量子光学第四讲

r
由于场 V ( r ) ( r, t ) 为实数，则 V ( r,ν ) = V * ( r, −ν )
V ( r ) ( r, t ) = ∫ V ( r,ν ) e −2π iν t dν
−∞
பைடு நூலகம்
∞
可见实数场的表示带有负频成分的冗余，仅仅正频部分足以包含场的 信息，所以用复数解析信号 V ( r, t ) 完全可以描述辐射场
8
一阶相关函数
统计相关的方法认识经典相干性
考虑来自两个时空点的场的叠加
V ( x ) = K1V ( x1 ) + K 2V ( x2 )
xi = ( ri , ti )
在时空点 x 处叠加场的瞬时光强为
I ( x ) = V * ( x )V ( x ) = K1 I ( x1 ) + K 2 I ( x2 ) + 2 K1* K 2 Re ⎡V * ( x1 )V ( x2 ) ⎤ ⎣ ⎦
*
ν k =ν k '
*
Ek = Ek ' = 0 Ek Ek ' = Ek
*
ik ⋅r1
Ek ' = 0
ik '⋅r1 k'
双星热光场的统计特性
I = κ E E = κ Ek ( e = κ 2 Ek + Ek '
2
+e
ik ⋅r2
) + E (e
+e
ik '⋅r2
)
2
(
2
)
2 2 + Ek ⎡eik ⋅(r1 −r2 ) + c.c.⎤ + Ek ' ⎡eik '⋅( r1 −r2 ) + c.c.⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
光场相干性本质
经典相干性的概念
经典光场相干性实质上由光场的经典干涉效应量度，表征场的相位关 联程度。 真空光场中任意两时空点并不一定具有相干性，经典光场相干性分为 时间相干性和空间相干性。 • 时间相干性：同一空间点不同时刻光场的相干度，由相干时间 τ c 描述，取决于光源频谱宽度 ∆ν τ c ∝ 1 ∆ν • 空间相干性：光场中不同空间点在同一时刻的相干度，由相干长 度 lc 量度，lc = τ c c 经典场中单色性最好的热光源：τ c 激发态原子的寿命两级， c < 10−8 s τ 相应的相干长度 lc ≤ 100 cm
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光场的解析信号表示
光场的统计物理处理
一般光场不能确定地用一个解析函数 V ( r, t ) 描述，而必须采用随机 变量，要用统计系综的组分描述，每个系综表征组分对应于光场的 一种可能状态。令 P (V ) 表示系综相应于 V ( r, t ) 的几率分布 1
HBT实验
Handury Brown-Twiss实验起源于提高双星探测的角分辨率，但它 的意义却远远超过了实验结果本身。物理学史上三大干涉实验之一： Young干涉实验（光的波动性直接验证，许多涉及量子力学根本问题 的思维实验都是基于它）、 Michelson干涉实验（导致相对论的产 生）、HBT实验使得人们重新在量子力学的框架认识相干性问题，导 致统计光学和量子光学的产生。 HBT实验的初衷？ 改进 Michelson星光干涉仪
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一阶相关函数
一阶复相干度函数
稳定光场下系综平均与时间原点无关，则
G ( ) ( x1 , x2 ) = G ( ) ( r1 , r2 ,τ ) = V * ( r1 , t )V ( r2 , t + τ )
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光场相干性本质
时空相干性描述
• • 时间相干性：Michelson干涉仪 空间相干性：Young双狭缝干涉实验
2 相干体积：∆V = ∆A ⋅ lc ∝ d ⋅ lc ，围绕空间点 P 在相干体积内的所有光 场都与 P 点的场产生干涉。相干体积 ∆V 对应于量子力学相空间中的 一个相格在真实空间相对应的。在相干体积内包含的具有相同偏振的 平均光子数表示该量子态平均光子数，量子统计中表示辐射场的简并 参数 δ 。热光场是非简并的，因此 1 δ= −1 exp ω kT δ ≤ 10−3 而激光光场光子简并度非常高，可达 δ ≥ 1014 。这表明相干性 和场的简并度相关（同态光子相干！？）
1 1
τ = t2 − t1
I ( r ) = K1
2
I ( r1 ) + K 2
1
2
I ( r2 ) + 2 K1 K 2 Re G ( r1 , r2 ,τ )
G ( ) ( r1 , r2 ,τ )
1
规一化相关函数
g ( ) ( r1 , r2 ,τ ) =
I1 ( r1 ) I 2 ( r2 )
一阶相关函数
一阶复相干度函数特性 g (1) ( r1 , r2 ,τ ) = g (1) ( r1 , r2 ,τ ) exp ⎡iϕ ( r1 , r2 ,τ ) ⎤ ⎣ ⎦
一阶复时间相干度函数 1 G ( ) ( r, r,τ ) (1) (1) g (τ ) = g ( r, r,τ ) = (1) G ( r, r,0 )
0 ≤ g (1) ( r1 , r2 ,τ ) ≤ 1
I ( r ) = I1 ( r1 ) + I 2 ( r2 ) + 2
光场的一阶复相干度
I1 ( r1 ) I 2 ( r2 ) Re g (1) ( r1 , r2 ,τ )
干涉条纹的对比度为
g (1) ( r1 , r2 ,τ )
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双星（Binary Stars）S 和 S ' ，假设通过滤光片获得单色光，双星的 波矢分别为 k 和 k '。希望通过 Michelson 干涉仪测量双星的角间距， 即 k 和 k ' 的夹角 ϕ 。
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HBT实验和高阶相关函数
Michelson星光干涉仪
假设
Ek
2
= Ek '
2
= I 0 ，有
I = 2κ I 0 2 + cos ⎡k ⋅ ( r1 − r2 ) ⎤ + cos ⎡k '⋅ ( r1 − r2 ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(
)
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光场的解析信号表示
复解析函数表示光场
线偏振的电磁场可用标量实函数 V ( ) ( r, t ) 来描述。光学物理中一般 常用复函数 V ( r, t ) 表示电磁场。为什么可以这样表示？考察实数场 的傅立叶表示
12
HBT实验和高阶相关函数
k k'
S Earth S' S S'
ϕ
(a)
k
r1 M1
k
k' k k'
k −k'
k'
ϕ
ϕ
k
k'
r1
r2
ϕ
r0 M2 M1
ϕ
r2 M2 M1
r0
M2
(c)
P
(d)
(b)
Michelson星光干涉仪 (b) 示意简图
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量子光学
第四讲: 相干性的量子理论 (Part I)
相干性的量子理论
什么是相干性概念的本质？ 光子探测和量子相干函数 一阶相干性
杨式干涉实验以及在物理学中的意义
二阶相干性及高阶相干性
非经典光场的判据 压缩光场的探测 光子反聚束、泊松分布、亚泊松分布
光子计数和光子统计
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G
(1)
(τ ) =
V ( t )V ( t + τ ) = ∫ dν ∫ dν ' V * (ν )V (ν ') e −2π i(ν '−ν )t
* 0 0
∞
∞
V * (ν )V (ν ') = G (ν ) δ (ν −ν ')
G
(1)
(τ ) = ∫0 G (ν ) e−2π iντ dν
∞
解析函数 复函数 V ( r, t ) 被称为解析函数是指它可以解析地开拓到复数 t
平面的 下半平面（ Im t < 0 ）。如果瞬时光强对所有时间的积分是有限的
∫
∞
−∞
V ( r, t ) dt < ∞
2
则解析函数意味着存在如下厄米变换
Im V ( r, t ') ReV ( r, t ) = − P.∫ dt ' −∞ π t '− t ∞ Re V ( r , t ' ) 1 Im V ( r, t ) = P.∫ dt ' −∞ π t '− t 1
∞
平均光强
G (ν ) 表示场的谱密度，谱密度和复时间相干度互为傅立叶变换。
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I = G ( 0 ) = ∫ G (ν ) dν
0
HBT实验和高阶相关函数
2 2
… 系综平均 2 2 I ( x ) = V * ( x )V ( x ) = K1 I ( x1 ) + K 2 I ( x2 )
+2 K1 K 2 Re G (1) ( x1 , x2 )
此处 G (1) ( x1 , x2 ) 表示不同时空点场间交叉关联，互相关函数
G (1) ( x1 , x2 ) = V * ( x1 )V ( x2 )
I ( r , t ) = V ( r, t )V * ( r , t )
仅是场包络的慢变函数，是可以探测到的场瞬时光强。而实函数 的瞬时光强 V ( r ) ( r, t )2 是时间的迅变函数，探测器无法探测到。 • 实际的辐射场虽可以控制其空间行为，但却无法控制其时间行为。 光场可以具有很好的单色性，但其振幅却存在不可控制的起伏， 所以一般情况下要用统计物理的方法描述电磁场。在时空点 ( r,t ) 的平均强度为 I ( r , t ) = V * ( r, t )V ( r, t )
HBT实验和高阶相关函数
Michelson星光干涉仪
设双星到干涉仪的两个反射镜 M 1 和 M 2 的距离矢量为 r1 和 r2 ，则 到达 P 点的光场为下面两个光场的叠加
E ( r ) = E ( r1 ) + E ( r2 ) ⎧ E ( r1 ) = Ek eik ⋅r1 + Ek 'eik '⋅r1 ⎪ ⎨ ik ⋅r ik '⋅r ⎪ E ( r2 ) = Ek e 2 + Ek 'e 2 ⎩
P (V ) d 2V 1
在时空点 ( r,t ) 场量处于 V 和 V + dV 的几率。 任何场量 V 的函数 f (V ) 的系综平均值为
f (V ) = ∫∫ f (V ) P (V ) d 2V 1
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∞
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光场的解析信号表示
复解析函数表示的物理含义
• 数学运算简单明了。 • 强调相干理论主要研究场“包络”或“平均强度”相联系的现象，这 点在量子光学中具有深刻意义：复函数给出场的瞬时光强
V ( r, t ) = ∫ V ( r,ν ) e −2π iν t dν
0 ∞
V(
r)
( r, t ) = 2 ReV ( r, t )
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光场的解析信号表示