5. 圆的极坐标方程(教师版)

5 圆的极坐标方程

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学习目标：

1. 能写出不同位置的圆的极坐标方程，已知圆的极坐标方程，能在极坐标系中画出圆的图形；

2. 会将圆的极坐标方程与圆的直角坐标方程互化. 学习重点：圆的极坐标方程的求法.

学习难点：一般形式下圆的极坐标方程的推导. 学习过程： 一、课前准备

阅读教材1213P P -的内容，并思考下面的问题：

1．直角坐标系中，单位圆2

2

1x y +=在极坐标系中如何表示？ 答：1ρ=

2．极坐标系中，圆心在极点，半径等于2的圆，能否用方程表示？ 答：可以，可以表示为2ρ=.

二、新课导学： （一）新知：

1. 已知圆C 的半径为a ，圆心在不同的位置上，试求出圆的极坐标方程.

图3

图2

图1

C C O P

x

O

P

x

O x

P

设圆上的动点P 的坐标为(,)ρθ，

（1）图1中，动点P 不论运动到什么位置，到极点的距离始终是a ，所以圆的极坐标方程是：a ρ=.

（2）图2中，设圆与极轴交于点A ，在直角三角形OPA 中，cos 2a

ρ

θ=

，即

2cos a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程.

（3）图3中，设圆与垂直于极轴的直线交于点B ，则PBO θ∠=，在直角三角形PBO 中，

sin 2PBO a

ρ

∠=

，即2sin a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程.

按照上面的思路，写出下面两种情况的圆的极坐标方程：

图5

图4

C

C

O

P

x

O P x

（4）图4中，设直线OC 与圆交于点A ，则32

POA πθ∠=-， 在Rt POA ∆中，3cos()22a

ρπθ-

=，化简得2sin a ρθ=-，即为所求圆的方程. （5）图4中，设极轴的延长线与圆交于点A ，则POA πθ∠=-，

在Rt POA ∆中，cos()2a

ρ

πθ-=，化简得2cos a ρθ=-，即为所求圆的方程.

（二）典型例题：

【例1】已知圆心在)0,(a M ，半径为R ，试写出圆的极坐标方程． 【解析】设圆上动点P 的坐标为(,)ρθ，如图 ，在OPM ∆中，||OP ρ=，||PM R =，||OM a =，

POM θ∠=，由余弦定理可得：

222cos 2a R a ρθρ

+-=，

即 0cos 22

2

2

=-+-R a a θρρ.即为所求圆的极坐标方程.

动动手：在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹. 【解析】如图，设弦OP 的中点为(,)M ρθ，连MA ，

在Rt AMO ∆中，cos 4

ρ

θ=

，所以，所求方程为

4cos ρθ=.

【例2】（1）化在直角坐标方程082

2

=-+y y x 为极坐标方程，

（2）化极坐标方程)3

cos(

6π

θρ-= 为直角坐标方程.

【解析】(1)由互化公式cos sin x y ρθ

ρθ

=⎧⎨

=⎩，得：

2

2

2

2

cos sin 8sin 0ρθρθρθ+-=，因为ρ不恒为0，所以8sin ρθ=.

(2) 将)3

cos(

6π

θρ-=展开，得6cos cos 6sin sin 33ππρθθ=+，

P

O

y

x

M

M

A

x

P

即3cos 3ρθθ=+，两边同乘以ρ，得2

3cos 3sin ρρθρθ=+

将互化公式cos sin x y ρθρθ

=⎧⎨

=⎩及222

x y ρ=+代入，得

22330x y x +-=.

动动手：(1) 化在直角坐标方程2

2

240x y x y ++-=为极坐标方程， （2）化极坐标方程8sin()6πρθ=-

为直角坐标方程.

【解析】（1）根据互化公式，有2

2cos 4sin 0ρρθρθ+-=， 即：4sin 2cos ρθθ=-.

(2) 将8sin()6

πρθ=-

展开，得8sin cos 6cos sin 6

6

ππρθθ=-，

即34cos ρθθ=-，

两边同乘以ρ，得2

3sin 4cos ρρθρθ=-

将互化公式cos sin x y ρθρθ

=⎧⎨=⎩及222

x y ρ=+代入，得

224430x y x ++-=.

【例3】若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求

圆的方程. 运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程.

【解析】如图，设(,)P ρθ，

因为),(00θρM ，所以0POM θθ∠=-（或0θθ-），

||PO ρ=，0||MO ρ=，||PM r =， 在POM ∆中，由余弦定理，得

222

0002cos()r ρρρρθθ=+--，

即所求的圆的极坐标方程为222

0002cos()0r ρρρρθθ+---=.

这是圆的极坐标方程的一般式，它可以推得任何特殊位置的圆的极坐标方程. 三、总结提升：

1．求曲线的极坐标方程，就是建立以ρ、θ为变量的方程；类似于直角坐标系中的x 、y .求曲线的极坐标方程时，关键是找出动点所满足的几何条件，再运用三角运算、化简，得出极坐标方程.

2.将极坐标方程与直角坐标方程互化，要注意互化公式的灵活运用，要注意互化前后两个方程的等价性.

3.特殊位置的圆的极坐标方程比直角坐标方程简单，要会运用解三角形的方法求出圆的极坐标方程. 四、反馈练习：

1.圆4sin ρθ=的圆心和半径分别是 （ B ） A ．(2,0)、2 B ．(2,

)2

π、2 C ． (2,)2

π、4 D ．(2,)2

π-、4

2. 圆5cos 53ρθθ=-的圆心坐标是（ A ）

A ．5(5,

)3π B ．4(5,)3π C ．2(5,)3π D ．(5,)3

π

3. 曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ

=⋅，则曲线的直角坐标方程为2

y x =.

M

x