初中数学竞赛题汇编几何部分含解答

初中数学竞赛题汇编(几何部分)(含解答)

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初中数学竞赛题汇编

（几何部分1）

江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答

例1：ΔABC中，AC⊥BC，CE⊥AB，ＡＦ平分∠CAB，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ，交ＡＢ于Ｄ。

求证：ＡＣ＝ＡＤ。

证明分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，

ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ．

易证RtΔAGF≌RtΔAEF．∴AＥ＝AＧ．则易证RtΔAEC≌RtΔAGD．∴ＡＣ＝ＡＤ．

例2：ΔABC中，∠A＝100°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分∠A BC．

求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ。

证明分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ

＝ＢＤ．易证ΔABD≌ΔEBD．∴ＡＤ＝ＥＤ，

∠A＝∠BED＝100°．由已知可得：∠C＝40°，

∠D BF＝20°．∵ＢＦ＝ＢＤ，∴∠BFD＝80°．由三角形外角性质可得：∠CD F＝40°＝∠C．∴ＣＦ＝ＤＦ．

∵∠BED＝100°，∴∠BFD＝∠DEF＝80°，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．

例3：已知在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分∠BAC，BD AD

于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长．

证明分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得

ΔABD≌ΔAFD．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝Ｅ

Ｃ，即ＤＥ为ΔBCF的中位线．∴DE＝FC

＝(AC－AB)＝2．

例4：已知在ΔABC中，∠A＝108°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分∠ABC．

证明分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，

连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知

可得：∠ABD＝∠DBE＝18°，∠A＝

∠BED＝108°，∠C＝∠ABC＝36°．

∴∠DEC＝∠EDC＝72°，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．例5：如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是△ABC的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ分别与ＢＣ相交I、H，连接ＦＧ．

（１）求证：FG＝(AB＋BC＋CA)

（２）若(a)ＢＤ与ＣＥ分别是△ABC的内角平分线，如图（２）；

(b)ＢＤ是ΔABC的内角平分线，ＣＥ是ΔABC的外角平分线，如图（３）．

则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．

图（１）图（２）图（３）

证明分析：图（１）中易证ΔABF≌ΔIBF及ΔACG≌ΔHCG．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH 的中位线．∴FG＝(AB＋BC＋CA)．

同理可得图（２）中FG＝(AB＋CA－BC)；

图（３）中FG＝(BC＋CA－AB)。

例6：如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交∠BAC的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ

证明分析：连接ＤＢ、ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分

ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD ≌ΔAND ．

∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴

ＢＭ＝ＣＮ．

例7：如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝Ｂ

Ｆ．

证明分析：将ΔABF 视为ΔADE 绕Ａ顺时针旋转

90°即可． ∵∠F AB ＋∠BAE ＝∠EAD ＋∠BAE ＝90°．∴∠FBA ＝∠EDA ． 又∵∠F AB ＝∠EDA ＝90°，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF ≌ΔADE ．（ASA ）∴ＤＥ＝ＤＦ．

例8：如图，在ΔABC 中，∠B ＝2∠C ，ＡＤ平分∠BAC ．

求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．

证明分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连

接ＤＥ．则有ΔABD ≌ΔAED ．∴ＢＤ＝

ＤＥ．∴∠B ＝∠AED ＝∠C ＋∠EDC ．又

∵∠B ＝2∠C ，∴∠C ＝∠EDC ．

∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．

例9：如图，点Ｅ在ΔABC 外部，Ｄ在边ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若∠1＝∠2＝∠3，ＡＣ＝ＡＥ．

求证：ΔABC ≌ΔADE ．

证明分析：若ΔABC ≌ΔADE ，则ΔADE 可视

为ΔABC 绕Ａ逆时针旋转∠1所得．

∵∠B ＋∠1＝∠ADE ＋∠2，且∠1＝

∠2．∴∠B ＝∠ADE ．又∵∠1＝∠3．

B D A C

F

E

∴∠BAC ＝∠DAE ．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC ≌ΔADE ．

例10：在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分∠B AD ，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且AE ＝ (AB ＋AD)．

求∠ABC ＋∠ADC 的度数．

证明分析：延长ＡＢ到Ｆ，使得Ｂ

Ｆ＝ＡＤ．则有ＣＥ垂直平分Ａ

Ｆ，∴ＡＣ＝ＦＣ．∴∠F ＝∠CAE

＝∠DAC ．∴有ΔCBF ≌ΔCDA （SAS ）．∴∠CBF ＝∠D ．∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°．

例11：如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．

求证：∠EAF ＝45°．

证明分析：将ΔADF 绕Ａ顺时针旋转90°得

ΔAB G ．∴∠GAB ＝∠FAD ．

易证ΔAGE ≌ΔAFE ．

∴∠FAE ＝∠GAE ＝ ∠FAG ＝45°．

例12：如图，ΔABC 与ΔEDC 均为等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上． ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等

三角形，并写出证明过程．

证明分析：将RtΔBCD 视为RtΔACE 绕Ｃ顺时针旋

转45°即可． 例13：如图，在ΔA BC 中，∠ABC ＝90°，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ为ＡＣ中点．ＡＢ的延长线上任意一点Ｅ．ＦＤ⊥Ｅ

Ｄ交ＢＣ延长线于Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．

证明分析：连接ＢＤ．则ΔB DE 可视为ΔCDF

绕Ｄ顺时针旋转90°所得．易证ＢＤ⊥ＤＣ与

ＢＤ＝ＣＤ．则∠BDE ＝∠CDF ．又易证

A

E C B D F