叠加定理与齐次定理的关系及应用

叠加定理与齐次定理的关系及应用

姓名：常永娟学号：20075042095

院系：物理电子工程学院专业：电子信息工程

指导老师：余本海职称：副教授

摘要：讨论了线性电路中叠加定理和齐次定理的证明及应用，并讨论了两者之间的关系，即：齐次定理可从叠加定理推出，电路满足叠加定理也一定满足齐次定理，同时说明了应用两个定理时应注意的问题。

关键词：线性电路；叠加定理；齐次定理

The relationship between Superposition theorem and

Homogeneous theorem and its application Abstract：The proof and applications of Superposition theorem and Homogeneous theorem are discussed respectively in this paper．And the relationship between Superposition theorem and Homogeneous theorem has been proven too，namely：The Homogeneous theorem may promote from the Superposition theorem．The Superposition theorem is satisfied in the electric circuit certainly to be also Homogeneous theorem is satisfied．Account for some problems we should notice when we use the Superposition theorem or the Homogeneous theorem．

Key Words：Linear circuit ；the Superposition theorem ；the Homogeneous theorem

引言

叠加定理与齐次定理在线性电路分析中起着重要作用，它们是分析线性电路的基础，线性电路中很多定理都与叠加定理及齐次定理有关。利用它们还可以把多电源作用的复杂电路的计算问题转化为单电源作用的简单电路的计算问题，可简化计算，特别是对计算支路电流的值有着举足轻重的作用。

1.叠加定理的证明及应用

1.1叠加定理的证明

叠加定理的主要内容：在线性电阻电路中，某处电压或电流都是电路中各个独立

电源单独作用时，在该处分别产生的电压或电流的叠加。证明如下：

对于一个具有b 个支路，n 个结点的电路，可以用回路电流或结点电压作为变量列出电路方程，此种方程具有以下形式：

111212111b x a x a x a N N =+++ 222222121b x a x a x a N N =+++

………………

(1)

NN N NN N N b x a x a x a =+++ 2211

式中求解变量以x k (k=1,2,….N) 表示，右方系数b kk (k=1,2,…N) 是电路中激励的线性组合，当此方程是回路电流方程时，x k 是回路电流i 1k ，系数a k (k=1,2,…N, j=1,2,…N)是自阻或互阻，b kk 则是回路中电压源电压和由电流源等效变换所得电压源电压的线性组合，当此方程是结点电压方程时，x k 是结点电压u kk ，系数a kj 是自导或互导， b kk 是结点上的电流源的注入和电压源等效变换所得电流源的注入电流的线性组合，式（1）的解一般形式为：

NN Nk k b b b ∆

∆+∆∆+∆∆=

222111κ

κχ 式中，△为a kj 系数构成的行列式，△jk 是△的 第j 行第k 列的余因式。由于b 11，b 12…

都是电路中激励的线性组合，而每个解答x k 由是b 11,b 12…的线性组合，故任意一个解（电压或电流）都是电路中所有激励的线性组合，当电路中有g 个电压源和h 个电流源时，任意一处电压u f 或电流i f 都可以写成以下形式

sm

h

m fm sm g

m fm Sh fh S f S f Sg fg S f S f f h

m sm

fm sm g

m fm Sh fh s f s f Sg fg S f S f f i K u k i K i K i K u k u k u k i i K u k i K i K i K u k u k u k u ∑∑∑∑===='+'='+'+'+'+'+'=+=++++++=1

1

221122111

1

22112211

1.2定理的推广应用

1.2.1 应用叠加定理计算电压与电流

例1：试用叠加定理计算图a 所示电路中的U 1与I 1。

解：画出电压源与电流源分别作用时的分电路如图1中（b ）与（c ）所示： 对图（b ） 有：

A

A I V

V U 5.020

20202)2030

2030

20202020(

21=+='-=⨯+-⨯+='

对于图（c ）有：

A

A I V

V U 25.05.020

2020115.0)302030

20202020

20(

21=⨯+=''=⨯+⨯+

+⨯=''

原电路的总响应为：

A

A I I I V V U U U 75.0)25.05.0(9)112(22211

1=+=''+'==+-=''+'=

显然由于使用了叠加定理，本题的求解得以简化。

（a ） (b) (C)

图1 例1的图

1.2.2推广应用

除解题方便之外，叠加定理还在电子线路分析中起到了重要作用。在小信号放大电路分析中，在差动放大电路中及集成运放电路中都可以用叠加定理来分析，把复杂的电路简单化。

2 齐次定理的证明及应用

2.1 齐次定理的证明

齐次定理的主要内容：在线性电路中，当所有激励（电压源和电流源）都同时增大或缩小k 倍（k 为实常数）时，响应（电压和电流）也将同样增大或缩小k

倍。应