自动控制原理 经典控制部分 线性系统的数学模型

可由下列的语句来输入 >>G=4*conv(［1,2］,conv(［1,3］,［1,4］))
32/27
2.6 在MATLAB中数学模型的表示
有了多项式的输入,系统的传递函数在 MATLAB 下可由其分子和分母多项式唯一地确定 出来,其格式为
sys=tf(num,den)
其中num为分子多项式，den为分母多项式
>>A =［1,3］; B =［10,20,3］； >>C = conv(A,B) C = 10 50 63 9
即得出的C(s)多项式为10s3 +50s2 +63s +9
31/27
2.6 在MATLAB中数学模型的表示
MATLAB提供的conv( )函数的调用允许多级嵌
套,例如
G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)
>>P=［1 0 2 4］
注意尽管s2项系数为0,但输入P(s)时不可缺省0。
MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为
C=conv(A,B)
30/27
2.6 在MATLAB中数学模型的表示
例如给定两个多项式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3, 求C(s)=A(s)B(s),则应先构造多项式A(s)和B(s),然后再 调用conv( )函数来求C(s)
num=［b0,b1,b2,…,bm］；den=［a0,a1,a2,…,an］；
19/27
§ 2.5 信号流图
2.5.6信号流图的增益公式
给定系统信号流图之后，常常希望确定信 号流图中输入变量与输出变量之间的关系，即 两个节点之间的总增益或总传输。上节采用信 号流图简化规则，逐渐简化，最后得到总增益 或总传输。但是，这样很费时又麻烦，而梅逊 (Mason) 公式可以对复杂的信号流图直接求出 系统输出与输入之间的总增益，或传递函数， 使用起来更为方便。
系统的特征式Δ 为
1 ( L1 L2 L3 L4 L5 L6 ) L1 L2
系统的传递函数为
C (s) (G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7G5 G1G5G6G7G2 ) R( s)
1 G3 H 2 G5 H1 G2G3G4G5 H 3 G6G4G5 H 3
G2G7G5 H 3 G3G5 H1H 2 G5G6G7 H 2 H 3
25/27
§ 2.5 信号流图
例2-12 求图示信号流图的闭环传递函数
解：系统单回环有：L1 = G1，L2 = －G2，L3 = －G1G2，
L4 = － G1G2，L5 = － G1G2系统的特征式 Δ 为：
1 Li 1 G1 G2 3G1G2
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn
x2 a21 x1 a22 x2 a2n xn

xn an1 x1 an 2 x2 ann xn
5/127
§ 2.5 信号流图
（3）用节点“○”表示n个变量或信号，用支路 表示变量与变量之间的关系。通常把输入变量放 在图形左端，输出变量放在图形右端。
22/27
§ 2.5 信号流图
例2-11 利用梅逊公式求图中所示系统的传递函数
C(s) / R(s)。
23/27
§ 2.5 信号流图
解：输入量R(s)与输出量C(s)之间有四条前向通道， 对应Pk与Δk为： P1=G1G2G3G4G5 P2=G1G6G4G5 P3=G1G2G7G5 Δ1=1 Δ2=1 Δ3=1
i 1
26/27
5
§ 2.5 信号流图
前向通道有四条： P1 = -G1 Δ1=1
P2 = G2
P3 = G1G2 P4 = G1G2 系统的传递函数为
Δ2=1
Δ3=1 Δ 4=1
G( s)
P
i 1 i
4
i

G1 G2 2G1G2 1 G1 G2 3G1G2
2.5.1信号流图的定义
考虑如下简单等式
xi aij x j
这里变量 xi 和 xj 可以是时间函数、复变函数， aij是变量xj变换(映射)到变量xi的数学运算，称作 传输函数，如果 xi和 xj是复变量 s 的函数，称 aij为 传递函数Aij(s)，即上式写为
X i ( s) Aij ( s) X j ( s)
P4= -G1G6G2G7G5 Δ4=1 图中有五个单回环，其增益为： L1= -G3H2，L2 = -G5H1， L3 = -G2G3G4G5H3，L4 = -G6G4G5H3， L5 = -G2G7G5H3，其中L1与L2是互不接触的， 其增益之积 L1L2 = G3G5H1H2
24/27
§ 2.5 信号流图
（2）信号流图所依据的方程式，一定为因果函数 形式的代数方程； （3）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递； （ 4 ）节点上可把所有输入支路的信号叠加，并把 总和信号传送到所有输出支路； （ 5 ）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加 一个具有单位传输的支路，可把其变为输出节点， 即汇节点；
（6）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。
7/27
V2 ( s) V3 ( s) I 2 ( s) R2
§ 2.5 信号流图
V1 ( s ) V2 ( s ) I1 ( s ) R1
V2 (s) R 3 I1 (s) I 2 (s)
V3 ( s) R4 I 2 ( s)
V2 ( s) V3 ( s) I 2 ( s) R2
17/27
G1G2 如图 (b)，G1G2与-H1反馈简化为 1 G G H 支路， 1 2 1 G1G 2 又与G3+G4串联，等效为 (G3 G4 ) 如图 (c) 1 G1G2 H 1
§ 2.5 信号流图
进而求得闭环传递函数为
C ( s) ( s) R( s )
G1G2 ( s)(G3 ( s) G4 ( s)) 1 G1G2 H1 ( s) G1G 2 ( s)(G3 ( s) G4 ( s)) H 2 ( s)
27/27
2.6 在MATLAB中数学模型的表示
控制系统的数学模型在系统分析和设计中是 相当重要的，在线性系统理论中常用的数学模型 有微分方程、传递函数、状态空间表达式等，而
这些模型之间又有着某些内在的等效关系。
MATLAB主要使用传递函数和状态空间表达式来
描述线性时不变系统(Linear Time Invariant简记为
3/127
§ 2.5 信号流图
变量xi和xj用节点“○”来表示； 传输函数用一有向有权的线段(称为支路)来表示； 支路上箭头表示信号的流向，信号只能单方向流动。
信号流图
4/27
§ 2.5 信号流图
2.5.2 系统的信号流图
在线性系统信号流图的绘制中应包括以下步骤： （ 1 ）将描述系统的微分方程转换为以 s 为变量的 代数方程。 （2）按因果关系将代数方程写成如下形式 ：
其中m≤n。G(s)的分子多项式的根称为系统的零 点，分母多项式的根称为系统的极点。令分母多 项式等于零，得系统的特征方程：
m 1
D(s)=a0sn+a1sn－1+……+an－1s+an=0
29/127
2.6 在MATLAB中数学模型的表示
因传递函数为多项式之比,所以我们先研究 MATLAB 是如何处理多项式的。 MATLAB 中多项式 用行向量表示，行向量元素依次为降幂排列的多项式 各项的系数，例如多项式P(s)=s3+2s+4 ,其输入为：
6/27
§ 2.5 信号流图
例2-9 如下图所示的电阻网络，v1为输入、v3为输 出。选 5 个变量 v1、i1、v2、i2、v3，由电压、电流 定律可写出四个独立方程
V1 ( s ) V2 ( s ) I1 ( s ) R1
V2 (s) R 3 I1 (s) I 2 (s)
V3 ( s) R4 I 2 ( s)
11/27
§ 2.5 信号流图
通道传输或通道增益：沿着通道的各支路传输的 乘积。如从X1到X7前向通道
的增益G1G2G3G4G5G6。
不接触回环：如果一些回环没有任何公共的节点， 称它们为不接触回环。如－G2H1 与－G4H2。
12/27
§ 2.5 信号流图
2.5.4信号流图的性质
（1）信号流图只适用于线性系统；
将 变 量 V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s) 作 节 点 表示，由因果关系用支路把节点与节点联接，得信 号流图。
8/27
§ 2.5 信号流图
2.5.3信号流图的定义和术语
节点：表示变量或信号的点，用“○”表示。
支路：连接两个节点之间的有向有权线段，方向
用箭头表示，权值用传输函数表示。
13/127
§ 2.5 信号流图
2.5.5信号流图的简化
（ 1）加法规则： n个同方向并联支路的总传输， 等于各个支路传输之和，如图(a) 所示：
（2）乘法规则 ：n个同方向串联支路的总传输， 14/127 等于各个支路传输之积，如图（b）。
§ 2.5 信号流图
（ 3 ）混合节点可以通过移动支路的方法消去， 如图（c）。
∑Lj3所有三个互不接触回环增益乘积之和； Δk － 与第k条前向通道不接触的那部分信号流图的Δ，称为 21/27 第k条前向通道特征式的余子式。
§ 2.5 信号流图
步骤1：列写出输入R(s)到输出C(s)的所有前向通路 步骤2：列写信号流图的所有回路 步骤 3 ：判断所有回路的接触性，利用流图的特征式 公式计算流图的特征式 步骤 4 ：判断前向通路与所有回路的接触性，计算所 有前向通路的特征余因子 步骤5 ：利用Mason公式计算输入R(s)到输出 C(s)的传 递函数
LTI)。
28/27
2.6 在MATLAB中数学模型的表示
2.6.1传递函数
单输入单输出线性连续系统的传递函数为：
C ( s) b0 sm b1s bm1s bm G( s) n n 1 R( s ) a0 s a1s an 1s an
第 2章
线性系统的数学模型
§ 2.5 信号流图
信号流图是表示线性方程组变量间关系的一种图 示方法，将信号流图用于控制理论中，可不必求 解方程就得到各变量之间的关系，既直观又形象。 当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号 流图，并可据此采用梅逊(Mason)公式求出系统的 传递函数。
2/27
§ 2.5 信号流图
输入支路：指向节点的支路。 输出支路：离开节点的支路。
源节点：只有输出支路的节点，也称输入节点，
如图中节点X1。
汇节点：只有输入支路的节点，如图节点X7。
9/127
信号流图定义与术语
混合节点：既有输入支路、又有输出支路的节点， 如图中的X2、X3、X4、X5、X6。 通道(路径)：沿着支路箭头方向通过各个相连支路 的路径，并且每个节点仅通过一次。 如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反馈回X2。
§ 2.5 信号流图
前向通道：从输入节点(源节点)到汇节点的通道。 如图X1到X2，又如X1到X2到X3到X5 到X6到X7也为另一条前向通道。 闭通道 ( 反馈通道或回环 ) ：通道的起点就是通道的 终点，如图X2到X3又反馈到X2；X4到X5 又反馈到X4。 回路则是指起始节点和终止节点为同一节点，且不 与其它节点相交次数多于1次的封闭通路。 自回环：单一支路的闭通道，如图中的-H3构成 自回环。
20/127
§ 2.5 信号流图
梅逊增益公式可表示为
P T
k k

式中， T — 输出和输入之间的增益或传递函数； Pk — 第k条前向通道的增益或传输函数； Δ — 信号流图的特征值，称为流图特征式
=1- ∑Lj1+ ∑Lj2 - ∑Lj3 +…
∑Lj1所有不同回环增益之和；
∑Lj2所有两两互不接触回环增益乘积之和；
（4）回环可根据反馈连接的规则化为等效支路， 15/27 如图（d）。
§ 2.5 信号流图
例 2-10 将图 2-43 所示系统方框图化为信号流图并
化简求出系统的闭环传递函数 ( s) C ( s)
R( s )
16/27
§ 2.5 信号流图
解：信号流图如图 (a)所示。化G1与G2串联等效为 G1G2支路，G3与G4并联等效为G3+G4支路，