导热微分方程式边界条件温度分布

tf1
t w1 t w2
1 2r 1lh 1 1
Q
tf2
1 2r2lh2
r2 ln 2l r1
r1
r2
tf2
t f 1 t f 2 Q r 1 1 1 ln 2 2r1lh1 2l r1 2r2lh2
3.4 临界热绝缘直径（重点）
1）保温管道传热分析
单位长度内的热阻与传热量
3) 多层平壁的稳态导热
热阻网络图:
t w1 t w1 t w2
q
q
t w4
t w3 t w4
1 1
2 2
3 3
1
2
3
q
t w1 t w n1
i i1 i
n
3.2 第三类边界条件的稳态导 热
热阻网络图:
t
tf1
h1
tf1
t w1
q
tf2
1 h2
t w2
tf2
h2
q
1 h1


x
t f 1 t f 2 q 1 1 h1 h2
第二节 通过复合平壁的导热
热流线 平壁材料1 平壁材料2
等温面 绝热面 热流线 热流线
等效热阻网络图
绝热面
t w1
t w2
t w1
t w2
第三节 通过圆筒壁的导热
3.1 单层圆筒壁的稳态导热 （第一类边界条件） 导热微分方程式：
n
t w4
r2
ql
t w ,1 t w ,n1 ri1 2 ln r i i i1 1
t w1
1 21l ln r2 r1
1 22l ln r3 r2
r3
r4
Q
twn1
1 2nl ln rn1 rn
3.3 通过圆筒壁的传热过程 （第三类边界条件下的导热）
tf1
tf
l
d dt qv 0 dx dx
v d 2t q 0 2 dx
内热源
v q ht t f Udx Adx hU t t f A
方法一：用热平衡法建立导 热微分方程式
dt Qx A dx
dt d dt Qxdx dx A dx dx dx
第二章 稳态导热
主要内容：
平壁、圆筒壁及肋壁的一维稳态导热分析解法； 二维稳态导热问题的简化计算方法。
第一节 通过平壁的一维稳态导热
3.1 第一类边界条件下的稳态导热 1）单层平壁的常物性稳态导热 λ为常数、无内热源 方法1 : 由导热微分方程求解 数学描述： t
t w1 t w2
Q δ
d t 2 0 dx x 0, t t w1 x , t t w2
2
x
t 2t 2t 2t qv a 2 2 2 x y z c
求解结果：
t t w1 t w1 t w 2
qdx dt 对上式进行积分得：
x
q t w1 t w 2

dt t w1 t w2 q dx
r
r2
r
r2 1 1 r2 或 Q t w1 t w2 / ln ql tw1 tw2 / ln 2 l r1 2 r1
3.2 多层圆筒壁的稳态导热 （第一类边界条件）
Q t w,1 t w,n 1
t w1
r1

n
ri 1 ln 2i l ri i 1 1
2) 导热分析：
dQ
Q x0
Qx
3) 建立导热微分方程式： 方法一：简化通用导热微分 方程式建立肋片导热微分方 程式
Qxdx
x
dx
t
d
0
x
l
x
t t c x x t t v q y y z z

t
方法2: 由傅里叶定律直接推 导热流密度： dt q dx 稳态，q＝const 物性条件：λ为常数
t w1 t w2
Q δ x
热流密度： 2）单层平壁的变导热系数稳态 q 导热问题 t w1 t w2 t t 1 t t c b 0 1 t w1 0 1 bt t w 2 qv x x y y z z 2 数学模型 t w1 t w2 m dt d dt 0 c 1 dx dx t dx dt dt b>0 q t w1 0 1 bt c1 x 0, t t w1 dx dx x , t t w 2 0 1 btdt c1dx t w2 b<0 Q 求解数学模型可得平壁内的温度 x δ 分布为二次曲线
dt Q 2rl dr dt ql 2r const dr
t
t w1
r1
边界条件：
r r1 , t t w1 r r2 , t t w2
t w2
dr
温度分布： t C1 lnr C2 导热量：
t w2 t w1 C1 lnr2 / r1
管道
tf2
r1
1 1 d2 Rl ln d1h1 2 d1 d3 1 ln 2ins d 2 d3h2 1
tf1
r2
r3
ql
t f 1 t f 2 Rl
保温层
保温管道示意图
传热量Rl
1 2ins 1 d 3h2 d3 d2
临界热绝缘直径或半径: 对应 保温管道传热热阻极小值或 热流量极大值的保温层直径 或半径
dRl 1 1 1 0 d d3 d3 2ins h2 d3
ln
d3
ins 2ins d c d3 或 rc h h2 2
第四节 通过肋壁的导热
4.1 常见几种肋片形式
4.2 等截面直肋的稳态导热分析 1) 假定：肋片内的导热近似为沿肋高方向的一维稳态导 热。