正弦定理1.1.1(二)

1.1.1正弦定理(二)
学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题(重点)；2.能根据条件，判断三角形解的个数(难点)；3.能利用正弦定理、三角恒等变换解决较为复杂的三角形问题(难点
).
知识点1对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：
(1)代数角度
由正弦定理得sin B ＝b sin A a，
①若b sin A
a＞1，则满足条件的三角形个数为0，即无解.
②若b sin A
a＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解.
③若b sin A
a＜1，则满足条件的三角形个数为1或2.
(2)几何角度
图形关系式解的个数
A为锐角①a＝b sin A；
②a≥b
一解b sin A＜a＜b 两解
a＜b sin A 无解
A 为 钝角 或直 角
a ＞
b 一解
a ≤
b 无解
【预习评价】
1.已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时需舍去一解，有时又不能舍.那么我们怎么把握舍不舍的问题？
提示 例如在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值.由正弦定理a sin A ＝b
sin B ，可求得sin B ＝
b sin A
a .在由sin B 求B 时，如果a ＞
b ，则有A ＞B ，所以B 为锐角，此时B
的值唯一；如果a ＜b ，则有A ＜B ，所以B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个. 2.已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？
提示 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题.
知识点2 三角形面积公式 任意三角形的面积公式为：
(1)S △ABC ＝12bc sin__A ＝12ac sin__B ＝1
2ab sin__C ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.
(2)S △ABC ＝1
2ah ，其中a 为△ABC 的一边长，而h 为该边上的高的长.
(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝1
2rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长.
(4)S △ABC ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）⎝ ⎛
⎭⎪⎫其中p ＝
a ＋
b ＋
c 2. 【预习评价】
1.在△ABC 中，若B ＝30°，a ＝2，c ＝4，则△ABC 的面积为________.
2.在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________.
题型一 三角形解的个数的判断
【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.
(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.
规律方法 判断三角形解的情况：
先判断角，若有一个为钝角，则有一解或无解；若无钝角，则有一解、两解或无解，然后再由大边对大角来具体判断解的情况.
【训练1】 根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解： (1)a ＝3，b ＝2，A ＝120°； (2)a ＝60，b ＝48，B ＝60°； (3)a ＝7，b ＝5，A ＝80°； (4)a ＝14，b ＝16，A ＝45°.
题型二 判断三角形形状问题
【例2】 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状.
规律方法 判断三角形形状的常用方法有：(1)化边为角.将题目中的条件，利用正弦定理化边为角⎝ ⎛
⎭⎪⎫若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，再根据三角函数的有
关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；(2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2)，进而确定三角形的形状.
【训练2】在△ABC中，已知3b＝23a sin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是()
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
方向1 三角函数式的化简、证明及求值
【例3－1】
如图所示，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC ＝β.
(1)求证：sin α＋cos 2β＝0；
(2)若AC＝3DC，求β的值.
规律方法在三角形中，进行三角函数式的化简、证明或求值时，一要注意边角互化，二要注意三角函数公式的灵活应用，特别是三角恒等式变形的技巧.
方向2 与三角形面积有关的问题
【例3－2】在△ABC中，∠A＝60°，c＝3 7a.
(1)求sin C的值；
(2)若a＝7，求△ABC的面积．
方向3 求范围或最值
【例3－3】在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2b sin A，求cos A＋sin C的取值范围.
规律方法 三角函数、三角恒等变换与解三角形的综合问题是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理，能够对边角关系进行互相转化.
课堂达标
1.△ABC 满足下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中有两个解的是( ) A.①② B.①④ C.①②③ D.③④
2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.32 C.1 D. 3
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2a C ．A ＝2B
D ．B ＝2A
4.在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lg sin B －lg(sin C －sin A )，则此三角形的形状是________.
5.在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B
sin A
.
课堂小结
1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.
2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.
3.结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角形面积公式、三角恒等变换等知识进行综合应用.
基础过关
1.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
2.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定
3.在△ABC 中，a cos B ＝b
cos A
，则△ABC 一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
4.已知c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为________.
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B＝________.
6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tan A＝3，cos C＝
5 5，
(1)求角B的大小；
(2)若c＝4，求△ABC的面积.
7.在△ABC中，求证：a2－b2
c2＝
sin（A－B）
sin C.
能力提升
8.已知方程x2－(b cos A)x＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且A，B为△ABC 的两内角，a，b为角A，B的对边，则此三角形为()
A.等腰直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
9.在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为角A的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD等于()
A.2
B.2或4
C.1或2
D.5
10.在△ABC中，A＝π
3，BC＝3，则△ABC的周长为________(用B表示).
11.在△ABC中，C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝1
3，则sin∠BAC＝
________.
12.在△ABC中，已知c＝10，cos A
cos B＝b
a＝
4
3，求a、b及△ABC的内切圆半径.
创新突破
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2b－3c，cos
C)，n＝(3a，cos A)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)求2cos2B＋sin(A－2B)的最小值.。