数学选修2-3 第一章第一节 课件上课讲义

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题型二 分步乘法计数原理的应用
【例2】 已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a， b∈M)表示平面上的点，问： (1)点P可表示平面上多少个不同的点？ (2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？ [思路探索] 完成“确定点P”这件事，需要依次确定点P的 横、纵坐标，应运用分步乘法计数原理求解． 解 (1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步 确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种 不同方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个 数为6×6＝36.
【变式1】 书架上层放有15本不同的数学书，中层放有16本不 同的语文书，下层放有14本不同的化学书，某人从中取出 一本书，有多少种不同的取法？ 解 要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：第1类 ，从上层取一本数学书有15种不同的取法；第2类，从中 层取一本语文书有16种不同方法；第3类，从下层取一本 化学书有14种不同方法．其中任何一种取法都能独立完成 取一本书这件事，故从中取一本书的方法种数为15＋16＋ 14＝45.
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【变式2】 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加 比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名 队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有 多少种？ 解 按出场位置顺序逐一安排．第一位置队员的安排有3 种方法；第二位置队员的安排有7种方法；第三位置队员 的安排有2种方法；第四位置队员的安排有6种方法；第五 位置队员的安排只有1种方法． 由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有 3×7×2×6×1＝252(种)．
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自学导引
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
做一件事，完成它有n类办 做一件事，完成它需要分成n
法，在第一类办法中有m1种 个步骤，做第一个步骤有m1 不同的方法，在第二类办法 种不同的方法，做第二个步
中有m2种不同的方法，…， 骤有m2种不同的方法，…， 在第n类办法中有mn种不同 做第n个步骤有mn种不同的方 的方法，那么完成这件事共 法，那么完成这件事共有N＝ 有N＝__m_1_＋__m__2＋__…__＋__m__n_种 _m__1_×__m_2_×__…__×__m_n__种不同的
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题型三 两个原理的综合应用
【例3】现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班 各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组． (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有 多少种不同的选法？
1.1 基本计数原理
【课标要求】
1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
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【核心扫描】
1．理解两个计数原理的内容及它们的区别．(难点) 2．两个计数原理的应用．(重点) 3．应用两个计数原理时，合理选择分类还是分步．(易混点)
各类办法之间是互斥 的、并列的、独立 的，即“分类互斥”
各步之间是关联的、独立 的，“关联”确保连续性， “独立”确保不重复，即 “分步互依”
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题型一 分类加法计数原理的应用
【例1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数 共有多少个？ [思路探索] 该问题与计数有关，完成这件事只要两位数的 个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此只要考虑十 位或个位上的数字情况进行分类即可．
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[规范解答] (1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7 种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三 类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学 生中选1人，有10种选法． 所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种) (4分) (2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班 学生中选一人任组长． 所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(8分)
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解 法一 根据题意将十位上的数字分别是1，2，3，4， 5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个 ． 由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有：8 ＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法二 根据题意将个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7 ，8，9的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位 数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个． 由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有，1 ＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
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(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步 确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定 b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法．由分步乘法计数 原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6. 规律方法 利用分步乘法计数原理解决问题应注意： (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序 的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步 骤都完成才算完成这件事．
不同的方法.
方法.
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想一想：两个原理中对“完成一件事”的要求有什么不同？ 提示 分类加法计数原理中，每一类方案中的每一种方法 都能“完成一件事”；分步乘法计数原理中，只有两步全部 完成，才算“完成一件事”．
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名师点睛
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系
分类加法计数原理
关键词
分类
分步乘法计数原理 分步
本质
每类方法都能独立地 每一步得到的只是中间结
完成这件事，它是独 果，任何一步都不能独立完
立的、一次性的且每 成这件事，缺少任何一步也
次得到的是最后结 不能完成这件事，只有各个
果，只需一种方法就 步骤都完成了，才能完成这
可完成这件事
件事
各类 (步) 的关系
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规律方法 分类加法计数原理要求每一类中的各种方法都 是相互独立的，且每一类方法中的每一种方法都可以独立 地完成这件事．在应用该原理解题时，首先要根据问题的 特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的 任何一种方法，必属于某Biblioteka Baidu类且仅属于某一类．
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