组合数学第6章[容斥原理]
第6章 容斥原理
6.1 容斥原理
●容斥原理是组合数学中的一个重要 原理,它在计数问题中占有很重要地位.
●容斥原理所研究的问题是与若干有 限集的交、并或差有关的计数.
●在实际工作中, 有时要计算具有某种 性质的元素个数.
例: 某单位举办一个外语培训班, 开设 英语, 法语两门课.
●设U为该单位所有人集合, A,B分别为 学英语, 法语人的集合, 如图所示.
Qn | A1 A2 An |
n! | A1 A2 An | (6.5)
n!r1 (n 1)!r2 (n 2)!
(1)n1 rn1 1!(1)n rn 0!
由此可见, 计算禁位排列的关键问题是 计算ri(i=1,2,…,n).
其中ri为有i个棋子落入禁区的方案数.
证. 设Ai为第i个棋子落入禁区的排列的 集合, i=1,2,…,n
如果一个棋子落入禁区的方案数目为
r1, 那么剩下的n-1个棋子可任意排列, 所以: ∑|Ai|=r1(n-1)!. 如果两个棋子落入禁区的方案数目为
r2, 那么剩下的n-2个棋子可任意排列, 所以: ∑|Ai∩ Aj |=r2(n-2)!. 依次类推. 由容斥原理, 可以得到:
Q5 | A1 A2 A3 A4 |
5! | A1 | | A2 | | A3 | | A4 | | Ai Aj |
| Ai Aj Ak | | A1 A2 A3 A4 |
容易计算出:
|Ai|=4!, i=1,2,3,4. |A1A2|中排列含有模式123, 其中排列的 总数={123,4,5}排列总数. 所以,
些绅士没人能拿到他们来时所戴的帽子
● V-8发动机的8个火花塞从气缸中取出清洗。
组合数学第五版答案
组合数学第五版答案简介《组合数学第五版答案》是对组合数学第五版的习题答案进行整理和解答的参考资料。
组合数学是一门研究集合之间的组合方式和规律的数学科学。
它广泛应用于计算机科学、统计学、运筹学等领域，在算法设计、图论分析等方面有着重要的应用价值。
本文档包含了《组合数学第五版》中各章节的习题答案，主要内容涵盖了排列组合、图论、生成函数、递推关系、容斥原理等多个重要主题。
通过对这些习题的解答，可以帮助读者更好地理解组合数学的基本概念、方法和应用。
目录•第一章：基本概念和方法•第二章：排列组合•第三章：图论•第四章：生成函数•第五章：递推关系•第六章：容斥原理第一章：基本概念和方法1.习题1：证明排列的总数为n! (阶乘)。
2.习题2：计算组合数C(n, m)的值。
3.习题3：探究组合数的性质并给出证明。
第二章：排列组合1.习题1：计算排列数P(n, m)的值。
2.习题2：解决带有限制条件的排列问题。
第三章：图论1.习题1：证明图论中的握手定理。
2.习题2：解决图的着色问题。
第四章：生成函数1.习题1：利用生成函数求解递推关系。
2.习题2：应用生成函数解决组合数学问题。
第五章：递推关系1.习题1：求解递推关系的通项公式。
2.习题2：应用递推关系解决实际问题。
第六章：容斥原理1.习题1：理解容斥原理的基本思想并给出证明。
2.习题2：应用容斥原理解决计数问题。
结论通过对《组合数学第五版答案》中的习题进行解答，读者可以更好地掌握组合数学的基本概念和方法。
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学等领域具有广泛的应用，通过学习和理解组合数学，读者可以提高解决实际问题的能力，并为进一步深入研究相关领域打下坚实的基础。
注：本文档中的习题答案仅供参考，请读者在独立思考和解答问题时加以思考和验证，以深入理解组合数学的核心概念和方法。
组合数学中的容斥原理及其应用实例
技术创新33组合数学申的容斥原理及其应用实例◊宝鸡文理学院数学与信息科学学院李海侠容斥原理是组合数学中的一个重要计数工具，在集合论、概率论和初等数论等学科中占有非常重要的地位。
本文讨论容斥原理的思想以及在计数问题中的若干应用，帮助大家更方便的利用容斥原理解决相关问题。
容斥原理冋是组合数学中的基本计数原理，是解决计数问题的一个重要工具。
掌握容斥原理的主要思想可以大大简化计数问题的计算，给解决相关问题带来方便，具有非常重要的研究意义。
但纵观容斥原理的已有研究成果，目前对容斥原理在圆排列（非夫妻围坐问题）、多重集排列和与棋盘多项式有关的禁区排列等方面的应用很少。
因此，本文在容斥原理相关定理的基础上探析容斥原理的主要思想以及若干应用,并通过举例进行详细说明，从而使大家更好地理解并灵活应用容斥原理。
1预备知识为了后面讨论的需要，下面给出容斥原理的相关定理和思想。
定理1（容斥原理）呦设有限集S,P=｛片，马,…，好｝是与S中元素有关的性质集合，4,&，…,4,是分别具有性质£，妁，…上的元素构成的s的子集，贝U：|4U4U-U^…|»,,,,（1）=ZW-Z|4-n^|+s l4.n4.nAl—■+（-ir1l4n^n-n4.li=l l<i<j<n l<i<j<k<n|4A4n-n4；|⑵=l^|-il4l+Z|4A4|-z|4n4n^|+-+（-ir|4n4n-n4.li=l l<i<j<k<n运用容斥原理和组合販易得定理2如果有限集s的子集4,4,…,4.具有对称性，即|4|=^（1<«<«）,|4-C1勺| =J R2（i<i</<»）,-）|4n4n-AA|=^,”则14u U•••U Al=ex-CX+•-+（-1）"_1CX=（3）冈n瓦n…n可=国-c：x+c江-…+（-i）”c：&=同-x（-i）/_I c火（4）利用容斥原理解题的思想和步骤：J（1）根据题意,找出全集s并构造出s中具有性质P t的元素组成的s的子集4（i= 1,2,•••,»）,这里4（21,2,…，”）的寻找非常关键，目标是既能用容斥原理又使得⑷，|4ri24y|,---,|4/容易求出。
6.容斥原理及其应用(一)
容斥原理是一种计数的方法，它在许多 领域广泛的应用。第六和第七讲介绍容斥原 理的内容以及它的几个简单的应用。本讲主 要包括以下几个内容:
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
引入 容斥原理的一般形式 容斥原理的推广形式 四个例子 两个练习
1.1 引入
设集合A是一有限集,我们用｜A｜表 示集合A所 含有的元素的个数。 设S是一个有限集，A1和A2是S的子集，如下图所 示。
r L + (-1) m-r Cm w(m),
这里 w(k)= ∑N(Pi1,Pi2,…,Pik ),其中N(Pi1,Pi2,…,Pik )为S中具有性质Pi1,Pi2,…和Pik的元素的数目。 证明:略
1.4 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6,还 不能被8整除的整数有多少个? 例2:欧拉函数φ(n):表示小于等于n且与n互素的整数的 个数,求φ(n). 解：若n分解成素数的乘积。n=p1a1p2a2…pkak 设1到n的n个数中为pi的倍数的集合为Ai,则 ｜Ai｜= n/pi ｜Ai∩Aj｜= n/(pipj),依此类推。由容斥原理得 φ(n)=n-(n/p1+n/p2+…+n/pk)+(n/p1p2+ n/p1p3 +…+ n/pk-1pk)+…+(-1)kn/p1p2…pk =n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pk).
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0．而 由于x具有n个性质，它对等式左边的贡献也为0，
1. 3 容斥原理的推广形式
定理2 设S是一有限集，P1,P2,…,Pm 是m个性质，令 Ai表示S中所有具有性质Pi的元素构成的集合。则S中 恰具有 r 个性质的元素数N(r)为
组合数学之容斥原理
对个人学习建议
01
深入理解容斥原理的 基本概念
要学好容斥原理，首先要深入理解其 基本概念和公式，掌握其基本原理和 思想。
02
多做练习题
通过大量的练习题，可以加深对容斥 原理的理解和掌握，提高解题能力和 思维水平。
03
拓展相关数学知识
容斥原理涉及到许多相关的数学知识 ，如集合论、概率论等。为了更好地 理解和应用容斥原理，建议学习者拓 展相关数学知识，建立完整的知识体 系。
THANK YOU
感谢聆听
有限制的排列问题
在n个元素中取出m个元素进行排列，要求某些元素必须相邻或某些元素不能相邻。可以 利用容斥原理，通过计算不满足条件的排列数，进而求得满足条件的排列数。
棋盘多项式问题
在n×n的棋盘上放置k个棋子，要求任意两个棋子不在同一行或同一列上。可以利用容斥原理， 通过计算至少有两对棋子在同一行或同一列上的放置方式数，进而求得满足条件的放置方式 数。
图论基本概念
01
图
02
顶点
03 边
04
度
路径
05
由顶点集和边集构成的一种数据结构，表示对象及其之间的 关系。 图中的基本元素，表示对象。
连接两个顶点的线段，表示对象之间的关系。
与顶点相关联的边的数目。
从一个顶点到另一个顶点的一条边的序列。
容斥原理在图论中应用
计算图的着色数
利用容斥原理，通过计算不同 颜色着色的子图个数，进而求 得图的着色数。
当某些元素不能同时选取或某些选取 方式不符合要求时，可以通过容斥原 理来求解符合条件的排列组合数。
典型问题解析
错排问题
n个元素进行排列，要求每个元素都不在原来的 位置，求这样的排列有多少种。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
组合数学 —— 容斥定理
即：A∪B∪C = A+B+C - AB - BC - AC + ABC
当被计数的种类被推到 n 类时，其统计规则即遵循奇加偶减。
容斥定理最常用于求 [a,b] 区间与 n 互质的数的个数，该问题可视为求 [1,b] 区间与 n 互质的个数减去 [1,a-1] 区间内与 n 互质的个数，故而可先对 n 进行因子分解，然后从 [1,b]、[1,a-1] 区间中减去存在 n 的因子的个数， 再根据容斥定理，奇加偶减，对 n 的因子的最小公倍数的个数进行处理即可。
2.求[1,n]中能/不能被m个数整除的个数
对于任意一个数 a[i] 来说，我们能知道在 1-n 中有 n/a[i] 个数是 a[i] 的倍数，但这样将 m 个数扫一遍一定会用重
复的数，因此需要用到容斥原理
根据容斥定理的奇加偶减，对于 m 个数来说，其中的任意 2、4、...Байду номын сангаас2k 个数就要减去他们最小公倍数能组成的 数，1、3、...、2k+1 个数就要加上他们的最小公倍数，因此 m 个数就有 2^m 种情况，对于每种状态，依次判
cnt=0; memset(bprime,false,sizeof(bprime)); for(LL i=2; i<N; i++) {
if(!bprime[i]) { prime[cnt++]=i; for(LL j=i*i; j<N; j+=i) bprime[i]=true;
} } } void getFactor(int n){ num=0; for(LL i=0; prime[i]*prime[i]<=n&&i<cnt; i++) {
容斥原理的三大公式
容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）是概率论和组合数学中常用的一种技巧，用于解决计数问题。
它通过对各种情况的交集和并集进行适当的计算，避免了重复计数或漏计的问题。
容斥原理的三大公式是指在应用容斥原理时常用的三个公式：
1.二项式容斥原理：
对于给定的事件A和B，二项式容斥原理可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
这个公式表示，两个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们的交集概率。
2.三个事件的容斥原理：
对于给定的事件A、B和C，三个事件的容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)。
这个公式表示，三个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们两两交集的概率之和，再加上它们的三个事件的交集概率。
3.n个事件的容斥原理：
对于给定的n个事件Ai（1≤i≤n），n个事件的容斥原理可以表示为：
P(A1∪A2∪...∪An) = ΣP(Ai) -ΣP(Ai∩Aj) + ΣP(Ai∩Aj∩Ak) - ... + (-1)^(n-1) * P(A1∩A2∩...∩An)。
这个公式表示，n个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们两两交集的概率之和，再加上它们三个事件的交集概率之和，依此类推，最后加上或减去n 个事件的交集概率。
这些容斥原理的公式可以帮助我们在计算概率或解决组合数学问题时进行正确的计数，避免了重复计数或漏计的错误。
第6章 容斥原理
1.解：令A={能被4整除}，B={能被5整除}，C={能被6整除}， = =2500, = =2000, = =1666, = =500, = =833, = =333,
= =166,根据容斥原理得： = + - =10000-2500-2000-1666+500+333+833-166=5334.
所以从1到10000不能被4,5或6整除的整数个数为5334.
2.解：令T*={ =
设集合A为a至少出现5次的T*的所有12-组合，集合B为b至少出现4次的T*的所有12-组合，集合C为c至少出现5次的T*的所有12-组合，集合D为d至少出现6次的T*的所有12-组合。则 =165， =120， =84， = = =0，根据容斥原理得， = + + + + + + - - - +
7.解：0 0 0 0 = =680，令集合A由S的所有满足x1 = =56，同理：
集合A,Байду номын сангаас,C,D的任意两个的交都是空集。所以，根据容斥原理得，
= + + + + + + - - - + 680-4
因此，在非负整数x1,x2,x3,x4不超过8时方程x1+x2+x3+x4=14的整数解的个数为456.
r6= 2=8
所以把6个非攻击车放到禁止位置的6行6列棋盘上的方法为：
6！-12
3个非攻击车放在二块里（一块放2个，一块放1个）： 2
所以r3=4 4+ 2
r4:4个非攻击车放在二块里： 2
4个非攻击车放在三块里（一块放2个，二块放1个）： 2 4
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用来计算多个事件的概率或计数。
容斥原理的核心思想是通过逐步剔除重复计数的方式得到准确的计数结果。
下面将详细介绍容斥原理及其应用。
一、容斥原理的基本概念：设集合U为一个样本空间，A₁，A₂，...，Aₙ为U的n个子集，容斥原理给出了如下关于这些集合的计数或概率的公式：```P(A₁∪A₂∪...∪Aₙ)=Σ[P(A₁)-P(A₁∩A₂)+P(A₁∩A₂∩A₃)-...+(-1)ⁿ⁻¹P(A₁∩A₂∩...∩Aₙ)]```其中P(A₁)表示事件A₁的概率，P(A₁∩A₂)表示事件A₁与A₂同时发生的概率，依此类推。
二、容斥原理的证明：容斥原理的核心思路是通过排除重复计数的方法得到准确的计数结果。
可以用一个数轴来表示样本空间U，集合A₁，A₂，...，Aₙ所对应的子集分别在数轴上画出，然后逐步排除交集的部分。
具体证明过程如下：1.先考虑只有两个集合A₁和A₂的情况，根据概率的加法原理可得：```P(A₁∪A₂)=P(A₁)+P(A₂)-P(A₁∩A₂)```这里P(A₁∩A₂)表示事件A₁和A₂同时发生的概率，由于在P(A₁)和P(A₂)中分别计算了P(A₁∩A₂)，所以要减去一次P(A₁∩A₂)去除重复计数。
2.推广到三个集合A₁、A₂、A₃的情况，根据加法原理得：```P(A₁∪A₂∪A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)-P(A₁∩A₂)-P(A₁∩A₃)-P(A₂∩A₃)+P(A₁∩A₂∩A₃)```这里减去了P(A₁∩A₃)和P(A₂∩A₃)是因为它们在P(A₁)、P(A₂)和P(A₃)中分别计算了两次，要减去一次去除重复计数。
加上P(A₁∩A₂∩A₃)是因为它在前面的计算中被减去了两次，要加回来。
3.对于n个集合的情况，以此类推可以得到容斥原理的一般形式。
三、容斥原理的应用：容斥原理在组合数学和概率论中具有广泛的应用1.计数问题：利用容斥原理可以解决一些与集合计数相关的问题，如给定集合A₁，A₂，...，Aₙ，求它们的并集的元素个数。
容斥原理三大公式
容斥原理三大公式容斥原理是数学中一个非常实用的工具，它能帮助我们在解决一些集合问题时更加得心应手。
容斥原理主要有三大公式，接下来咱们就好好唠唠这三个公式。
咱们先来说说这第一个公式。
假设咱们有两个集合 A 和 B，那么 A 和 B 的并集元素个数就等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去A 和B 的交集元素个数。
用数学式子表示就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
我给您举个例子哈，就说咱们班同学，喜欢数学的有 20 人，喜欢语文的有 15 人，既喜欢数学又喜欢语文的有 5 人。
那喜欢数学或者语文的同学一共有多少人呢？咱们就用这个公式来算算。
|A| 就是喜欢数学的 20 人，|B| 是喜欢语文的 15 人，|A∩B| 是既喜欢数学又喜欢语文的 5 人。
所以喜欢数学或者语文的同学一共有 20 + 15 - 5 = 30 人。
再来说说第二个公式。
要是有三个集合 A、B、C，那么它们的并集元素个数就是 A 的元素个数加上 B 的元素个数加上 C 的元素个数，然后减去 A 和 B 的交集元素个数，减去 A 和 C 的交集元素个数，减去 B 和 C 的交集元素个数，最后再加上 A、B、C 三个集合的交集元素个数。
式子就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C| 。
比如说，咱们学校组织兴趣小组，参加绘画小组的有 12 人，参加音乐小组的有 8 人，参加体育小组的有 10 人。
参加绘画和音乐小组的有 3 人，参加绘画和体育小组的有 4 人，参加音乐和体育小组的有 2 人，三个小组都参加的有 1 人。
那参加兴趣小组的一共有多少人呢？咱们照样用公式来算，|A| 是绘画小组的 12 人，|B| 是音乐小组的 8 人，|C| 是体育小组的 10 人，|A∩B| 是 3 人，|A∩C| 是 4 人，|B∩C| 是 2 人，|A∩B∩C| 是 1 人。
组合数学(第二版)容斥原理
容斥原理
图 4.4.3 有禁区的排列
容斥原理
【例 4.4.5】(错排问题) 即第i个棋子不能排在第i行的第i 个位置,问题可以看作在 一个n×n 的棋盘上,以对角线上的方 格为禁区A 的布局问题,求布局方案数.
解 如图4.4.4所示,阴影部分为禁区构成的棋盘A,由式 (4.4.6)知
从而必有
容斥原理 因此,由公式(4.4.8)可得错排的方案数为
容斥原理
4.2 容 斥 原 理
引理 4.2.1 设A,B 为有限集合,则有
容斥原理
证 显然,对于A+B 中的元素a,在等式左边恰被统计一次, 而在等式右边被统计 的次数,可分为如下三种情形来考虑:
(1)a∈A,但a∉B,则a 也恰被统计一次; (2)a∉A,但a∈B,同样恰被统计一次; (3)a∈A 且a∈B,那么必有a∈AB,从而a 被统计1+1-1=1 次. 所以,a 在等式两边被统计的次数是相同的,引理4.2.1得 证.
容斥原理
4.1 引 言
容斥原理 关于集合的运算,有:
容斥原理 集合的运算,满足下列运算定律:
容斥原理
当集合A 中的元素为有限个时,称A 为有限集合,其元素 个数记为|A|,亦称为A 的 势.关于|A|,有如下简单性质:
(1)若集合A、B 不相交,即AB=⌀,则|A+B|=|A|+|B|; (2)若A⊃B,则|A-B|=|A|-|B|.
(2)j=k,则a 在q- 中只出现一次,且当i>k 时,a 在q- 中同样 不可能被统计;
容斥原理
容斥原理
在所讨论的问题中,如果性质 P1,P2,…,Pn 是对称的,即具 有k 个性质的事物的 个数不依赖于这k 个性质的选取,总是等 于同一个数值,则称这个值为公共数,记作Rk, 例如:
容斥原理的证明及应用
容斥原理的证明及应用1. 容斥原理的概述容斥原理是组合数学中的一种重要的计数原理，用于计算多个集合的并集或交集的大小。
容斥原理指出，当计算多个集合的并集或交集时，需要减去同时属于这些集合的部分，以避免重复计数。
2. 容斥原理的证明容斥原理的证明基于集合的基本性质：对于任何集合A和B，它们的并集大小可以表示为两个集合大小之和减去交集的大小：|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|这个性质可以推广到多个集合的情况。
假设有n个集合A1, A2, …, An，它们的并集大小可以表示为：|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1∩ A3| - ... - |An-1 ∩ An| + |A1 ∩ A2 ∩ A3| + ... + (-1)^(n-1) * |An-1 ∩ An ∩ An+1| + ... + (-1)^(n-1) * |A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ An|这个式子可以用数学归纳法证明，但这里只给出直观的证明思路。
考虑一个元素x，它在A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An 中出现的次数：count(x) = count(x在A1中出现的次数) + count(x在A2中出现的次数) + ... + count(x在An中出现的次数)如果x同时出现在k个集合，则它被计算了k次。
根据这个思路，我们可以将上式中的每一项拆分为不同的元素计数，再进行求和，即可得到容斥原理的公式。
3. 容斥原理的应用容斥原理在组合数学、概率论、计算机科学等领域都有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景。
3.1 整数划分整数划分是将一个正整数分解为一系列小于等于它的正整数之和的问题。
使用容斥原理可以解决整数划分的计数问题。
假设要将正整数n划分为k个正整数之和，那么可以定义k个集合，其中第i个集合表示第i个整数的范围为[1, n]。
组合数学之容斥原理
在一些计数问题中, 经常遇到间接计算一个集合 中具有某种性质的元素个数比起直接计算来得简 单.
例如: 计算1到700之间不能被7整除的整 数个数.
先计算1到700之间能被7整除的整数个数=700/ 7=100, 所以1到700之间不能被7整除的整数个数 =700-100=600.
4
上面举的间接计数的例子是利用了如下原 理：如果A是集合S的子集, 则A中的元素 个数等于S中的元素个数减去不在A中的元 素个数, 这个原理可写成：
组合数学
容斥原理
1
一. 引言
●容斥原理所研究的问题是与若干有 限集的交、并或差有关的计数. ●在实际中, 有时要计算具有某种性质 的元素个数. 例如: 某单位举办一个外语培训班, 开设 英语, 法语两门课.
2
●设U为该单位所有人集合, A,B分别为
学英语, 法语人的集合, 如图所示.
●学两门外语的人数为|AB|, 只学一门外语的人数为|AB|-|AB|, 没有参加学习的人数为|U|-|AB|.
15
Aj=(n-1)!, j=1,2,3,,n. AiAj=(n-2)!, i,j=1,2,3,,n, 但ij. 对于任意整数k且1kn, 则有
| Ai1 Ai2 Aik | ( n k )!
因为{1,2,3,,n}的k组合为C(n,k)个, 应用容斥原理得到:
| A || S | | A | 或 | A || S | | A |
其中A表示A在S中的补集或余集 .
5
● 原理的重要推广, 称之为容斥原理,
并且将它运用到若干问题上去, 其 中包括： 错位排列、 有限制的排列、 禁位排列和 棋阵多项式等.
6
二. 容斥原理
组合数学_第6章6.4-6.5_
{1,2,…, n}的排列 i1 i2… in对应于棋盘上以方格 (1, i1), (2, i2),…, (n, in)
为坐标的n个车的位置
1 2 3 4 5 设n=5, X1={1, 4}, X2={3},
1X
X
X3=Φ, X4={1, 5}, X5={2, 5},
2
X
则P(X1,X2,…,X5)中的排列
p(X1 , X2 , X3 , X4 ) = 2
（方法2：容斥原理）
带禁止位置的“非攻击型车”
{1,2,…, n}的排列 i1 i2… in对应于棋盘上以方格 (1, i1), (2, i2),…, (n, in)
为坐标的n个车的位置
1 1
2 3 4 5 位置
23 45
24135
带禁止位置的“非攻击型车”
满足第 j 行的车不在 Xj 中的列，i=1,2,…,n，共 有多少种放置方法？
令属性Pj表示 j行上的车放置在Xj所给出的禁止位置中， 且Aj则为具有属性Pj的车的放置方法集合，
(1) |Aj |= |Xj | (n - 1)! (j=1,2,…,n) S |Aj | = (|X1|+|X2|+…+|Xn|) (n - 1)! 令r1 = (|X1|+|X2|+…+|Xn|) 则S |Aj | = r1 (n - 1)!
上，使得每一个男孩都面对到另一个男孩。他们能够
有多少种方法改变座位使得每人面对的男孩都不同？
（所有的座位都是一样）
1
8
2
解：应用容斥原理 假设8个男孩分成了四对： (1,5), (2,6),
7
3
6
4
5
组合数学答案6-8
Let A be the set of xi is nonnegative integer and xi 0 (i 1 ,2 ,3 and 4) ,
then
14 4 1 17
A
14
14
680
.
Let Ai be the set of xi is nonnegative integer and xi 8 (i 1,2,3 or 4) ,
|������| = 3
9 42
1
=
1260
|������1| = 4
7 2
1
= 105
|������2| = 3
6 2
1
= 60
|������3| = 4
8 3
1
= 280
We can also get that
Thus,
|������1 ∩ ������2| = *'aaa' , 'bbbb' , 2∙c, 1∙d+ |������1 ∩ ������3| = *'aaa' , 4∙b, 'cc' , 1∙d+ |������2 ∩ ������3| = *3∙a, 'bbbb' , 'cc' , 1∙d+
������3 = *3∙a, 4∙b, 'cc' , 1∙d+ ������1 is the set that consisting all the permutations of S which three a is consecutively.������2is the set that consisting the all the permutations of S which four b is consecutively. ������3 is the set that consisting all the permutations of S which two c is consecutively.
集合容斥原理
集合容斥原理
集合容斥原理是一种用于计算多个集合的并集或交集大小的方法。
它基于以下观察：两个集合的并集大小等于两个集合的大小之和减去两个集合的交集大小。
可以通过这个观察推广到更多集合的情况。
设有n个集合Ai，i=1,2,...,n。
那么它们的并集大小为：
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = Σ|Ai| - Σ|Ai ∩ Aj| + Σ|Ai ∩ Aj ∩ Ak| - ... + (-1)^(n-1) |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|
其中Σ表示求和，(-1)^(n-1)表示(-1)的n-1次方，|X|表示集合
X的大小。
例如，如果有三个集合A、B、C，那么它们的并集大小为：
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩
B ∩ C|
集合容斥原理在概率论和组合数学中有广泛的应用，特别是在计算事件的概率或组合数时。
它可以帮助简化复杂的计数问题，并提供一种计算并集或交集大小的有效方法。
组合数学及其应用——容斥原理
组合数学及其应⽤——容斥原理
容斥原理在集合论、概率论、组合数学中都常常出现，它是下⾯⼀个结论的推⼴。
这是因为，我们分别减|A|、|B|的时候，把|AB|减掉了两次，因此这⾥应该再加⼀次。
它的推⼴形式就是容斥定理。
在给出证明之前，我们很有必要充分的理解⼀下这个公式的内涵。
我们基于S集合上的⼀系列离散元素上讨论不满⾜m个性质的对象(元素)个数。
我们假想某⼀种性质的具体表现为：⼀根丝带，圈住了满⾜这⼀条性质的所有元素(本质上就是画Venn图)，现在我们想要求的就是没有被特定的m条丝带圈出的元素个数。
这个定理再利⽤德摩根律能够做出等价变化，它在计数、反演公式等⽅⾯发挥着重要作⽤。
下⾯开始结合⼀些具体的例⼦来拓展和深化对容斥定理的理解。
错位排列：
⾸先直观的解释什么是错位排列，然后我们再去探讨它如何与容斥原理结合起来.
所谓错位排列，举个最简单的例⼦，在⼀个宴会上，10位绅⼠都有着⾃⼰的帽⼦，将这些帽⼦混合起来，10位绅⼠各⾃拿了⼀个帽⼦，考察每⼀位绅⼠发现，他们⼿中的帽⼦均不是⾃⼰原本的帽⼦，那么这就是⼀种错位排列，我们关⼼的是，有多少种这样的错位排列？
关于错位排列，我们继续讨论⼀些内容。
通过上⾯利⽤容斥定理这个⾓度看错排，我们得到了⼀个概率的极限结果，现在我们讨论⼀个易于计算错排公式的⽅法。
⼀个具有限制位置的计数问题：
假设⼀天8个男⽣按照标号1,2…7,8的序号站队去晨跑，第⼆天⽼师想要换⼀下站队顺序，要求是每个男孩前⾯的男孩都不是他昨天前⾯的男⽣，那么请问有多少种符合的排列⽅式？
简单的讲，就是说8的全排列中，不含12,23,…,78的排列个数.。
容斥原理公式
容斥原理公式什么是容斥原理容斥原理是概率论与组合数学中的重要理论之一，它是一种计算交集的概率或数量的方法。
容斥原理可以用于解决包含多个事件或集合的情况下的数学问题。
容斥原理的思想是通过减去重叠部分来计算交集的数量。
它提供了一种有效的计算包含多个集合的交集的方法，允许我们回答类似于“同时满足A和B的概率是多少？”或“在给定的条件下，同时满足A、B和C的数量是多少？”等问题。
容斥原理公式容斥原理可以通过一个简单的公式来表示。
给定n个集合A1，A2，…，An，那么这些集合的交集的数量可以通过以下公式计算：|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∪ A2| - |A1 ∪ A3| - ... - |An-1 ∪ An| + |A1 ∪ A2 ∪ A3| + ... + (-1)^(n-1) |A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An|其中，|A|表示集合A的元素数量，∩表示交集，∪表示并集，(-1)^(n-1)表示(-1)的n-1次幂。
如何使用容斥原理容斥原理可以用于解决各种问题，包括组合数学和概率论中涉及多个集合的问题。
以一个简单的例子来说明如何使用容斥原理。
假设有三个集合A，B和C，我们希望计算同时属于A、B和C的元素数量。
首先，我们可以计算各自集合的元素数量，即|A|、|B|和|C|。
然后，我们计算每两个集合的并集的元素数量，即|A ∪ B|、|A ∪ C|和|B ∪ C|。
接下来，我们计算同时属于三个集合的元素数量，即|A ∩ B ∩ C|。
根据容斥原理公式，我们可以通过减去重叠部分来计算交集的数量：|A ∩ B ∩ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∪ B| - |A ∪ C| - |B ∪ C| + |A ∪ B ∪ C|这样，我们就可以得到同时属于A、B和C的元素数量。
容斥原理的推广容斥原理不仅适用于多个集合的情况，还可以推广到更复杂的情况。
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| Ai || Ai An |
i 1 i 1 n 1 n 1
n
n 1
容斥原理
| Ai | | An | | Ai An | | Ai | | An | | ( Ai An ) |
i 1 i 1 i 1 n 1 i 1 n 1
| A1 | 6!，A2 | 8!，A3 | 7! | | | A1 A2 | 5!，A1 A3 | 4!，A2 A3 | 6! | | | A1 A2 A3 | 3!
因此，有：
| A1 A2 A3 | 9!(6!8!7!) (5!4!6!) 3! 317658
容斥原理
证：(a)的证明。 设 ,则 x A B ， 即( x A B) 成立，亦即 ( x A x B)成立，等价于 x A x B 成立，亦即 x A x B 成立。说明 。 x A B x A B
B A x
容斥原理
举例
[例3] 求由a,b,c,d四个字母构成的
n位符号串中，a,b,c,d至少出现一次的 符号串数目。 [解]令A、B、C分别为n位符号串中 不出现a，b，c符号的集合。 由于n位符号串中每一位都可取a， b，c，d四种符号中的一个，故不允许 出现a的n位符号串的个数应是3n。即
举例
|A|=|B|=|C|=3n， |A∩B|=|A∩C|=|B∩C|=2n， |A∩B∩C|=1。 因为a，b，c至少出现一次的n 位符号串集合即为 A B C，得：
则 (a)A1 A2 ... An A1 A2 ... An
利用归纳法很容易证明定理的正确 性。
n
A ... 2A 1A nA ... 2A 1A)b(
容斥原理
最简单的计数问题是求有限集合A 和B的并的元素数目。显然有 [定理] |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| (1)
U A B A
B
容斥原理
[证明]若A∩B=φ，则 | A∪B |= |A| + |B|。因此， | A || A ( B B) | | ( A B) ( A B) | (Ⅰ) | A B | | A B | 同理，有 | B || B A | | B A | (Ⅱ)
即进修班的学生数为336人。
容斥原理
[定理] 设φ(n,k)是［1,n］的所有 k-子集的集合, 则
| A | (1)
i i 1 k 1 n n k 1 I ( n , k ) iI
A
i
(3)
[证] 对n用归纳法。n=2时，等式 成立。 假设对n - 1等式成立。对于n有
-|(A∩C)∪(B∩C)|
=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C||B∩C|+|A∩B∩C|
容斥原理
A
AC
A B
B
BC
C
C B A
容斥原理
一个进修班只有三门课程： 数学、物理、化学。已知修这三门课 的学生分别有170、130、120人；同时 修数学、物理两门课的学生45人；同 时修数学、化学的20人；同时修物理 化学的22人。同时修三门的3人。问这 个进修班共有多少学生？
iI
容斥原理
[定理]设A1,A2,...,An为有限集合，则
A A2 ... An 1
i 1 n
n
Ai Ai A j
i 1 j i
n
+ Ai A j Ak ...
i=1 j>i k>j
( 1) n 1 A A2 ... An 1
反之，若 x A B ，则 x A xB x A x B ( x A x B ) x A B x A B 即 x A B x A B (b)的证明和（a)类似.
容斥原理
DeMogan定理的推广：设 A1, A2 ,..., An是U的子集
| A B | | ( A ( B B)) ( B ( A A)) | | ( A B) ( A B) ( B A) ( B A) | | A B | | A B | | B A | (Ⅲ)
容斥原理
(Ⅲ)－(Ⅰ)－(Ⅱ) 得
(4)
这是(3)的另一种描述形式。可利用归纳法证明 之。另：请参看教科书中的解释性证明。
容斥原理
若集合A是集合S的子集，则显然 有： | A || S | | A | 即不属于A的元素个数等于集合的全体 减去属于A的元素的个数。 如果将Ai理解为集合S中满足性质 Pi的元素的集合，则 A1 A2 An 表示不满 足其中任何一种性质的子集，而集合 A1 A2 An 表示至少满足其中某个性 质的子集，故有（式中N=|S|）：
其次，
得：
| A1 A2 A3 | 1000 (200 166 125) (33 25 41) 8 600
1000 | A1 A2 | 33 30 1000 | A1 A3 | 25 40
举例
容斥原理
但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13。
容斥原理
容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。
[DeMorgan定理] 论域U，定义补集 A
为 A {x | x U且x A} ，有：
(a) A B A B (b) A B A B
(5)
容斥原理指的就是（4）和（5）式。
§6.2 举例
举例
[例1] 求1到1000的整数中不能被5、
6和8整除的整数的个数。 [解] 令P1、P2和P3分别表示能被5、6 和8整除的性质，Ai是对应整数组成的 子集。r 为不超过实数r的最大整数。整 数能被m和n整除就是可以被m和n的最 小公倍数整除。 题目所求即为| A1 A2 A3 | 。
(1) k 1
k 1
n 1
(1) k 1
k 1
n 1 n 1
Hale Waihona Puke n 1I ( n 1, k )
| Ai | | An |
iI
I ( n 1, k )
| ( Ai An ) |
iI
i n
| Ai | (1) k 1
容斥原理
[定理] [证明]
A B C A B C A B - A C B C A B C (2)
|A∪B∪C|=|(A∪B)∪C| =|A∪B|+|C|-|(A∪B)∩C| 由(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，有
容斥原理
|A∪B∪C|
=|A|+|B|+|C|-|A∩B|
举例
| A2 A3 A5 A7 | 120 (60 40 24 17) (20 12 8
8 5 3) (4 2 1 1) 27. 注意：此结果27还不是不超过120的素数 个数，因为这里排除了2，3，5，7这四个 数，又包含了1这个非素数。2，3，5，7 本身是素数。故所求的不超过120的素数 个数为：27+4-1=30。
k 1 k 2
n 1
I ( n 1, k ) iI
|A || A
iI
|
(1) k 1
k 2
I ( n 1, k 1)
| ( Ai An ) |
(1) k 1
k 1
n
I ( n 1, k )
容斥原理
| Ai |
| A B | | A| | B | | A B | | A B | | B A | (| A B | | A B |) (| B A | | B A |) | A B |
得
| A∪B |＝| A | + | B |－| A∩B |
举例
120 120 A3 A7 A 5， 5 A7 35 3， 21 120 A2 A3 A5 4， 2 3 5 120 A2 A3 A7 2， 2 3 7 120 A2 A5 A7 1， 2 5 7
第6章 容斥原理及应用
容斥原理可以视为加法原理的扩充， 它允许集合之间的元素重叠，是一种广 泛应用的计数公式。 §6.1 容斥原理
§6.2 举例 §6.3 具有重复的组合 §6.4 错位排列
容斥原理
§6.1 容斥原理
[例] 计算[1，20]范围的整数中， 是2或3的倍数的整数的个数。 [解] 2的倍数是：2，4，6，8，10， 12，14，16，18，20。共10个。 3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。共6个。
A B C 4 ( A B C ) ( A B
n
AC C B ) A B C 4 3 3 3 2 1
n n n
举例
[例4]求不超过120的素数个数。 [解]因112=121，故不超过120的合 数必然是2、3、5、7的倍数，而且不 超过120的合数的因子不可能都超过11。 设Ai为不超过120的数i的倍数集，i= 2，3，5，7，我们需要计算出 i
首先，
举例
1000 | A1 | 200 5 1000 | A2 | 166 6 1000 | A3 | 125 8
1000 | A2 A3 | 41 24
最后，