广州大学数学分析(3)第一学期试卷(B)

广州大学2005-2006 学年第一学期试卷

课程 数学分析 考试形式（闭卷，考试）

数信学院数学系 04级 ①②③④⑤⑥班 学号 姓名

一、填 空 题 ( 共 10分 ,2分 / 题)

1 、将函数展开为麦克劳林级数 ⎰

x

dt t e 0

2

= ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

2 、 将 =)(x f {

,10,<<-<≤x x x ππ

展开的傅里叶级数在点0处收敛于＿＿＿＿＿。

3 、方程 1)cos(2=++y x xe y x 在点( 0 ,0 )附近可以确定的隐函数关系为＿

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

4 、⎰

=-→2

0cos lim 2

π

ααxdx e

x ___________ 。

5、⎰⎰++S

dS z y x )( = 。其中S 为平面 1=++z y x 在第

一卦限部分 。

二、单项选择题 （2分/题 ，共10分）

1、幂级数∑∞

=-1

)1(n n

n n x 的收敛半径与收敛域为___________ 。

A 、 -1 ，( - 1 , 1 ] ；

B 、 1 ，[ - 1 , 1 ] ；

C 、1, ( - 1 , 1 ] ；

D 、1 ， [ - 1 , 1 ) 。

2、关于 f ( x , y ) = { )

0,0(),(0

)0,0(),(2

2=≠+y x y x y x xy

不正确结论

为 。 A 、

0),(lim )

0,0(),(=→y x f y x ； B 、),(y x f 在点( 0 , 0 )连续；

C 、),(y x f 在点( 0 , 0 )偏导数存在；

D 、),(y x f 在点( 0 , 0 )可微。 3、f 在平面光滑曲线段⋂

AB 上连续,则下列叙述正确的是 。 A 、⎰⋂BA

ds y x f ),(=-⎰⋂AB

ds y x f ),(； B 、⎰⋂BA

dx y x f ),(=-⎰⋂AB

dx y x f ),(；

C 、⎰⋂AB

ds y x f ),(=⎰⋂AB

dx y x f ),(；

D 、若f ( x , y )在L 上非负,则⎰⋂AB dx y x f ),(0≥。

4、f 为连续函数,交换积分次序:=⎰⎰1

),(x

dy y x f dx ________。

A 、⎰⎰10

10

),(dx y x f dy ； B 、⎰⎰10

),(y

dx y x f dy ；

C 、⎰⎰10

1),(y

dx y x f dy ； D 、⎰⎰11

),(y

dx y x f dy 。

5、D:1)()(222211≤+++y b x a y b x a ,其中02

2

11≠=

∆b a b a ,则线性变换

T:y b x a u 11+=,y b x a v 22+=下积分=⎰⎰D

dxdy 。

A 、⎰⎰≤+∆1

22v u dudv ； B 、⎰⎰≤+∆1

22v u dudv

C 、⎰⎰≤+∆

1

221v u dudv D 、

⎰⎰≤+∆1

221

v u dudv

三、计算题（共6小题，每小题均为6分,共36分）

1 、 ),(y x y x f z -+= ，求微分 dz 及二阶偏导数

y

x z

∂∂∂

2

( 其中 f 有连

续偏导数 ) 。

2 、

⎰

⋂

-AO

ydx xdy , 其中 ⋂

AO 为抛物线 x

y 2

=

一段 , A ( 1 , 1 ) ,

O ( 0 , 0 ) 。

3 、 ⎰⎰

D

dxdy y , 其中D 由 围成与x y x y 01,=== 。

4 、

dxdy y x x ⎰⎰≤+1

2

2

2

。

5 、 ⎰⎰⎰V

zdxdydz , 其中 V 为上半单位球体 :

12

2

2

≤++

z

y x , 0≥z 。

6 、 验证 dy y x y ydx )sin 2(cos -+ 为全微分式并求其原函数 ),(y x u 。

四、应用题 ( 共 14 分 )

1.某公司拟通过电视及报纸两种方式做销售某种商品的广告，按经验：销售

收入R ( 百万元 )与 电视广告费用x ( 百万元 ) 及报纸广告费用y ( 百

万元 ) 关系为 R ( x , y ) = 1 0 + 6 x - x 2 + 4 y - y 2 , 按下列情况分别求

最佳广告策略 ( 即x , y 取何值时，R 最大 ) ： ( 1 ) 若广告总费用不

限情况下； ( 2 ) 若广告总费用为 3 ( 百万元 ) 情况下。

（8 分）

2. 利用积分法推导半径为r 的球体的体积。( 6 分)