2019-2020学年贵州省黔东南州凯里一中高一(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年贵州省黔东南州凯里一中高一（上）第一次月考数学
试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 函数f(x)=√x−2
x−3
+lg(4−x)的定义域为( )
A. [2,+∞)
B. [2,3)
C. [2,4)
D. [2,3)或(3,4)
3. 下列函数中哪个与函数y =√−2x 3相同( )
A. y =x √−2x
B. y =−x √−2x
C. y =−x√−2x 3
D. y =x 2√−2
x
4. 已知f:(x,y )→(xy,x
y )是从集合A 到集合B 的映射，在集合B 中与集合A 中元素(1,2)对应的元
素是( )
A. (1,2)
B. (2,1
2) C. (2,1)
D. (1,1
2) 5. 已知函数f(x)=4x 2−kx −8在区间[5,20]上单调递增，则实数k 的取值范围是( )
A. {40}
B. [40,160]
C. (−∞,40]
D. [160,+∞)
6. 某人去上班，由于担心迟到，一开始就跑步，跑累了再走完余下的路程．如果用纵轴表示离单
位的距离，横轴表示出发后的时间，那么下列图中比较符合此人走法的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数f(x +1)=3x +2，则f(x)的解析式是( )
A. 3x +2
B. 3x +1
C. 3x +4
D. 3x −1
8. 下列函数在(0,+∞)上是减函数的是( )
A. y =2x +1
B. y =−2
x C. y =−x 2+2
D. y =−x 2+x −1
9. 5.已知集合A ={x | x 2−3 x +2=0，x ∈R}，B ={x | 0< x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B
的集合C 的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 某大型服装厂为了制定下一年的销售策略，对某款畅销婴幼儿服装近3年的销售情况进行分
析．分析结果如下：该款服装的综合成本为18元，当每件售价为x(x >18)元时，年销售量为m 万件，已知244−m 与x 2−16x 成正比，且每件售价为20元时，年销量为164万件．则该款婴幼儿服装年销售利润y(单位：万元)关于售价x(单位：元)的函数关系式为( )
A. y =−x 3+17x 2−22x −2196(x >18)
B. y =−x 3+34x 2−44x −4392(x >18)
C. y =x 3−17x 2+22x +2196(x >18)
D. y =x 3−34x 2+44x +4392(x >18)
11. 已知函数f(x)和g(x)的图象如图所示，若关于x 的方程f(g(x))=1和g(f(x))=0的实数根的个
数分别为m 和n ，则m +n =( )
A. 15
B. 13
C. 12
D. 10
12. 函数f (x )的定义域为D ，若满足如下两个条件：
(1)f (x )在D 内是单调函数；(2)存在[m 2,n
2]⊆D ，使得f (x )在[m 2,n
2]上的值域为[m,n ]，那么就称函数f (x )为“希望函数”，若函数f (x )=log a (a x +t )(a >0,a ≠1)是“希望函数”，则t 的取值范围是( )
A. (−1
4,0)
B. [−1
4,0] C. (−1
2,0) D. [−1
2,0]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 集合{−1,0,1}共有__________个子集．
14. 已知g(x)=f(x)+x 2是奇函数，且f(1)=1，则f(−1)=______． 15. 已知函数f(x)={(1
2)x ,x ≥11
x−1,x <1
则f(f(2))= ______ ． 16. 若对任意的x ∈[1e ,+∞)，都有1
2x 2−alnx ≥0成立，则实数a 的取值范围是____． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 设全集U =R ，A ={x|x 2+px +12=0}，B ={x|x 2−5x +q =0}，若(∁U A)∩B ={2}，A ∩
(∁U B)={4}，求A ∪B ．
18.已知集合A={x|x2−mx+1=0}，B={x|x2−3x+2=0}，若A∩(∁U B)=⌀，其中U=R，
求实数m的取值范围．
19.已知二次函数f(x)满足：f(0)=1，且f(x+1)−f(x)=2x．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在区间[−1,m]上的最大值．
20.已知函数f(x)=|x|(x+1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[−1,1
2
]上的最大值．
21.已知f(x)是R上的奇函数，且对任意的实数x,y，当x+y≠0时，都有f(x)+f(y)
x+y
>0，
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；
(2)若存在x∈[1,3]，使f(x−c)+f(x−c2)>0成立，求实数c的取值范围．
22.今有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是P和Q(万元)，它们与投入资金x(
万元)的关系式为P=1
5x，Q=3
5
√x.今有3万元资金投入甲、乙两种商品．
(1)写出利润与投入资金之间的关系式．
(2)为获得最大利润，对甲、乙两种商品投入的资金分别为多少？
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析： 【分析】
本题考查元素与集合的关系，是基础题． 利用元素与集合的关系直接求解． 【解答】
解：在A 中，0是自然数，故，故A 正确；
在B 中，，故B 错误； 在C 中，，故C 错误；
在D 中，，故D 错误．
故选：A ．
2.答案：D
解析：解：要使函数有意义，则{x −2≥0
x −3≠04−x >0
，
即{x ≥2x ≠3x <4， 即2≤x <3或3<x <4， 故选：D
根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
3.答案：B
解析： 【分析】
本题考查了判断两个函数是否为同一函数，解答的关键是看两个函数的定义域与对应关系是否相同，属基础题．给出的函数含有根式，先分析其定义域为x ≤0，根式内可以开出−x ． 【解答】
解：因为原函数有意义，所以x ≤0，所以函数，所以与函数
y =√−2x 3相同的函数为y =−x √−2x ．
故选B．
4.答案：B
解析：
【分析】
本题主要考查映射的概念，属于基础题．
根据题目给出的映射法则进行运算即可．
【解答】
解：由已知：xy=2,x y=12,
)，
所以在集合B中与集合A中的元素(1,2)对应的元素是(2,1
2
故选B．
5.答案：C
解析：
【分析】
本题考查二次函数的单调性，关键是掌握二次函数的性质，属于基础题．
≤5，解可得k的取根据题意，由f(x)的解析式分析函数f(x)的对称轴，结合二次函数的性质可得k
8
值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)=4x2−kx−8为二次函数，其对称轴为x=k
，
8
若函数f(x)=4x2−kx−8在[5,20]上单调递增，
≤5，解得k≤40，
则k
8
即k的取值范围为(−∞,40]．
故选C．
6.答案：D
解析：
解析：
【分析】
本题考查的是分段函数的图象判断问题．在解答时应充分体会实际背景的含义．
根据走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步，即可获得随时间的推移离学校距离大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答．
【解答】
由题意得函数s=f(t)是减函数，其图象是下降的，排除A、C；
又一开始就跑步速度快，则s=f(t)减少得快，跑累了后速度慢，s=f(t)减少得慢，排除B；
故选D．
7.答案：D
解析：
【分析】
本题考查了函数解析式的求解，很容易．换元法整体代入求解，采用换元法求函数解析式是常用方法．换元时，一定注意自变量的取值范围的变化情况．
【解答】
解：设t=x+1，
∵函数f(x+1)=3x+2=3(x+1)−1
∴函数f(t)=3t−1，
即函数f(x)=3x−1
故选D.
8.答案：C
解析：解：A中，y=2x+1在(0,+∞)上是增函数，不满足要求；
B中，f(x)=−2
在(0,+∞)上是增函数，不满足要求；
x
C中，y=−x2+2在(0,+∞)上是减函数，满足要求；
D中，y=−x2+x−1在x=1
时函数取得最大值，在(0,+∞)上不是减函数，不满足要求；
2
故选：C
根据一次函数，二次函数，反比例函数的单调性，分别判断四个函数的在(0,+∞)上的单调性，可得答案
本题考查复合函数的单调性、指数函数、对数函数及一次函数的性质，属中档题．
9.答案：D
解析：解：由题意可得，A={1,2}，B={1,2，3，4}，
∵，
∴满足条件的集合C有{1,2}，{1,2，3}，{1,2，4}，{1,2，3，4}共4个，
故选：D．
解析：
【分析】
本题考查了函数模型的应用，属于基础题．
设244−m=k(x2−16x)，由已知条件，可求出k=1，故y=m(x−18)=(−x2+16x+244)(x−18)，整理可得答案．
【解答】
解：设244−m=k(x2−16x)，
因为每件售价为20元时，年销量为164万件，
所以244−164=k(202−16×20)，解得k=1，
所以244−m=x2−16x，所以m=−x2+16x+244，
所以y=m(x−18)=(−x2+16x+244)(x−18)=−x3+34x2−44x−4392(x>18)．
即y=−x3+34x2−44x−4392(x>18)．
故选B．
11.答案：A
解析：
【分析】
先根据图象，先求出f(x)=1和g(x)=0的根，然后利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数零点个数的判断，结合函数与方程之间的关系，研究函数图象是解决本题的关键．【解答】
解：由f(t)=1得t1∈(0,1)，t2∈(−1,0)，
当t1=g(x)，此时有3个根；
当t2=g(x)，此时有3个根．
故f(g(x))=1共有6个根，即m=6．
由g(t)=0得t1=0，0<t2<1，−1<t3<0，
当t1=f(x)=0，此时有3个根；
当t2=f(x)，此时有4个根；
当t3=f(x)，此时有2个根．
故g(f(x))=0共有3+4+2=9个根，即n=9．
则m+n=6+9=15，
故选：A．
解析： 【分析】
本题考查了函数与方程的综合应用，是一道难题． 根据函数f (x )的单调性得出
有两解，令a x
2=m(m >0)，则关于m 的方程−t =m −
m 2有两解，根据二次函数的性质得出t 的范围． 【解答】 解：∵y =a x +t 与
的单调性相同，
且a ≠1)在定义域上是增函数，
∵f(x)在区间[m 2,n
2
]上的值域为[m,n ]，
∴方程
有两解，即方程a x =a x
2+t 有两解，
设a x
2=m(m >0)，则−t =m −m 2，
作出−t =m −m 2(m >0)的函数图象如图所示：
∵方程a x =a x
2+t 有两解，∴关于m 的方程−t =m −m 2有两解， ∴0<−t <1
4，所以−1
4<t <0， 故选A ．
13.答案：8
解析：
本题考查了子集的个数，集合的元素有n 个，则其子集的个数为2n 个. 【解答】
解：集合{−1,0,1}共有3个元素，故其子集的个数为8． 故答案为8．
14.答案：−3
解析：解：∵y =g(x)=f(x)+x 2是奇函数， ∴g(−x)=−g(x)，
即f(−x)+x 2=−f(x)−x 2， 即f(−1)+1=−f(1)−1， ∴f(−1)=−f(1)−2， ∵f(1)=1，
∴f(−1)=−1−2=−3． 故答案为：−3．
根据函数y =f(x)+x 2是奇函数，且f(1)=1，建立方程组，即可求f(−1)． 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用奇偶性的性质建立方程是解决本题的关键．
15.答案：−4
3
解析：解：∵函数f(x)={(1
2)x ,x ≥1
1
x−1,x <1， ∴f(2)=(12)2=1
4， ∴f(f(2))=f(1
4)=11
4
−1
=−4
3．
故答案为：−4
3
由已知中函数f(x)={(1
2)x ,x ≥1
1
x−1,x <1
，将x =2代入可得答案． 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．
16.答案：[−1
2e 2,e]
解析： 【分析】
本题考查了函数的恒成立问题，利用导数研究函数的极值和单调性．构造新函数，求函数的导数，
利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f(x)的单调区间；求解最值即可得实数a的取值范围．【解答】
解：由题意，令f(x)=
1
2
x 2−alnx，
则f′(x)=x−
a
x
=
x2−a
x
，
∵x∈[
1
e
，+∞)，
①当a≤0时，则f′(x)>0，f(x)在x∈[
1
e
，+∞)上是递增函数，
可得f(
1
e
)=
1
2
(
1
e
) 2−aln
1
e
≥0，
解得：0≥a≥−
2e2
②当a>0时，令f′(x)=0，可得x=√a ．
若√a≤
1
e
，则f(x)在x∈[
1
e
，+∞)上是递增函数，
可得f(
1
e
)= 1
2
(
1
e
) 2−aln 1
e
≥0，
解得：
1
e
≥a≥−
1
2e2
若√a>
1
e
，则f(x)在x∈[
e
，√a)上是递减函数，
在[√a ，+∞)上是递增函数，
此时f(√a) min =
1
2
(√a)2−aln √a ≥0，
解得：a ≤e
则
1
e
<a ≤e
综上可得：任意的x ∈[
1
e
，+∞)，都有
1
2
x 2−alnx ≥0成立，则实数a 的取值范围是[−
1
2e 2
，e]．
故答案为[−
1
2e 2
，e]．
17.答案：解：∵由{
4∈A 2∈B ，得{p =−7q =6， ∴A ={3,4}，B ={2,3}
∴A ∪B ={2,3，4}
解析：利用：“(C U A)∩B ={2}，A ∩(C U B)={4}，”得到4∈A 且2∈B ，列出方程组求得p ，q ，从而得出A ，B ，最后求出A ∪B 即可．
本题考查补集及其运算、交集及其运算、并集及其运算，解答的关键是利用元素与集合的关系列出
方程求解．
18.答案：解：因为A ={x|x 2−mx +1=0}，
B ={x|x 2−3x +2=0}，若A ∩(∁U B)=⌀，
所以A ⊆B ，当A =⌀时，
有Δ=m 2−4<0，解得m ∈(−2,2)．
又集合B ={1,2}，
所以当A ={1}时，m =2，
当A ={2}时，即x =2满足x 2−mx +1=0，
解得m =52，此时A ={2,12}，不满足题意，
综上，m ∈(−2,2]．
解析：本题考查集合的基本运算，二次方程的解法，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题． 直接利用A ∩(∁U B)=⌀，说明A ⊆B ，求出集合B ，然后求解集合A ，即可得到m 的值的范围． 19.答案：解：(1)设二次函数f(x)=ax 2+bx +c ，∵f(0)=1，∴c =1．
再由f(x +1)−f(x)=2x ，可得2ax +a +b =2x ，故有a =1，b =−1，故有f(x)=x 2−x +1．
(2)二次函数f(x)=x 2−x +1的对称轴为x =12，故f(−1)=f(2)．
当−1<m ≤2时，f max (x)=f(−1)=3．
当m >2时，f max (x)=f(m)=m 2−m +1．
解析：(1)设二次函数f(x)=ax 2+bx +c ，由f(0)=1，求得c =1.再由f(x +1)−f(x)=2x ，可得a =1，b =−1，从而求得f(x)的解析式．
(2)二次函数f(x)=x 2−x +1的对称轴为x =12，故f(−1)=f(2).−1<m ≤2时，
f max (x)=f(−1)，当m >2时，f max (x)=f(m)．
本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 20.答案：解：函数f(x)=|x|(x +1)的图象如图所示：
(1)f(x)在[−∞,−12]和[0,+∞)上是增函数，在[−1
2,0]上是减函数，因此f(x)的单调递增区间为
[−∞,−12]，[0,+∞)；单调递减区间为[−12,0].
(2)因为f (−12)=14，f (12)=34
， 所以f(x)在区间[−1,12]上的最大值为34．
解析：本题考查分段函数求单调区间和最值问题，其关键点在于要先作出函数图像，根据函数图像即可得到单调区间和最值.属于基础题． 21.答案：解：(1)∵f(x)是R 上的奇函数，
∴当a −b ≠0时，f(a)−f(b)a−b =f(a)+f(−b)a+(−b)>0，
又∵a >b ，∴a −b >0，∴f(a)−f(b)>0，
即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知，a >b 时，都有f(a)>f(b)，
∴f(x)在R 上单调递增，
∵f(x)为奇函数，
∴f(x −c)+f(x −c 2)>0等价于f(x −c)>f(c 2−x)
∴不等式等价于x −c >c 2−x ，即c 2+c <2x ，
∵存在x ∈[1,3]使得不等式c 2+c <2x 成立，
∴c 2+c <(2x)max ,x ∈[1,3]，
∴c 2+c <6，即c 2+c −6<0，
解得：−3<c <2，即c ∈(−3,2)．
解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及抽象函数的单调性，不等式的解法等，属于中档题．
(1)根据奇函数的性质和条件得：f(a)−f(b)a−b =f(a)+f(−b)a+(−b)>0，由a >b 判断出f(a)、f(b)的大小；
(2)根据(1)和单调性的定义可判断出函数的单调性，再由奇函数的性质得：f(x −c)+f(x −c 2)>0等价于f(x −c)>f(c 2−x)，由题可得c 2+c <(2x)max ,x ∈[1,3]，即可得出．
22.答案：解：(1)设甲种商品投资3−x 万元，乙种商品投资x 万元，利润为y 万元；
则y =15(3−x)+35√x ，(0≤x ≤3)；
(2)y =15(3−x)+35√x
=−15x +35√x +35
=−15(√x −32)2+35+920；
故当√x =32，即x =94时，有最大值，
故为获得最大利润，对甲、乙两种商品投入的资金分别为0.75，2.25万元．
(3−x)+解析：(1)设甲种商品投资3−x万元，乙种商品投资x万元，利润为y万元；从而可得y=1
5
3
√x，注意定义域(0≤x≤3)；
5
(2)利用配方法求函数的最值，注意能否取到．
本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．。