练习册 第二章第一二节 部分答案

线性表示。 线性相关， 所以存在不全为零的 ， 。设 ， ， 中 ，又
证明： 因为向量组 ， 使得
最后一个不为零的数是
，即
，
因为
，所以，
。即有 ， 于 是
)，使得 ，
，命题得证。
四、 已知 证明： （1） 能由 示。 证明： （1） 因为 又因为
线性相关,
线性无关， 线性表
线性表示。 （2） 不能由
五
、
已
知
向
量
组
，
令
，求证向量组 线性相关。 解：因为 所以，向量组 线性相关。 ，
§2-2 线性相关与线性无关（二）
一、 设
线性相关，
线性相关，问
是否
一定线性相关？并举例说明之。 解Fra Baidu bibliotek取 , 线性相关。 取 , 线性无关。 . .
二、举例说明下列各命题是错误的： 1．若向量组 性表示。 解：取 . 是线性相关的，则 可由 线
线性无关， 由定理 1 知 线性相关，由定理 3 得 能由
也线性无关； 线性表示。
（2）反证法。假设 能由 果， 可推出 能由 与
线性表示。再利用（1）的结 线性相关， 线性表示。
线性表示， 由定理 2 得
线性无关矛盾。所以， 不能由
五、 设
,
,
，且向量 线性无关。 ，则
线性无关，证明向量组 证明：设
2．若有不全为 0 的数
,使
成立，则 解：取
是线性相关， , .
是线性相关.
3． 若只有当
全为 0 时，等式
才能成立， 则 解：取
是线性无关， , .
是线性无关。
4．若 有不全为 0 的数
是线性相关， ，使
是线性相关，则
同时成立。 解：取 , .
三、 设向量组 量
线性相关， 且 )，使 能由
,证明存在某个向
则
即
，线性无关。
2. 线性相关
三、设有向量组 问 取何值时该向量组线性相关。 解：设
，
则
即
所以，
, 线性相关;
, 线性无关
四、设
线性无关，
线性相关，求向量 用
线性表示的表示式。 解：因为 使得 因为 线性无关，所以 . 线性相关，所以存在不全为零的 即 + + b= ， ， .又
， 于 是 ， b=
第二章 §2-1 §2-2 一、 填空题
向量组的线性相关性
������维向量，线性相关与线性无关（一）
1. 设3 α1 − α + 2 α2 + α = 5 α3 + α , 其中 则 2. 设 则线性组合 .
, .
3. 设矩阵
，设 为矩阵 的第 个列向量，
则
.
二、 试确定下列向量组的线性相关性 1. 解：设
而向量
线性无关，所以，
所以，向量组
线性无关。