函数的极值及其必要条件

4.2 微分中值定理
定理 4.2(罗尔定理) 若函数 f ( x) 满足 （1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间 (a, b) 内可导， （3） f (a) f (b) ， 则在 (a, b) 内至少存在一点 ，使得 f ( ) 0 .
y
P
yf(x)
f (a)
f (b)
oa b
或 f(b ) f(a ) f( )b (a ).
由 使 gR g (( x) l)o e 定 e el [ xf ( 理 ,f) 至 ( xf )( 知 ) 少 ] 0 ,从 存 f ( (x 在 ) 1 ,而 x f 2 ( )一 ) , .点
思考题
若将例3改为 证明: 可导函数 f (x)任意两个相异的零间点之
必存在f (x) f (x)的零点 . 该如何设辅助函 . 数
证明：至少存在一点 (0, 1)，使 f ( ) f ( ) .
分析：欲证 f () f () f( )f( ) 0 ,
即要 xf(证 x)f(x)x0. 若 令 ( x ) x f ( x ) f ( x )则 , 取 (x)xf(x) 只 要 对 ( x ) 证 明 ( 0 ,1 ) ， 使 ( ) 0 即 . 可
定理得证.
例 1．不求函数 f ( x)( x1)(x2)(x3) 的导数，说 明方程 f ( x)0 有几个根，并指出它们所在的区间. 解 ： 显 然 ， f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 0 ，
∵ f ( x) 在[1,2 ]、[ 2,3 ]上都满足 Rolle 定理的条件， ∴ 1(1,2) ,使 f (1 ) 0 ； 2 (2, 3) ,使 f (2 ) 0 .
由f于 (x)f(x0),所以
当 x (x 0 ,x 0)时 ,有 f(x x ) x f0 (x 0 ) 0 ,
当 x (x 0,x 0)时 ,有 f(x x ) x f0 (x 0) 0 ,
由极限的保号性可得：
f(x0)f (x0)x lx i m f(x x ) x f0 (x0) 0 , f(x0)f (x0)x lx i0 m f(x x ) x f0 (x0) 0 , 故f(x0)0.
函数的极值及 其必要条件
函数的极值及其必要条件
定理 4.1 ( Fermat 定理)
若（1）函数 f ( x) 在 N ( x0 , ) 内有定义，且在 N ( x0 , ) 内恒有 f ( x) f ( x0 ) (或f ( x) f ( x0 )) ，
（2）函数 f ( x) 在点 x0 可导， 则 f ( x0 )0 .
y
M 水平切线 L
yf(x)Βιβλιοθήκη Baidu
o
x0
x
引理的几何解释： 若函数 y f ( x) 在点 x0 具有极大值或极小值，且曲 线 y f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 有切线 L，则切线 L 必水平.
f ( x ) f ( x 0 ).
由f(x)在点 x0可导, 知 f (x 0 )f (x 0 )f(x 0 ),
思考题
若将例 2 改为： “设 f ( x)在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且 f (1)0 ， 证明：至少存在一点 (0, 1)，使 f ( ) 2 f ( ) . ”
该如何设辅助函数呢？
设(x)x2 f(x)即可 .
例 3．证明：可导函数 f ( x) 的任意两个相异的零点 之间必存在导数值与函数值相等的点.
即 方 程 f ( x ) 0 至 少 有 两 个 实 根 . ∵ f ( x ) 0 是 一 个 一 元 二 次 方 程 ， 最 多 有 两 个 实 根 ， ∴方程 f ( x)0 只有两个实根，且分别在 (1,2) 和 (2,3) 内.
例 2 ． 设 f(x )在 [0 ,1 上 ] ,在 连 (0 ,1 内 续 ) ,可 且 f(1 ) 导 0，
证分：析设：x1设 xx21, 且x2f,(且x1)f(fx(1x)2 )f(0x,2 )0, 并 要设 证至g ( 少x ) 存 e 在 x 一 f 点( x ) ( xg 1 ,( x x) 2 )e , ， x 使[ f f ( (x ) ) f ( fx () )， ，
则 即g 要(x 证)在 [ f[ x ( x1 ,)x 2 f]上 ( x)] x,连 在 0( ，x 1 ,x 续 2 )内,可 且 故 g 构 (x 造 1)其 g 导 (x 数 2)含 有 0f , ( x ) f ( x ) 的 函 数
x
罗尔定理的几何意义： 如果[a, b] 上的连续曲线，除 端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且两端点处的纵 坐标相等，那么曲线上至少有一点处的切线是水平的.
证：由于 f ( x)C[a, b] ， 所以 f ( x) 在[a,b]上必有最大值 M 和最小值m . 若 M m ， 因 x [ a , b ] ， 有 m f ( x ) M ， 故 f ( x ) M ， 从 而 f ( x ) 0 ， 这时 (a,b) ，都有 f ()0 . 若 Mm ，则由 f (a) f (b)，知 M 与 m 中至少 有一个(不妨 设 M )在区间 (a,b) 内点 处 取得， 设 f () M ，由 Fermat 引理知 f ()0 ，
证：设( x) x f ( x) ，( x) x f ( x) f ( x) ,
则( x)在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导,
且 ( 0 ) 0 , (1 ) f(1 ) 0 ,
由 Rolle 定理知， (0 ,1 )使 ,() 0 , 即 f()f()0 ,从 f(而 )f ().
(答 :设 g (x)exf(x) 即 . )可
定理 4.3 拉格朗日( Lagrange)定理
若函数 f :[a,b] R 满足下列条件： （1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间 (a, b) 内可导， 则 至 少 存 在 一 点 ( a , b ) ， 使 得
f(b)f(a)f(), ba