及其证明方法。

2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与
其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，
由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造
的历程。

3、情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的
交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。

教学重点：正弦定理的发现和推导
教学难点：正弦定理的推导
教学过程：
(1)结合实例,提出问题
实际问题:屏幕上出现一张风景秀丽的山水照片. 接下来提出这样一个问题:某游览风景区,欲在两山之间架设一观光索道,需要测量两山之间B A ,两点的距离, 为了测量隧道两个端口之间的距离, 测量人员现在岸边选定1k m 的基线AC ，并在A 点处测得028=∠BAC ，在C 点测得0100=∠ACB ， 这样能确定AB 间的距离吗? 这个问题可以抽象为什么样的数学问题?
(2)观察特例,提出猜想 (1)C c B b A a sin sin sin ==，（2）B
b A a cos cos = (3)数学实验,深入探究
指导学生用几何画板进行操作检验。

(4)归纳总结,完善猜想
C
c B b A a sin sin sin == (5)证明猜想,得出定理
留给学生充足的讨论时间, 在巡视过程中指导学生用“几何法、面积法、外接圆法和向量法、数学形结合”五种证明方法证明定理．通过幻灯片把学生的解答一一投影出来,让其说明证明的想法，并展示给其它学生讨论．
(6)运用定理,解决实例
利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题，一是已知两角和任一边求其他的边和角（如开头解决的问题）；二是已知两边和一边的对角，求其他的边和角。

例题讲解：
例.在△ABC 中，已知A=30º，c=8,a=5,求C 、B 和b(结果保留两位小数) 变式1.若将例题中的条件c=8改为c=3,求C 、B 和b(结果保留两位小数). 变式2.若将例题中的条件c=8改为c=11,这样的三角形是否存在？ 课堂练习：
1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字).
(1)已知c ＝ 3 ，A ＝45°，B ＝60°，求b ；
(2)已知b ＝12，A ＝30°，B ＝120°，求a.
解：(1)∵C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°
b sinB ＝
c sinC
∴b ＝c ·sinB sinC ＝ 3 ·sin600sin750 ≈1.6
(2)∵
a
sinA
＝
b
sinB
∴a＝b·sinA
sinB
＝
12·sin300
sin1200
≈6.9
评述：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较弱的学生进行板演，以增强其自信心.
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°，边长精确到1)：
(1)b＝11，a＝20，B＝30°；
(2)a＝28，b＝20，A＝45°；
(3)c＝54，b＝39，C＝115°；
(4)a＝20，b＝28，A＝120°.
解：(1)∵
a
sinA
＝
b
sinB
∴sinA＝a·sinB
b
＝
20·sin300
11
＝0.9091
∴A1＝65°，A2＝115°
当A1＝65°时，C1＝180°－(B＋A1)＝180°－(30°＋65°)＝85°
∴c1＝b·sinC1
sinB
＝
11·sin850
sin300
≈22.
当A2＝115°时，C2＝180°－(B＋A2)＝180°－(30°＋115°)＝35°
∴c2＝b·sinC2
sinB
＝
11·sin350
sin300
≈13.
(2)∵sinB＝b·sinA
a
＝
20·sin450
28
＝0.5051
∴B1＝30°，B2＝150°
由于A＋B2＝45°＋150°＞180°，故B2＝150°应舍去(或者由b＜a知B ＜A，故B应为锐角)
∴C＝180°－(45°＋30°)＝105°
∴c＝a·sinC
sinA
＝
28·sin1050
sin450
≈38
(3)∵
b
sinB
＝
c
sinC
，∴sinB＝
b·sinC
c
＝
39·sin1150
54
∴B1＝41°，B2＝139°
由于b＜c故B＜C ∴B2＝139°应舍去∴B＝41°，A＝180°－(41°＋115°)＝24°
a＝b·sinA
sinB
＝
39·sin240
sin410
≈24.
(4)∵sinB＝b·sinA
a
＝
28·sin1200
20
＝1.212＞1
∴本题无解
评述：此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理，同时加强解斜三角形的能力，既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能，又要结合题目的具体情况进行正确取舍.
课后思考：在例2中，已知两边和一边的对角，为什么解的情况不同？
“已知两边和一边的对角解三角形”这类问题解的个数如何判断？(7)课堂小结
学生小结，教师点评补充。

(8)课后练习
课本习题P11 1，2，3，4.。