气象统计方法第七章
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i 1 p
i
i 1
m
i
（累积解释方差）
计算中的时空转换
当 m n 时，先求出 X T X 的特征值， 然后求
XX 的特征向量，这种方法叫时空转换。
T
令 X T X 的特征值为 i ，其特征向量为 u i ，
XX
T
的特征值也为 i ，其特征向量为 v i
转换关系：
vi Xui
。要使V有非零解，必
由于S为mxm的协方差阵，设它的秩为m，则 它有m个非零特征值 及其对应的m个特征向量
主分量的性质
1. 各主分量的方差分别与原m个变量的协方 差的特征值相对应。
原场m个变量方差和等于 其对应协方差特征值之和
第K个主分量解释方差：
前P个主分量累积解释方差：
2.主分量之间是正交的，彼此无关。
y11 y21 Y ym1
y12 y22 ym 2
y1n y2 n ymn
主分量导出
我们希望主分量有极大方差，即 （7.8）
将新变量带入（7.8）式，
其中
在条件
求
下的极值问题，转化为 的极值问题，即有
整理得 须
h
h
H是非0特征值总个数，对实际问题
min(m, n) H min(m,n-1)
X 为非中心化序列 X 为中心化序列
需要强调的是，第1）步很重要。在大多 数情况下，EOF分析对原观测场时间序列、距 平场时间序列和标准化距平场时间序列进行。 选择何种形态作分析取决于分析目的和分析对 象。
经验正交函数的物理意义
EOF分析实例
例1：现有北京1951-1976年12月~2月气温资料 ，变量个数m=3, 容量=26。对以上资料进行主 分量分析。
1.计算变量的协方差阵
2. 求解实对称阵特征值及特征向量
3.计算三个距平主分量
4.计算头几个主分量的累积方差贡献率
5.要素场拟合
ˆ V. Z XX m 2 2 n
x2 y2 y1
x1
通过一种线性变换，使得产生的新变量y1的 变化代替原场两个变量的主要变化情况。
主分量导出
依据上例，我们希望以原变量 组成一个新变量 （7.1） 使它具有极大方差，即
极大
（7.2）
用（4.1）式带入（4.2）有
= （4.2）模型的极大值问题转化为 的极值问题。为了不同变量相互比较，对新 变量中的线性组合系数 通常还需加上 约束条件
对例中坐标旋转角 。寻找主分量 原则可以看成为寻找这样的坐标旋转角，使 得样品点在新坐标系中对某一坐标轴上投影 有极大方差。
多个变量的主分量
如果我们要研究对象是某一气象要素场 ，场中 有 个空间点，样本容量 。由 这 变量线性组合成一个新变量：
（7.6）
则（7.6）式 还可以写 （7.7）
其中
x11 x 21 X x m1
m
T j n
i j i j
0 i j Z i Z z it z jt t 1 i i j
i , j 1,2 , , m
分解方法
XX
T
VZZ V
T
T
A XX
T
A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原 理，一定有
V AV
T
或者
A VV
T
V的列就是A的特征向量， 是A的 特征值组成的对角矩阵。
i
V v1 , v2 ,, vm
Z V
T
X
计算步骤
1 ）根据分析目的，确定 X 的具体形态 ( 距平 或者标准化距平)； 2）由X求协方差矩阵 A XX T ； 3 ）求 A 的全部特征值 h 、特征向量Vh ， h=1~H（通常使用Jacobi法）；
4 ）将特征值作降序排列，并对特征向 量序数作相应变动； 5）根据 h ,h=1~H和X总方差，求出全 部 R 、G , h=1~H； 6 ）由 X 及主要 Vh 求其时间系数 Z h 、 h=1~H，主要的数量由分析目的及分析对象 定； 7）输出主要计算结果。
x12 x 22 xm 2
x1n x2n x mn
v11 v 21 V v m1
v12 v 22 vm2
v1m v2m v mm
在上面条件下， 求下面函数的极值问题
问题转变成
根据微积分学求极值有
上面线性方程组等价于
其中 S 为x1和x2的协方差阵，I为单位阵，V为 （v1,v2）的组合向量。 如果V有非零解，必须使
上式是矩阵S的特征多项式，因此问题就转化为 求矩阵S的特征值及其对应特征向量的问题。
因S的秩有两个，故它有两个非零特征值 及其对应特征向量 ：
用前两个主分量进行拟合
例2 分析我国夏季降水的主要变化特征。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
中国160气象标准站
夏季降水异常EOF分 解的第一模态，解 释方差15.5%
夏季降水异常的第二、第三模态（13.5%，6.8%）
例3 分析热带太平洋海温的主要变化特征。
Z V X
T
即
z it
v
k 1
m
ki
x kt
Z就是时间系数矩阵，zit 第i个特征 向量对应的时间系数序列的第t 个值。
主分量分析/经验正交函数
经验正交函数：
A XX
T
T
V AV x
主分量分析：
1 T S XX n 1 T V SV x s n
要素场的拟合
二、主分量分析
主分量分析是把随时间变化的气象要素 场分解为空间函数部分和时间函数部分。空 间函数部分概况场的地域分布特点，这部分 不随时间变化；而时间函数部分则由空间点 的线性组合构成，称为主分量，一般前几个 主分量可以解释原有空间场总方差的很大一 部分。
两个变量的主分量
如图所示我们所分析的气象要素场仅有 两个空间点
由此，可得到例中两个新变量 ：
主分量性质
1、主分量的方差与它所对应的特征值相等
以第一个主分量为例，说明这一性质 （7.4）
上面第一式乘
，第二式乘
相加，整理得
于是：
2.不同主分量之间是无关的、相互独立的
证明这一性质，只需证明两个主分量的协方差为 零即可。
根据（7.4）式，y1和y2的协方差可写为
由
其中
ˆ V . Z XX m p p n ˆ 是拟合场. X
p
可以证明误差
ˆit ) i i Q ( xit x
2 i 1 t 1 i 1 i 1
m
n
m
第i个特征向量对X场的贡献率
Ri i
i 1
m
i
（解释方差）
前p个特征向量对X场的贡献率
Gp i
或者
xt v1 z1t v 2 z 2t v m z mt
上式表明，第t个场可以表示为m个空间 典型场，按照不同的权重线性叠加而成。V 的每一列表示一个空间典型场，由于这个场 由实际资料确定，故又叫经验正交函数。 上述分解要求满足下列两个条件：
性 质
0 T vi v j vki vkj k 1 1
近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF 分析方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF （REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量 EOF（CEOF）方法。 EOF方法不但用于观测资料的分析，还用于 GCM资料的分析和数值模式的设计。现在，EOF方 法已作为一种基本的分析手段频繁地出现在大气 科学研究的文献中。
第一特征向量（第一空间典型场）是与n张X图平 均最相似的，或者说具有与所要展开的资料矩阵 的n个样本最相似的特征。比如：若原始资料矩阵 是7月份50年实测降水场（非距平场），则第一特 征向量就可以解释为这50年的平均场，其相应的 时间系数基本对应我国大尺度旱涝年。但当降水 场由距平组成，第一特征向量就解释为与50年夏 季距平场最相似的特征场，它指出了我国夏季经 常出现的大尺度涝区和旱区。
X VZ
或
xit vik zkt vi1 z 1t vi 2 z 2t vim z mt
k 1
m
i 1,2, , m
t 1,2, , n
k 1, 2,, m
含义：场中第i个格点上的第t次观测值， 可以看作是m个空间函数 vik 和时间函数 z ki 的 线性组合 。
其中，
v11 v 21 V v m1 v12 v 22 vm2 v1m v2m v mm
z11 z 21 Z z m1
T
z12 z 22 zm2
z 1n z 2n z mn
气象统计方法
主讲：温 娜
南京信息工程大学 大气科学学院 2014年9月
本课件主要参考南信大李丽平老师的课件
第七章 主分量分析/经验正交 函数分解（EOF）
重点掌握： 1）EOF方法原理 2）EOF方法在分析气象问题中的 应用。
一、引 言
经验正交函数（ EOF）方法最早由统计 学 家 pearson 在 1902 年 提 出 ， 由 Lorenz[1] （1956）引入气象问题分析中。该方法以场 的时间序列为分析对象，对计算条件要求甚 高，故直到20世纪60年代后期才在实际工作 中 得 到 广 泛 应 用 （ Craddock ， 1969[2] ； Kutzback，1970[3]；Kidson，1975[4]）。
三、EOF分析方法原理
将某气候变量场的观测资料以矩阵形 式给出
x11 x 21 X x m1 x12 x 22 xm 2 x1n x2n x mn
m是空间点，n是时间序列长度。
气象场的自然正交展开，是将X分解为时 间函数Z和空间函数V两部分,即
，得证
主分量的几何意义
如果把x1,x2变量第i个样品看成2维因子 空间中的一个点 , 主分量中第i个样品 也可以看成是新变量空间中的一个点 ，那么它们可以看成是由因子空间作线性变换 的一个结果，即
其中
，转化矩阵
主分量也可以看成由原变量组成的坐标 系旋转变换的结果，新变量y1,y2与原变量的 变换关系式可写为
v j (v1 j , v2 j ,, vmj )
是第j个典型场，只是空间的函数。
第t个空间场可表示为
x1t v11 v1m v12 x 2t v 21 z v 22 z v 2 m z 1t 2t mt v m 2 x mt v m1 v mm
i
i 1
m
i
（累积解释方差）
计算中的时空转换
当 m n 时，先求出 X T X 的特征值， 然后求
XX 的特征向量，这种方法叫时空转换。
T
令 X T X 的特征值为 i ，其特征向量为 u i ，
XX
T
的特征值也为 i ，其特征向量为 v i
转换关系：
vi Xui
。要使V有非零解，必
由于S为mxm的协方差阵，设它的秩为m，则 它有m个非零特征值 及其对应的m个特征向量
主分量的性质
1. 各主分量的方差分别与原m个变量的协方 差的特征值相对应。
原场m个变量方差和等于 其对应协方差特征值之和
第K个主分量解释方差：
前P个主分量累积解释方差：
2.主分量之间是正交的，彼此无关。
y11 y21 Y ym1
y12 y22 ym 2
y1n y2 n ymn
主分量导出
我们希望主分量有极大方差，即 （7.8）
将新变量带入（7.8）式，
其中
在条件
求
下的极值问题，转化为 的极值问题，即有
整理得 须
h
h
H是非0特征值总个数，对实际问题
min(m, n) H min(m,n-1)
X 为非中心化序列 X 为中心化序列
需要强调的是，第1）步很重要。在大多 数情况下，EOF分析对原观测场时间序列、距 平场时间序列和标准化距平场时间序列进行。 选择何种形态作分析取决于分析目的和分析对 象。
经验正交函数的物理意义
EOF分析实例
例1：现有北京1951-1976年12月~2月气温资料 ，变量个数m=3, 容量=26。对以上资料进行主 分量分析。
1.计算变量的协方差阵
2. 求解实对称阵特征值及特征向量
3.计算三个距平主分量
4.计算头几个主分量的累积方差贡献率
5.要素场拟合
ˆ V. Z XX m 2 2 n
x2 y2 y1
x1
通过一种线性变换，使得产生的新变量y1的 变化代替原场两个变量的主要变化情况。
主分量导出
依据上例，我们希望以原变量 组成一个新变量 （7.1） 使它具有极大方差，即
极大
（7.2）
用（4.1）式带入（4.2）有
= （4.2）模型的极大值问题转化为 的极值问题。为了不同变量相互比较，对新 变量中的线性组合系数 通常还需加上 约束条件
对例中坐标旋转角 。寻找主分量 原则可以看成为寻找这样的坐标旋转角，使 得样品点在新坐标系中对某一坐标轴上投影 有极大方差。
多个变量的主分量
如果我们要研究对象是某一气象要素场 ，场中 有 个空间点，样本容量 。由 这 变量线性组合成一个新变量：
（7.6）
则（7.6）式 还可以写 （7.7）
其中
x11 x 21 X x m1
m
T j n
i j i j
0 i j Z i Z z it z jt t 1 i i j
i , j 1,2 , , m
分解方法
XX
T
VZZ V
T
T
A XX
T
A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原 理，一定有
V AV
T
或者
A VV
T
V的列就是A的特征向量， 是A的 特征值组成的对角矩阵。
i
V v1 , v2 ,, vm
Z V
T
X
计算步骤
1 ）根据分析目的，确定 X 的具体形态 ( 距平 或者标准化距平)； 2）由X求协方差矩阵 A XX T ； 3 ）求 A 的全部特征值 h 、特征向量Vh ， h=1~H（通常使用Jacobi法）；
4 ）将特征值作降序排列，并对特征向 量序数作相应变动； 5）根据 h ,h=1~H和X总方差，求出全 部 R 、G , h=1~H； 6 ）由 X 及主要 Vh 求其时间系数 Z h 、 h=1~H，主要的数量由分析目的及分析对象 定； 7）输出主要计算结果。
x12 x 22 xm 2
x1n x2n x mn
v11 v 21 V v m1
v12 v 22 vm2
v1m v2m v mm
在上面条件下， 求下面函数的极值问题
问题转变成
根据微积分学求极值有
上面线性方程组等价于
其中 S 为x1和x2的协方差阵，I为单位阵，V为 （v1,v2）的组合向量。 如果V有非零解，必须使
上式是矩阵S的特征多项式，因此问题就转化为 求矩阵S的特征值及其对应特征向量的问题。
因S的秩有两个，故它有两个非零特征值 及其对应特征向量 ：
用前两个主分量进行拟合
例2 分析我国夏季降水的主要变化特征。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
中国160气象标准站
夏季降水异常EOF分 解的第一模态，解 释方差15.5%
夏季降水异常的第二、第三模态（13.5%，6.8%）
例3 分析热带太平洋海温的主要变化特征。
Z V X
T
即
z it
v
k 1
m
ki
x kt
Z就是时间系数矩阵，zit 第i个特征 向量对应的时间系数序列的第t 个值。
主分量分析/经验正交函数
经验正交函数：
A XX
T
T
V AV x
主分量分析：
1 T S XX n 1 T V SV x s n
要素场的拟合
二、主分量分析
主分量分析是把随时间变化的气象要素 场分解为空间函数部分和时间函数部分。空 间函数部分概况场的地域分布特点，这部分 不随时间变化；而时间函数部分则由空间点 的线性组合构成，称为主分量，一般前几个 主分量可以解释原有空间场总方差的很大一 部分。
两个变量的主分量
如图所示我们所分析的气象要素场仅有 两个空间点
由此，可得到例中两个新变量 ：
主分量性质
1、主分量的方差与它所对应的特征值相等
以第一个主分量为例，说明这一性质 （7.4）
上面第一式乘
，第二式乘
相加，整理得
于是：
2.不同主分量之间是无关的、相互独立的
证明这一性质，只需证明两个主分量的协方差为 零即可。
根据（7.4）式，y1和y2的协方差可写为
由
其中
ˆ V . Z XX m p p n ˆ 是拟合场. X
p
可以证明误差
ˆit ) i i Q ( xit x
2 i 1 t 1 i 1 i 1
m
n
m
第i个特征向量对X场的贡献率
Ri i
i 1
m
i
（解释方差）
前p个特征向量对X场的贡献率
Gp i
或者
xt v1 z1t v 2 z 2t v m z mt
上式表明，第t个场可以表示为m个空间 典型场，按照不同的权重线性叠加而成。V 的每一列表示一个空间典型场，由于这个场 由实际资料确定，故又叫经验正交函数。 上述分解要求满足下列两个条件：
性 质
0 T vi v j vki vkj k 1 1
近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF 分析方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF （REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量 EOF（CEOF）方法。 EOF方法不但用于观测资料的分析，还用于 GCM资料的分析和数值模式的设计。现在，EOF方 法已作为一种基本的分析手段频繁地出现在大气 科学研究的文献中。
第一特征向量（第一空间典型场）是与n张X图平 均最相似的，或者说具有与所要展开的资料矩阵 的n个样本最相似的特征。比如：若原始资料矩阵 是7月份50年实测降水场（非距平场），则第一特 征向量就可以解释为这50年的平均场，其相应的 时间系数基本对应我国大尺度旱涝年。但当降水 场由距平组成，第一特征向量就解释为与50年夏 季距平场最相似的特征场，它指出了我国夏季经 常出现的大尺度涝区和旱区。
X VZ
或
xit vik zkt vi1 z 1t vi 2 z 2t vim z mt
k 1
m
i 1,2, , m
t 1,2, , n
k 1, 2,, m
含义：场中第i个格点上的第t次观测值， 可以看作是m个空间函数 vik 和时间函数 z ki 的 线性组合 。
其中，
v11 v 21 V v m1 v12 v 22 vm2 v1m v2m v mm
z11 z 21 Z z m1
T
z12 z 22 zm2
z 1n z 2n z mn
气象统计方法
主讲：温 娜
南京信息工程大学 大气科学学院 2014年9月
本课件主要参考南信大李丽平老师的课件
第七章 主分量分析/经验正交 函数分解（EOF）
重点掌握： 1）EOF方法原理 2）EOF方法在分析气象问题中的 应用。
一、引 言
经验正交函数（ EOF）方法最早由统计 学 家 pearson 在 1902 年 提 出 ， 由 Lorenz[1] （1956）引入气象问题分析中。该方法以场 的时间序列为分析对象，对计算条件要求甚 高，故直到20世纪60年代后期才在实际工作 中 得 到 广 泛 应 用 （ Craddock ， 1969[2] ； Kutzback，1970[3]；Kidson，1975[4]）。
三、EOF分析方法原理
将某气候变量场的观测资料以矩阵形 式给出
x11 x 21 X x m1 x12 x 22 xm 2 x1n x2n x mn
m是空间点，n是时间序列长度。
气象场的自然正交展开，是将X分解为时 间函数Z和空间函数V两部分,即
，得证
主分量的几何意义
如果把x1,x2变量第i个样品看成2维因子 空间中的一个点 , 主分量中第i个样品 也可以看成是新变量空间中的一个点 ，那么它们可以看成是由因子空间作线性变换 的一个结果，即
其中
，转化矩阵
主分量也可以看成由原变量组成的坐标 系旋转变换的结果，新变量y1,y2与原变量的 变换关系式可写为
v j (v1 j , v2 j ,, vmj )
是第j个典型场，只是空间的函数。
第t个空间场可表示为
x1t v11 v1m v12 x 2t v 21 z v 22 z v 2 m z 1t 2t mt v m 2 x mt v m1 v mm