分形图像压缩的应用与方法1

分形图像压缩的应用与方法
摘要：本文首先大体上介绍了分形的概念和发展历史，然后着重开始讨论分形的图像压缩技术，给出了图像压缩的一些概念包括了优缺点，因为要查找图形内自相似部分而导致压缩时间过长, 但是解压缩过程却非常快,过长的压缩时间使得分形压缩不可能应用于实时压缩。

其次从多个角度讨论了分形图像压缩的方法，比如采用迭代函数系统的图像压缩方法。

关键字：分形；图像压缩；迭代函数系统；
正文：
1.分形的概念和发展
1.1分形的概念[1]
分形理论是当今世界十分活跃的新理论。

作为前沿学科的分形理论认为，大自然是分形构成的。

大千世界，对称、均衡的对象和状态是少数和暂时的，而不对称、不均衡的对象和状态才是多数和长期的，分形几何是描述大自然的几何学。

作为人类探索复杂事物的新的认知方法，分形对于一切涉及组织结构和形态发生的领域，均有实际应用意义，并在石油勘探、地震预测、城市建设、癌症研究、经济分析等方面取得了不少突破性的进展。

分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)率先提出的。

1967年他在美国《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长？》的著名论文。

分形，是以非整数维形式充填空间的形态特征。

分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。

1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。

分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。

由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：
1.满足下式条件
Dim(A)>dim(A)的集合A，称为分形集。

其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。

一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。

2.部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。

然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。

实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”
也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。

对分形的定义也可同样的处理。

数学上的分形有以下几个特点：
(1)具有无限精细的结构；
(2)比例自相似性；
(3)一般它的分数维大于它的拓扑维数；
(4)可以由非常简单的方法定义，并由递归、迭代产生等。

1.2 分形的发展
1975年，曼德布罗特发现：具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形，这个单词由拉丁语Frangere衍生而成，该词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。

曼德布罗特的研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。

Mandelbrot集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。

在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论或分形几何学。

2.分形中的图像压缩
2.1分形图像压缩的概念
特别适合压缩自然景观的图片，依赖于特定的图像及同一副图像的一部分与其他部分的相似程度。

Michael Barnsley在1987年提出分形压缩技术，最广为人知的具有实际用处的分形压缩算法是由Barnsley和Alan Sloan提出的。

所有的这些算法都是基于使用叠函数系统的分形变换.
2.1.1 分形图像压缩的优缺点
分形压缩没有被广泛的使用，这是因为分形压缩的压缩和解压速度远比JPEG慢，此外，它的专利也不允许被广泛使用。

对于低质量的图象，分形压缩比JPEG优越，另一个优于JPEG的方面是当图像被放大时，采用分形压缩的图像比JPEG图像质量要高。

分形压缩最大能达到10000:1的压缩率，但是还不够成熟。

2.1.2 分形图像压缩的历史
1987年, Michael Barnsley 创建了分形压缩的概念和方法, 他因此而持有多个技术专利. Barnsley 和Alan Sloan 发明了可用于实践的分形压缩算法. 1992年, Barnsley的研究生Arnaud Jacquin 开发了第一个应用于图形压缩的分形压缩软件. 所有这些方法都是基于使用迭代函数系统的分形变换. Michael Barnsley 和Alan Sloan 1987年发明的迭代函数系统已经被授予了与分形压缩相关的20多个专利。

2.1.3 分形图像压缩的特点
分形压缩的缺点就是因为要查找图形内自相似部分而导致压缩时间过长, 但是解压缩过程却非常快, 这种压缩算法通常被称为不对称压缩算法. 过长的压缩时间使得分形压缩不可能应用于实时压缩. 但对于某些领域, 如提供文件下载, 视频文件等只需要解压缩时间快的应用, 分形压缩就很有竞争力.
通常分形压缩算法可以达到50:1的压缩比, 这和基于小波理论的压缩算法例如JPEG是相似的, 高压缩比的分形压缩算法甚至能提供比JPEG更好的解压质量. 卫星图的压缩比超
过170:1但仍保持较高的可接受的图像质量. 应用于视频的分形压缩通常有25:1 到 244:1 的压缩比, 对应于时间上就是 2.4 到 66 秒/帧。

2.2 分形图像压缩的步骤[1]
整个图像压缩的过程可以分成两大部分，一是编码过程，一是解码过程。

在分形压缩中，前者主要基于拚贴定理，这个过程中要考虑图像的灰度分布，以及概率求取的策略。

后者主要是随机迭代问题。

2.2.1 编码主要步骤
分割成适当的块，这可以借助于传统的图像处理技术，如边缘检测，频谱分析，纹理
分析等，当然也可以使用分数维的方法。

分割出的每部分可以是一棵树，一片云等；也可能稍微复杂一些，如一片海景，它包括泡沫、礁石、雾震等；一般这每一部分都有比较直观的自相似性特征。

IFS 编码求取，每一部分求其 IFS 编码，这就要借助拼贴定理了，同时也是人要参
与的地方，在这个过程中有一些必须注意的地方。

1）每一块的“拷贝”必须小于原块，这是为了保证仿射变换的收缩性，至于每个拷贝
的大小要根据各块图像的性质来确定。

2）用于拼贴的每个拷贝之间最好为不相连或紧相邻的。

而不要重叠或者有空缺。

这一
点对概率的确定很重要，它影响到重构图像的不变测度。

所以对有重叠或空缺时，这部分
的“质量”在计算中不能复用或者简单地丢弃，并最终要保证
1
=
∑i p N i
的成立。

最后进行仿射变换的概率设定。

2.2.2 解码
分形的解码步骤很简单，可以用任意的图像作为初始图像，经过存储的相应的迭代函数的若干次迭代就可以准确的恢复原图。

2.3 分形图像压缩的应用
分形技术在数据压缩中的应用是一个非常典型的例子。

美国数学会会刊在1996年6月的刊物上发表了巴斯利的文章《利用分形进行图形压缩》，他把分形用于光盘制作的图形压缩中。

一般来说，我们总是把一个图形作为像素的集合来加以存储和处理。

一张最普通的图片也常常涉及几十万乃至上百万像素，从而占据大量的存储空间，传输速度也大大受到限制。

巴斯利运用了分形中的一个重要思想：分形图案是与某种变换相联系的，我们可以把任何一个图形看作是某种变换反复迭代的产物。

因此，存储一个图形，只需存储有关这些变换过程的信息，而无需存储图形的全部像素信息。

只要找到这个变换过程，图形就可以准确地再现出来，而不必去存储大量的像素信息。

使用这种方法，在实际的应用中，已经达到了压缩存储空间至原来1/8的效果。

2.4 分形图像压缩的特点
10 多年来，虽然分形图像自动编码和解码不断改进．但仍然不够成熟，产生的压缩比不够高，压缩效果还不十分理想，在当前图像压缩编码中还不能占据主导地位。

国际标准MPEG-4 中已经把小波列了进去，但分形不在其中。

静态图像压缩标准JPEG2000 是完全使
用小波的图像编码方法，也没有把分形列进去。

但我们应该看到分形图像压缩方法的优势和巨大潜力。

分形图像压缩既考虑局部与局部，又考虑局部与整体之间的相关性，适合于自相
似或自仿射的图像压缩，而自然界中存在大量的自相似或自仿射的几何形状。

因此，它的适应范围很广。

分形图像压缩（当前尚须人工干预）能获得相当高的压缩比(10000：1 甚至更高)
和很好的压缩效果，具有很大的潜力。

分形解码时能放大到任意大的尺寸，且保持精细的结构。

在高压缩比的情况下，分形图像压缩自动编码能有很高的信噪比和很好的视觉效
果，这是其它方法不能相比的。

因此．分形图像压缩是一个有潜力、有发展前途的压缩方法。

2.5 分形图像压缩的发展趋势
分形图像压缩编码研究发展趋势将有如下几个方面：
分形编码在人工干预条件下能够达到相当高的压缩比。

但对于如何去掉人工干预
则需研究给定的图像，实现计算机自动确定分形生长模型、 L 系统、IFS 码和 RIFS码等，寻找新的压缩模型和新的突破点。

综合分析当前自动编码的各种改进算法，在此基础上，继续寻找加快编码速度、
提高压缩比、改善压缩效果的突破性的改进方法。

研究按分形维数分割图像、将分形维数相同的区域块用分形方法进行编码的理论、
方法和实现的算法。

继续研究分形编码与其它编码方法相结合的新的编码方法。

研究新的度量相似性的准则，在保持压缩比的前提下，降低恢复图像的失真率。

[2]
3.结束语
分形图像编码的过程是依据拼贴定理，通过给定的图像，寻找一组收缩映射，使其组
成的迭代函数系统的吸引子逼近给定图像，然后记录下相应参数。

解码过程是由相应参数确定迭代函数系统，并根据迭代函数系统定理，经过迭代生成图像。

分形图像压缩的思想新颖、潜力很大，其在压缩比达 10 000∶1 时，解码图像仍有很好的视觉效果，是一个很
有发展前途的图像压缩方法。

但是，实现自动IFS编码（没有人工干预）仍有相当难度，该领域至今仍存在许多问题有待解决。

[3]
参考文献：
[1] 迟健男,宋春林,杨旭,一种新的快速分形图像压缩方法,辽宁省交通高等专科学校学报,2004.3,
6(1):21-24
[2] 吴蓓,翟娟娟,李晓辉,基于视觉特性的分形图像压缩编码,信息技术,2002,10
[3] 刘冠荣,郭京蕾,何华,基于遗传算法的二值图像压缩,武汉理工大学学报,2001.12,23(4):9-13。