大学物理学 曲线运动讲解
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自然坐标 切向和法向加速度（ P14）
一 自然坐标
y
A
?问题的提出：
?
为什么引入自然坐标？
r
自然坐标系是建立在物体运 动的轨迹上的，有两个坐标 轴，切向坐标 和法向坐标。
运动方程： S?t ?
o
v? x
s? P?
?O1
?s
? r?
Q
?
L
r?(t )
r?(t ? ? t)
? O 参考物
?切向坐标 ? 沿运动轨迹的切线方向；
τ?(t ? ? t)
当 ?t ? 0 时
τ?( t )
? τ? ? τ?(t) ? θ ? ? θ ? τ? // n?
? θ ? τ?
? τ? ? ? θ n?
τ?(t ? ? t)
因而
dτ? ? lim ? τ? dt ?t? 0 ? t
? lim ? θ n? ? lim ? θ ? s n? ?
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1?
2
t2
?
2
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2 0
?
2?
(?
?
?0
)
讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种 是正确的：
（A）切向加速度必不为零；
（B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；
（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零；
（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
（E）若物体的加速度 a? 为恒矢量，它一定作匀变
引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不同曲率半
径的圆弧所构成
A? ?
?? B?
P? v?
a?τ
a?n
?
?
a?
a?
aτ 2 ? an2
, tanθ
? an aτ
例 一汽车在半径 R=200 m 的圆弧形公路上行驶，其运动学 方程为s =20t ? 0.2 t 2 (SI) .
求 汽车在 t = 1 s 时的速度的大小和加速度大小。
1 n? ρ
一般曲线运动（自然坐标）
v? ? d s ??
dt
a? ? dv ?? ? v 2 n? dt ?
其中 ?
?
ds
d?
曲率半径 .
说明
? 在一般情况下a
?
d dt
(vτ?)
?
dv
dt
τ? ? v
dτ? dt
?
d d
2
t
s
2
τ?
?
v2 ?
n?
其中?
为曲率半径（?
?
ds d?
），
n? 的方向指向曲率圆中心
a?
?
dv dt
?
r?
法向加速度（ 速度方向变化引起 ）
an
?
v?
?
? 2r
?
v2 r
讨论：加速度方向
a? ? a??? ? a nn?
θ ? tan ?1 a n aτ
法向加速度： a n的方向恒为 n?的正方向
切向加速度
? 0,
0??
?
π 2
,
v 增大
a? ? 0, ? ? 2π, v ? 常量
?
? ?? ?
(20
? 0.4 200
?
1)2
?2 ?? ?
?
1.44
m/s2
P16 1.5.1
圆周运动的角速度和角加速度 ——角量
角坐标 ? (t )
角速度
? ?t ?? lim ? ? ? d? ?t ?
? t ? 0 ? t dt
角加速度
? ?t ?? lim ? ? ? d? ?t ?
? t ? 0 ? t dt
r
dω dt
?
r
β
切向单位矢量的时间变化率
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0
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?
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法向单位矢量
? a
?
dv
τ?
?
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圆周运动加速度
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切向加速度（ 速度大小变化引起 ）
Δt ? 0 Δt Δt ? 0 Δt
dt
v?
P?
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? O 参考物
? vττ? 速度矢量在切线上的投影
二. 加速度
v? ? ds τ? ? vτ? a? ? dv ? d (vτ?) ? dv τ? ? v dτ?
dt
dt dt
dt dt
第一项：
dv τ? dt
叫切向加速度
a?τ
dv
大小为
dt
τ?(t )
P
?
Q
? τ?(t ? ? t)
?θ
n?( t )
方向为 τ?
O n?(t ? ? t )
第二项：
意义：反映速度大小变化的快慢
v dτ? dt
叫法向加速度 a?n
? τ? ? τ?(t ? ? t) ? τ?(t)
τ?(t )
? θ ? τ?
速率运动 .
例 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为
1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径约为
3.5km , 且飞机从 A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆 周运动 , 若不计重力加速度的影响 , 求: ( 1) 飞机在点 B 的加速度 ; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 .
??：切向单位矢量
?法向坐标 n 沿运动轨迹 的法线方向。
n?：法向单位矢量
n? n?
??
??
注意：
??和 n?不是恒矢量
用自然坐标表示平面曲线运动中的速
一. 速度
? v
?
度和加速度
vτ τ?
?
因为：
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?
lim Δr
Δt? 0 Δt
? t ? 0时， ? ?r ? ? s?
?
v? ? lim Δr ? lim Δs τ? ? ds τ?
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1 vn?
ρ
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v
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v2
ρ
n?
?
a?n
法向加速度： 大小为 v 2 ρ
方向为 n?
意义： 反映速度方向变化的快慢
曲率半径
加速度
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?
v2
ρ
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dt
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x
Biblioteka Baidu? 0,
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减小
匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1 匀速率圆周运动：速率 v 和角速度 ? 都为
常量 .
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?
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2 匀变速率圆周运动 ? ? 常量
如 t ? 0 时, ? ? ?0,? ? ? 0
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解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有
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dt
aτ
?
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?
? 0.4
v (1) ? 19.6 m/s
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(20
? 0.4t)2 R
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B
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圆周运动的线量和角量的关系
速率
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切向加速度
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一 自然坐标
y
A
?问题的提出：
?
为什么引入自然坐标？
r
自然坐标系是建立在物体运 动的轨迹上的，有两个坐标 轴，切向坐标 和法向坐标。
运动方程： S?t ?
o
v? x
s? P?
?O1
?s
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Q
?
L
r?(t )
r?(t ? ? t)
? O 参考物
?切向坐标 ? 沿运动轨迹的切线方向；
τ?(t ? ? t)
当 ?t ? 0 时
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? τ? ? τ?(t) ? θ ? ? θ ? τ? // n?
? θ ? τ?
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因而
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讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种 是正确的：
（A）切向加速度必不为零；
（B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；
（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零；
（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
（E）若物体的加速度 a? 为恒矢量，它一定作匀变
引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不同曲率半
径的圆弧所构成
A? ?
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, tanθ
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例 一汽车在半径 R=200 m 的圆弧形公路上行驶，其运动学 方程为s =20t ? 0.2 t 2 (SI) .
求 汽车在 t = 1 s 时的速度的大小和加速度大小。
1 n? ρ
一般曲线运动（自然坐标）
v? ? d s ??
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其中 ?
?
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曲率半径 .
说明
? 在一般情况下a
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其中?
为曲率半径（?
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法向加速度（ 速度方向变化引起 ）
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讨论：加速度方向
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θ ? tan ?1 a n aτ
法向加速度： a n的方向恒为 n?的正方向
切向加速度
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π 2
,
v 增大
a? ? 0, ? ? 2π, v ? 常量
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(20
? 0.4 200
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1)2
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1.44
m/s2
P16 1.5.1
圆周运动的角速度和角加速度 ——角量
角坐标 ? (t )
角速度
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? t ? 0 ? t dt
角加速度
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? t ? 0 ? t dt
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切向单位矢量的时间变化率
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法向单位矢量
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圆周运动加速度
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切向加速度（ 速度大小变化引起 ）
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? O 参考物
? vττ? 速度矢量在切线上的投影
二. 加速度
v? ? ds τ? ? vτ? a? ? dv ? d (vτ?) ? dv τ? ? v dτ?
dt
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第一项：
dv τ? dt
叫切向加速度
a?τ
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大小为
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P
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Q
? τ?(t ? ? t)
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方向为 τ?
O n?(t ? ? t )
第二项：
意义：反映速度大小变化的快慢
v dτ? dt
叫法向加速度 a?n
? τ? ? τ?(t ? ? t) ? τ?(t)
τ?(t )
? θ ? τ?
速率运动 .
例 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为
1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径约为
3.5km , 且飞机从 A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆 周运动 , 若不计重力加速度的影响 , 求: ( 1) 飞机在点 B 的加速度 ; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 .
??：切向单位矢量
?法向坐标 n 沿运动轨迹 的法线方向。
n?：法向单位矢量
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注意：
??和 n?不是恒矢量
用自然坐标表示平面曲线运动中的速
一. 速度
? v
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度和加速度
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因为：
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意义： 反映速度方向变化的快慢
曲率半径
加速度
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减小
匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1 匀速率圆周运动：速率 v 和角速度 ? 都为
常量 .
a? ? 0
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2n?
2 匀变速率圆周运动 ? ? 常量
如 t ? 0 时, ? ? ?0,? ? ? 0
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解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有
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圆周运动的线量和角量的关系
速率
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