金属中的电子气的理论

金属中的电子气的理论

金属中的自由电子并非真正自由，而是要受到金属离子的周期势场的作用，因此一些自由电子理论并不能解释金属的全部性质。由 F.布洛赫和 .布里渊确立的单电子能带论解释了金属导电性与绝缘体和半导体的差别（见能带理论，半导体），并能定量计算金属的结合能，在考虑了金属离子的热运动的影响后，在描述金属的导电和导热等输运过程方面均取得了很大成功。金属中自由电子之间有很强的相互作用，在低温下考虑了电子通过晶格推动相互耦合就能很好地解释单电子理论无法解释的超导电性。近年来，研究合金中电子运动规律的合金电子理论也是金属电子论中的重要内容。

一、托马斯-费米近似方法

在相互作用强度很大的情况下，相互作用能在系统能量中占主导地位，相比之下，处于基态的系统的粒子由于受到非常强的相互排斥作用，其运动范围受到了限制，因此，动能就会远小于相互作用能。这时候，哈密顿量中的动能就可以忽略掉，被称为托马斯-费米(Thomas-Fermi)近似。一维定态GP 方程变为

则玻色子的密度分布为

同时玻色子密度分布的边界满足，在外势为简谐势的情况

我们得到凝聚体的半径为

则系统的粒子数为

将上式变换一下，得到化学势μ 满足

其中单粒子基态的特征半径为

边界R满足

化学势u和边界R都是随着粒子个数N和相互作用强度U1的增加而增加的。

在处理多电子原子问题中,、通常采用Hartree-Fook近似方法比较好,但是计算比较繁复,工作量大,在电子计算机使用以后,可以帮助人们进行大量的计算,减轻人们的负担,但用电子计算机计算有一个缺点,就是计算机只能进行数值计算,而不能解出一般形式,我们希望能找出一个普遍形式,这样对各种具体问题都能适用。

费米模型认为将金属中电子看作限制在边长为a的立方体盒子中运动.盒子内部势能为0.盒外势能为无限大,这样通过解定态薛定谔方程,可得出金属中电子的许多性质,如电子能级,电子的最高能量,电子的平均能量,电子气的压强,电子气的能级密度和磁化率,而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处,可以推出原子核的质量公式,跟实验结果比较符合得很好。

对于多电子原子应用如下的近似方法,即托马斯——费米方法,这是一个统计方法.它不是直接解薛定愕方程,可得出一些有用结论,其基本思想是在重原子中把正电荷看作连续分布(背景),电子在背景中运动n,这样处理中性原子运动比较成功。

二、哈特利-福克近似方法

通过绝热近似，把电子运动与离子实的运动分开，但系统的薛定谔方程仍然

是一个多体方程。由于电子间存在的库伦相互作用，严格求解这种多电子问题是不可能的。通过哈特利-福克（Hartree-Fock ）近似,可以将多电子的薛定谔方程简化为单电子有效势方程。

哈特利波函数将多电子波函数表述为每个独立电子波函数的连乘积形式：

()()()()12n n φφφφ=12r r r r

哈特利-福克单电子近似方程可以表示为：

()()()()()''2'',-HF i i i V dr E ρρφφ⎡⎤-⎢⎥∇+-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

⎰r r r r r r r r 哈特利-福克近似虽然包含了电子与电子的交换相互作用，得到了更进一步的结果，却没有考虑电子之间排斥相互作用，因此仍然具有一定的局限性，不能认为是一个严格的单电子理论。“单电子近似”的近代理论是在密度泛函理论的基础上发展起来的。

三、动态介电函数方法

在此之前，人们主要讨论的是电子系统在静态电场下的性质，而对于其在交流电场下介电性质有理论研究但并不多见，因此研究它在交流电场下的动态介电性质更具有十分重要的意义。我们在得出电子的有效相互作用后，通过动态介电函数计入了多体效应对库伦势的影响。

在研究多电子系统对外场的响应时，可假定在系统原点处附加了一个以一定频率振荡的“试探电荷”探针，由此可得出外场的附加哈密顿量，这其中引入一个指数因子，使得一定的极限条件得到满足，并且保证振荡外场与电子体系间的互作用是无限缓慢地加上的，使得整个系统随之振荡。由于系统的这种振荡，带动系统电子密度起伏而产生一个新的屏蔽势能，将其做傅里叶变换，可得到其所满足的RPA 响应的方程。由此可以引入一个随时间变化的动态介电函数。用这种无规相近似介电函数表示的响应方程，这个方程可决定互作用电子系统的个别激发与集体激发特征。以后我们将看到，利用有效交互作用讨论屏蔽效应，计算相关能和准电子寿命等实际问题将是十分简便的。但是有关的资料有限，所以我对

这种近似方法还不是很清楚，这里只是稍加叙述，还需要在以后的学习中加深理解。

四、结论

固体理论是以二次量子化（量子场论、量子多体理论）方法为基础、进一步理论化、系统化固体物理的研究内容所形成的将固体物理特性阐释为环境扰动下相互作用系统元激发问题的学科，其研究范围包括晶格振动、固体磁性、金属和等离子体特性、超导电性、强关联体系和无序系统。在固体理论中使用了和固体物理不同的描述方式，固体理论通过引入量子场论，用二次量子化的方法实现了对固体中不同现象的统一描述：元激发的概念被推广，固体理论中采用玻色型和费米型激发的模型分别成功的描述了声子、磁振子、等离体子等集体激发行为和准电子、空穴以及极化子等准粒子体系。通过二次量子化，采用库柏对模型可以成功解释第一类超导体的超导机制，并能较好描述电声相互作用、磁振子运动等现象，另外，作为第一性原理计算基础的重要理论——能带论也属于固体理论的研究范畴。固体理论的建立和发展，是为了阐明固体物理这门实验性科学所揭示出来的现象之间的内在本质。固体作为一个很复杂的客体，存在大量的原子和电子，而且他们之间的相互作用相当强。固体的宏观性质就是如此大量的粒子之间的相互作用和集体运动的总表现。在研究某些客观规律时，必须针对某一特殊过程，抓住主要矛盾，突出主要因素来进行分析研究。