江苏省江阴市华士高级中学、成化高级中学、山观高级中学2019-2020学年高一下学期期中联考数学试题(有答案)

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题，共14题)、解答题(第15题～第20题，共6题)两部分。

本次考试时间为120分钟。

考试结束后，只要将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确涂写。

3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

2019-2020学年度春学期江阴市三校期中联考试卷
高一数学试卷
命题人：邹少兰 复核人：王炜
参考公式：
()sin sin cos αβαβ±=±
．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）．
1．直线1y x =-的倾斜角为 ▲ 度．
2．等比数列{}n a 中，28a =，564a =，则3a = ▲ ． 3．已知关于x 的不等式
ax －1
x ＋1<0的解集是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－12，则实数a ＝ ▲ ．
4．已知数列{}n a 的前n 项和2
321n S n n =-+，则其通项公式n a ＝ ▲ ．
5．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为 ▲ m ． 6．下列四个结论，正确的是 ▲ ．(填序号) ①,a b c d a c b d ><⇒->-； ②0,0a b c d ac bd >><<⇒>； ③3
30a b a b >>⇒>；
④22
11
0a b a b
>>⇒
>． 7．过点(2,3)P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ▲ ．
8．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．
第5题图
则第8个三角形数是 ▲ ．
9．已知过点()1,1P -的直线l 与x 轴正半轴，y 轴负半轴分别交于,C D 两点，O 为坐标原点，若OCD ∆的面积为2，则直线l 方程为 ▲ ．
10．已知等差数列{}n a 中，前m （m 为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且118m a a -=，则数
列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ．
11．在ABC ∆中，120A =o
，4AB =，若点D 在边BC 上，且2BD DC =，27
3
AD =
，则AC 的长为 ▲ ．
12．已知关于x 的不等式组()222022550x x x k x k ⎧-->⎪
⎨+++<⎪⎩
的整数解只有2-，则实数k 的取值范围为 ▲ ．
13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 成等差数列，对边分别为a , b , c ,且2325ac b +=，则边b 的最小值为 ▲ ．
14．已知数列{}n a 满足211112311,,4444n
n n n n n a a a S a a a a -+⎛⎫
=+==+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭
，仿照课本中推导等比数
列前n 项和公式的方法，可求得54n
n n S a -= ▲ ．
二、解答题（本题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或步骤，请把过程写在答题卡相应位置）．
15．（本小题满分14分）
已知关于x 的不等式为2
2
12x ax a ->. (1)当2a =时，求不等式的解集； (2)当a R ∈时，求不等式的解集．
▲▲▲▲▲
第8题图
已知两条直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=．当m 为何值时，1l 与2l ：
(1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？
▲▲▲▲▲
17．（本小题满分14分）
在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设32log 1n n b a =+，且数列11n n b b +⎧
⎫
⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和为n T ，求n T ．
▲▲▲▲▲
18．（本小题满分16分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4
cos 5
A =，5b c =． (1)求sin C ；
(2)若ABC ∆的面积3
sin sin 2
S B C =
，求a 的值．
▲▲▲▲▲
如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步
行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝
12
13
，cos C ＝35
．
(1)求索道AB 的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
▲▲▲▲▲
20．（本小题满分16分）
设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2
2n n a S An Bn C +=++．
(1)当0A B ==，1C =时，求n a ；
(2)若数列{}n a 为等差数列，且1A =，2C =-．
①设2n
n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和；
②设64n n n
T c -=，若不等式8
n m
c ≥对任意*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．
▲▲▲▲▲
2019-2020学年度春学期江阴市三校期中联考试卷
高一数学参考答案及评分标准2016.04
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．
1．45；(45
o
不扣分) 2．16； 3．－2； 4． ⎩⎪⎨
⎪⎧
2，n ＝1，
6n －5，n ≥2
； 5． 50 2 ；
6．①③； 7． 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0； 8．36； 9．20x y --=； 10．323n -+； 11．3； 12．32k -≤<； 13．
5
2
； 14．n ； 二、解答题（本题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或步骤）．
15．解：(1)1{2x x <-
或2
}3
x >； ．．．．．．．．．．．．4分 (2)∵12x 2
－ax ＞a 2，
∴12x 2
－ax －a 2
＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0， ．．．．．．．．．．．．6分 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a
3.
①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时， x 2
＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩
⎨⎧
⎭⎬⎫
x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ．．．．．．．．．．．．8分
当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ．．．．．．．．．．．．10分 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
x |x ＜a 3或x ＞－a 4. ．．．．．．．．．．．．14分 (没有综上，不扣分)
16．解： 当5m =-时，直线2l 垂直于x 轴，此时直线1l 与2l 相交但不垂直. ．．．．．．．2分
当5m ≠-时，直线1l 的斜率134m k +=-
，直线2l 的斜率22
5k m
=-+. ．．3分 由12k k ≠，即32
45m m
+-
≠-
+， 得1m ≠-且7m ≠-，此时两直线相交. ．．．．．．．．．．．．5分 当1m =-时，两直线重合；
当7m =-时，两直线平行. ．．．．．．．．．．．．7分 当1m ≠-且7m ≠-时，1l 与2l 相交； ．．．．．．．．．．．．9分
由12=1k k ⋅-，即32145m m +⎛⎫⎛
⎫-
⋅-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，得133m =-， 此时两直线垂直. ．．．．．．．．．．．．11分
(1) 当7m =-时，1l 与2l 平行； ．．．．．．．．．．．．12分 (2) 当1m ≠-且7m ≠-时，1l 与2l 相交； ．．．．．．．．．．．．13分 (3) 当13
3
m =-
时，1l 与2l 垂直. ．．．．．．．．．．．．14分
17．解：(1)设该数列的公比为q ，
由已知，可得a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2
，
所以，a 1(q －1)＝2，q 2
－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. ．．．．．．．．．．．．3分 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．
故公比q ＝3，首项a 1＝1. ．．．．．．．．．．．．5分
所以，数列{}n a 的通项公式为1
3n n a -= ．．．．．．．．．．．．7分
(2)21n b n =-， ．．．．．．．．．．．．9分
()()1112121n n b b n n +=⋅-⋅+=11122121n n ⎛⎫
- ⎪-+⎝⎭， ．．．．．．．．．．．．11分 所以1111111111112335572121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭
21
n
n =
+ ．．．．．．．．．．．．14分
18．(1)因为4
cos ,55
A b c ==，所以2222
254105c c a c +-=，得32a c =，．．．．．．．．．．．4分 所以3
sin 325
A C ==
， 故2
sin 10
C =； ．．．．．．．．．．．．8分 (2)因为13
sin sin sin 22
S ac B C B =
=， ．．．．．．．．．．．．10分 所以32
10
ac =
① ．．．．．．．．．．．．12分 又32a c = ②
由①②得35
5
c = ．．．．．．．．．．．．16分
19.解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝
1213，cos C ＝35
， 所以sin A ＝
513，sin C ＝4
5
. ．．．．．．．．．．．．1分 从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C
＝
5312463
13513565⨯⨯⨯=
. ．．．．．．．．．．．．3分 由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604
sin 63sin 565
AC AB C B =⨯=⨯＝1 040(m)．
所以索道AB 的长为1 040 m. ．．．．．．．．．．．．5分
(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得
d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×
1213
＝200(37t 2
－70t ＋50)， ．．．．7分 因0≤t ≤
1040
130，即0≤t ≤8， 故当35
37
t =(min)时，甲、乙两游客距离最短． ．．．．．．．．．．．．9分
(3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得BC ＝12605
sin 63sin 1365
AC A B
⨯=⨯＝500(m)．
．．．11分 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，
由题意得5007103350v -≤
-≤，解得1250625
4314
v ≤≤
， ．．．．．．．．．．．．15分 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(单位：m/min)范围内． ．．．．．．．．．．．．16分
20．解：(1)因为21n n a S +=，令11
1,3
n a ==
．．．．．．．．．．．．1分 又1121(2)n n a S n --+=≥， 得1220n n n a a a --+=，所以
12
3
n n a a -=， ．．．．．．．．．．．．2分 所以数列{}n a 是等比数列， ．．．．．．．．．．．．3分
故1
1233n n a -⎛⎫=⋅ ⎪
⎝⎭
．．．．．．．．．．．．4分
(2)①因为数列{}n a 是等差数列，
所以()()()21111131+=2222
2n n n n d a S a n d na d n a d n a d -⎡⎤⎛⎫
+=+-+
+++-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣
⎦ 22n Bn =+-， ．．．．．．．．．．．．5分
所以11
1122222d
a d a d ⎧==⎧⎪
⇒⎨⎨
=⎩⎪-=⎩， ．．．．．．．．．．．．6分 所以21n a n =-，(21)2n
n b n =-⋅， ．．．．．．．．．．．．7分
由错位相减法得()12326n n T n +=-⋅+ ．．．．．．．．．．．．10分 ②646
=42
n n n
n T n c --=
则11424652222n n n n n
n n n
c c ++----=
-=
．．．．．．．．．．．．12分 当1,2n =时，1n n c c +>； 当3n ≥时，1n n c c +<； 即12345c c c c c <<>>>L 所以当3n =时，()max 3
4
n c =； ．．．．．．．．．．．．14分 因为不等式8
n m c ≥对*
n N ∈恒成立 所以348
m
≥，解得：6m ≤. ．．．．．．．．．．．．16分。