条件概率与独立性

§4 条件概率与事件的独立性

一、条件概率

二、全概率公式，贝叶斯(Bayes)公式

三、事件独立性

四、贝努里概型

补充和注记

习 题

一、条件概率

任一个随机试验都是在某些基本条件下进行的，在这些基本条件下某个事件A 的发生具有某种概率. 但如果除了这些基本条件外还有附加条件，所得概率就可能不同.这些附加条件可以看成是另外某个事件B 发生.

条件概率这一概念是概率论中的基本工具之一. 给定一个概率空间

(,,)P ΩF ，并希望知道某一事件A 发生的可能性大小. 尽管我们不可能完全知道试验结果，但往往会掌握一些与事件A 相关的信息，这对我们的判断有一定的影响. 例如，投掷一均匀骰子，并且已知出现的是偶数点，那么对试验结果的判断与没有这一已知条件的情形有所不同. 一般地，在已知另一事件B 发生的前提下，事件A 发生的可能性大小不一定再是()P A .

已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率(conditional probability)，记作(|)P A B .

在某种情况下，条件的附加意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算.

例1 盒中有球如右表1-2. 任取一球，记A ={取得蓝球}，B ={取得玻璃球}，

显然这是古典概型. Ω包含的样本点总数为16，A 包含的样本点总数为11，故

11

()16P A =.

表1-2

如果已知取得为玻球，这就B 是发生条件璃下A 发生的条件概率，记作(|)P A B . 在B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，也即把样本空间压缩到玻璃球全体. 而在B 发生条件下A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故

42(|)63P A B ==.

一般说来，在古典概型下，都可以这样做.但若回到原来的样本空间，则当()0P B ≠，有

(|) B A P A B B AB B 在发生的条件下包含的样本点数

＝

在发生的条件下样本点数

包含的样本点数＝包含的样本点数 AB P AB B P B 包含的样本点数/总数（）＝＝包含的样本点数/总数（）.

这式子对几何概率也成立. 由此得出如下的一般定义.

定义1 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为

(|)P AB P A B P B （）

＝（）. (1)

反过来可以用条件概率表示A 、B 的乘积概率，即有乘法公式 若()0P B ≠，则()()(|)P AB P B P A B =,

(2)

同样有 若()0P A ≠，则()()(|)P AB P A P B A =. (2)'

从上面定义可见，条件概率有着与一般概率相同的性质，即非负性，规范性和可列可加性. 由此它也可与一般概率同样运算，只要每次都加上“在某事件发生的条件下”即成.

两个事件的乘法公式还可推广到n 个事件，即

312121(|)(|)

n n P A A A P A A A A -⋅ (3)

具体解题时，条件概率可以依照定义计算，也可能如例1直接按照条件概率的意义在压缩的样本空间中计算；同样，乘积事件的概率可依照公式(2) 或(2)'计算，也可按照乘积的意义直接计算，均视问题的具体性质而定.

例2 例2 n 张彩票中有一个中奖票.

① 已知前面1k -个人没摸到中奖票，求第k 个人摸到的概率；

② 求第k 个人摸到的概率.

解 问题 ① 是在条件“前面(1)k -个人没摸到”下的条件概率. ② 是无条件概率.

记i A ={第i 个人摸到}，则 ① 的条件是A A A k 121 -. 在压缩样本空间中由古典概型直接可得

① P(A k |A A A k 121 -)=1

1n k -+；

② 所求为

()k P A ，但对本题，A k =A A A k 121 -A k , 由(3)式及古典概率计算

公式有 ()k P A ＝P (A A A k 121 -A k ) ＝P A P A A P A A A P A A A A k k ()(|)(|)(|)121312121 -

1

n =. 这说明每人摸到奖券的概率与摸的先后次序无关.

例3 甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：

① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲乙两市至少一市下雨的概率. 解 分别用A ，B 记事件{甲下雨}和{乙下雨}. 按题意有，()20%P A =，()18%P B =，()12%P AB =.

① 所求为

()122(|)()183P AB P A B P B ===.

② 所求为

20%18%12%26%=+-=.