组合数学第6章[容斥原理]

U A B A
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B
容斥原理
[证明]若A∩B=φ，则 | A∪B |= |A| + |B|。因此， | A || A ( B B) | | ( A B) ( A B) | (Ⅰ) | A B | | A B | 同理，有 | B || B A | | B A | (Ⅱ)
A B C 4 ( A B C ) ( A B
n
AC C B ) A B C 4 3 3 3 2 1
n n n
举例
[例4]求不超过120的素数个数。 [解]因112=121，故不超过120的合 数必然是2、3、5、7的倍数，而且不 超过120的合数的因子不可能都超过11。 设Ai为不超过120的数i的倍数集，i= 2，3，5，7，我们需要计算出 i
即进修班的学生数为336人。
容斥原理
[定理] 设φ(n,k)是［1,n］的所有 k-子集的集合, 则
| A | (1)
i i 1 k 1 n n k 1 I ( n , k ) iI
A
i
(3)
[证] 对n用归纳法。n=2时，等式 成立。 假设对n - 1等式成立。对于n有
首先，
举例
1000 | A1 | 200 5 1000 | A2 | 166 6 1000 | A3 | 125 8
1000 | A2 A3 | 41 24
最后，
1000 | A1 A2 A3 | 8 120
举例
[例3] 求由a,b,c,d四个字母构成的
n位符号串中，a,b,c,d至少出现一次的 符号串数目。 [解]令A、B、C分别为n位符号串中 不出现a，b，c符号的集合。 由于n位符号串中每一位都可取a， b，c，d四种符号中的一个，故不允许 出现a的n位符号串的个数应是3n。即
举例
|A|=|B|=|C|=3n， |A∩B|=|A∩C|=|B∩C|=2n， |A∩B∩C|=1。 因为a，b，c至少出现一次的n 位符号串集合即为 A B C，得：
| A B | | ( A ( B B)) ( B ( A A)) | | ( A B) ( A B) ( B A) ( B A) | | A B | | A B | | B A | (Ⅲ)
容斥原理
(Ⅲ)－(Ⅰ)－(Ⅱ) 得
iI
容斥原理
[定理]设A1,A2,...,An为有限集合，则
A A2 ... An 1

i 1 n
n
Ai Ai A j
i 1 j i
n
+ Ai A j Ak ...
i=1 j>i k>j
( 1) n 1 A A2 ... An 1
容斥原理
证：(a)的证明。 设 ,则 x A B ， 即( x A B) 成立，亦即 ( x A x B)成立，等价于 x A x B 成立，亦即 x A x B 成立。说明 。 x A B x A B
B A x
容斥原理
| A1 | 6!，A2 | 8!，A3 | 7! | | | A1 A2 | 5!，A1 A3 | 4!，A2 A3 | 6! | | | A1 A2 A3 | 3!
因此，有：
| A1 A2 A3 | 9!(6!8!7!) (5!4!6!) 3! 317658
第6章 容斥原理及应用
容斥原理可以视为加法原理的扩充， 它允许集合之间的元素重叠，是一种广 泛应用的计数公式。 §6.1 容斥原理
§6.2 举例 §6.3 具有重复的组合 §6.4 错位排列
容斥原理
§6.1 容斥原理
[例] 计算[1，20]范围的整数中， 是2或3的倍数的整数的个数。 [解] 2的倍数是：2，4，6，8，10， 12，14，16，18，20。共10个。 3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。共6个。
容斥原理
但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13。
容斥原理
容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。
[DeMorgan定理] 论域U，定义补集 A
为 A {x | x U且x A} ，有：
(a) A B A B (b) A B A B
举例
120 120 A3 A7 A 5， 5 A7 35 3， 21 120 A2 A3 A5 4， 2 3 5 120 A2 A3 A7 2， 2 3 7 120 A2 A5 A7 1， 2 5 7
[例]
容斥原理
[解]令：M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
M 170, P 130, C 120, M P 45 M C 20, P C 22, M P C 3
容斥原理

M PC M P C M P M M C P C M P C 170 130 120 45 20 22 3 336
[例2] 字母M,A,T,H,I,S,F,U,N存在
多少种排列使单词MATH、IS和FUN 都不出现？ [解]令P1、P2和P3分别表示单词 MATH、IS和FUN出现的性质，Ai是 对应排列的子集。Ai∩Aj为同时两个 单词的排列子集。| A1 A2 A3 | 即为所求。
举例
| S | 9!
其次，
得：
| A1 A2 A3 | 1000 (200 166 125) (33 25 41) 8 600
1000 | A1 A2 | 33 30 1000 | A1 A3 | 25 40
举例
容斥原理
[推论]
A1 A2 ... An N A1 A2 ... An 1 An N Ai Ai Aj
i 1 i 1 j i n n
- Ai Aj Ak ...
i=1 j>i k>j n
n
(1) A1 A2 ... An
| A2 A3 A5 A7 |
举例
120 120 A2 A 60， 3 3 40， 2 120 120 A5 A 24， 7 7 17, 5 120 120 A2 A3 A 20， 2 A5 10 12, 23 120 120 A2 A7 A 8， 3 A5 15 8， 14
k 1 k 2
n 1
I ( n 1, k ) iI
|A || A

iI
|
(1) k 1
k 2
I ( n 1, k 1)
| ( Ai An ) |
(1) k 1
k 1
n
I ( n 1, k )

容斥原理
| Ai |
| A B | | A| | B | | A B | | A B | | B A | (| A B | | A B |) (| B A | | B A |) | A B |
得
| A∪B |＝| A | + | B |－| A∩B |
(4)
这是(3)的另一种描述形式。可利用归纳法证明 之。另：请参看教科书中的解释性证明。
容斥原理
若集合A是集合S的子集，则显然 有： | A || S | | A | 即不属于A的元素个数等于集合的全体 减去属于A的元素的个数。 如果将Ai理解为集合S中满足性质 Pi的元素的集合，则 A1 A2 An 表示不满 足其中任何一种性质的子集，而集合 A1 A2 An 表示至少满足其中某个性 质的子集，故有（式中N=|S|）：
则 (a)A1 A2 ... An A1 A2 ... An
利用归纳法很容易证明定理的正确 性。
n
A ... 2A 1A nA ... 2A 1A)b(
容斥原理
最简单的计数问题是求有限集合A 和B的并的元素数目。显然有 [定理] |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| (1)
(5)
容斥原理指的就是（4）和（5）式。
§6.2 举例
举例
[例1] 求1到1000的整数中不能被5、
6和8整除的整数的个数。 [解] 令P1、P2和P3分别表示能被5、6 和8整除的性质，Ai是对应整数组成的 子集。r 为不超过实数r的最大整数。整 数能被m和n整除就是可以被m和n的最 小公倍数整除。 题目所求即为| A1 A2 A3 | 。
反之，若 x A B ，则 x A xB x A x B ( x A x B ) x A B x A B 即 x A B x A B (b)的证明和（a)类似.
容斥原理
DeMogan定理的推广：设 A1, A2 ,..., An是U的子集
| Ai || Ai An |
i 1 i 1 n 1 n 1
n
n 1
容斥原理
| Ai | | An | | Ai An | | Ai | | An | | ( Ai An ) |
i 1 i 1 i 1 n 1 i 1 n 1
-|(A∩C)∪(B∩C)|
=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C||B∩C|+|A∩B∩C|
容斥原理
A
AC
A B
B
BC
C
C B A
容斥原理
一个进修班只有三门课程： 数学、物理、化学。已知修这三门课 的学生分别有170、130、120人；同时 修数学、物理两门课的学生45人；同 时修数学、化学的20人；同时修物理 化学的22人。同时修三门的3人。问这 个进修班共有多少学生？
容斥原理
[定理] [证明]
A B C A B C A B - A C B C A B C (2)
|A∪B∪C|=|(A∪B)∪C| =|A∪B|+|C|-|(A∪B)∩C| 由(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，有
容斥原理
|A∪B∪C|
=|A|+|B|+|C|-|A∩B|

(1) k 1
k 1
n 1
(1) k 1
k 1
n 1 n 1
n 1
I ( n 1, k )

| Ai | | An |
iI
I ( n 1, k )

| ( Ai An ) |
iI
i n
| Ai | (1) k 1
举例
| A2 A3 A5 A7 | 120 (60 40 24 17) (20 12 8
8 5 3) (4 2 1 1) 27. 注意：此结果27还不是不超过120的素数 个数，因为这里排除了2，3，5，7这四个 数，又包含了1这个非素数。2，3，5，7 本身是素数。故所求的不超过120的素数 个数为：27+4-1=30。