数学史概论 第八讲
《数学史教程》PPT课件
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挪威天才数学家 Niels Henrik Abel (1802—1829)
阿贝尔奖，2001年挪威政府宣布创设阿贝尔奖。以纪 念他诞生200周年。对数学领域中的杰出工作授以阿 贝尔奖。奖金为600万挪威克朗，现在约合80万美元。
• 阿贝尔《关于椭圆函数的研究》,椭圆函数论成为19世 纪数学研究中最有成效的研究课题.
数学史教程
－－李文林
第八章 代数学的新生--01 主 讲 人 孙利
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1
• 形如
(n≥5)的代数
方程能否通过只对方程的系数作加减,乘
除和求正整数次方根等运算的公式得到?
hLeabharlann 2• 意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰 地区的数学家卡尔丹(1501～1576年)问到了这 个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作 里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔丹公 式(或称卡当公式)。
法解出的原因．三次方程有一个二次辅助方程，其解为三次方程根的函
数，在根的置换下只有两个值；四次方程的辅助方程的解则在根的置换
下只有三个不同值，因而辅助方程为三次方程．拉格朗日称辅助方程的 解为原方程根的预解函数(是有理函数)．他继续寻找5次方程的预解函数， 希望这个函数是低于5次的方程的解，但没有成功．尽管如此，拉格朗 日的想法已蕴含着置换群概念，而且使预解(有理)函数值不变的置换构 成子群，子群的阶是原置换群阶的因子．因而拉格朗日是群论的先 驱．他的思想为后来的N．H．阿贝尔(Abel)和 E．伽罗瓦(Galois)采用 并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问 题．
数学史概论
《数学史概论》教学大纲课程编号：024ZX002课程名称(中文)：数学史概论课程名称(英文)：学分：3 总学时:54 实验学时：适应专业：数学与应用数学（选修）先修课程：数学分析，高等代数，概率统计一、课程的性质和任务数学史是师范本科数学专业必修的重要基础课程之一。
任何一门科学都有它自己的产生和发展的历史，数学史就是研究数学的发生、发展过程及其规律的一门学科。
它主要讨论的是数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。
数学是非常古老而又有着巨大发展潜力的科学，其历史的足迹也就更漫长而艰辛。
数学的每一阶段性成果都有着它的产生背景：为何提出，如何解决，如何进一步改进。
这其中体现的思想方法或思维过程对数学专业的学生，甚至是对教师来说，无论是知识的丰富，还是其创造能力的发挥都是重要的。
讲授本课程要贯彻“夯实基础，拓宽视野，培养能力，提高素质”的教育方针，依据“有用、有效、先进”的教改指导原则，对原教材要进行彻底清理，重点放在培养学生的实践能力和创新能力上，同时深刻理解本课程与初等数学的内在联系以指导中学数学的教学。
二、课程基本要求数学史研究的主要对象是历史上的数学成果和影响数学发展的各种因素，如“数学年代”；数学各分支内部发展规律；数学家列传；数学思想方法的历史考察；数学论文杂志和数学经典著作的述评。
该课程要培养学生辩证唯物主义观点，使学生了解数学思想的形成过程，并指导当前的工作，要培养学生学习兴趣，要充分发挥数学史的教育功能。
通过本课程的学习要求学生掌握数学史的分期阶段，对数学的发展各时期有一个大致的了解；了解数学的起源与早期发展；了解古希腊数学对世界数学发展产生的积极影响；要求学生基本掌握中国数学史的分期及各时期的主要数学家与成果，特别是西方数学传入后，中西数学合流产生的影响，较为详细地了解中国现代数学发展概要。
基本掌握外国数学史的分期及各时期的主要成果；要详细了解数学史上的三次危机，掌握代数学、分析学、几何学的主要发展历程以及在这些发展过程中近代哪些数学家起了决定性的作用；了解数学与社会发展、经济发展、文化发展的关系。
中外数学史第8章
4阶幻方
3.秦九韶一次同余组完整解法的程序的建立
(1)一次同余式组的解法
用现代的符号表示，设 ai (i 1,2, , n是) 两两互素的正整数，
M a1 a2 ， an则同余方程组
有唯一解，且
N r1(moda1)
N
r2
(
moda2
)
N rn (modan )
N
k1
M a1
r1
k2
M a2
在估算出 后a 作减法 A， a然n 后以 试C除n1an后1 得到 。“立b成
释锁’即由开方作法本原图所提供的诸
C
i n
(i
1,2,
,n
1)
来
确定诸廉，然后“以廉乘商方”（即C
i n
a
n
）ibi ，再“名实以除
之”，若x 为3位数或3位以上的数，则可依照固有程序再求
出第二位数后继续开方。
二、增乘开方法——类乘累加的机械化算法 其基本思想是：开方求得根的第一位得数后，求减根方程时，以 商得数自下而上随乘随加，每次低一位而止；商得次一位后，仍以随 乘随加减实，如是机械反复，直至求出最后的答案。例如“令有积一 百八十六万八百六十七尺，问为立方几何？”此题相当于求方x3程 1860867 的正根。按贾宪方法：(1)实上商置第一位得数；(2)以上商乘下法置廉， 乘廉为方，除实讫；(3)复以上商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入 廉；(4)其方一、廉二、下三退；(5)再于第一位商数之次，复商第二位 得数，以乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实讫；(6)复以次商乘下法 入廉，乘廉入方，又乘下法入廉；(7)其方一、廉二、下三退，如前； (8)上商第三位得数，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实适尽，得立 方一面之数。 很明显，求得方根第一位后，求下面每一位的步骤都相同， (3)(4)(5)是求第二位的步骤，(6)(7)(8)是求第三位的步骤，依此类推。 如果是开平方，则开方式无廉；如果是开四次方或四次双方以上，则 在方和下法间加廉，称一廉、二廉……，开方步骤与开立方一致。
《数学史概论》教案
《数学史概论》教案主讲人：林寿导言主讲人简介：林寿，宁德师专教授，漳州师院特聘教授，四川大学博士生导师，德国《数学文摘》和美国《数学评论》评论员。
1978.4~1980.2宁德师专数学科学习；1984.9~1987.7苏州大学数学系硕士研究生；1998.9~2000.5 浙江大学理学院攻读博士学位。
拓扑学方向的科研项目先后20次获得国家自然科学基金、国家优秀专著出版基金等的资助，研究课题涉及拓扑空间论、集合论拓扑、函数空间拓扑等，在国内外重要数学刊物上发表拓扑学论文90多篇，科学出版社出版著作3部。
1992年获国务院政府特殊津贴，1995年被授予福建省优秀专家，1997年获第五届中国青年科技奖、曾宪梓高等师范院校教师奖一等奖。
个人主页：/ls.asp一、数学史要学习什么？为什么要开设数学史的选修课？数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。
对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。
庞加莱（法，1854－1912年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
萨顿（美，(1884-1956年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。
数学史的分期：1、数学的起源与早期发展（公元前6世纪）；2、初等数学时期（公元前6世纪－16世纪）；3、近代数学时期（17世纪－18世纪）；4、现代数学时期（1820年至今）。
二、教学工作安排授课形式：讲解与自学相结合，分13讲。
第一讲：数学的起源与早期发展；第二讲：古代希腊数学；第三讲：中世纪的东西方数学I；第四讲：中世纪的东西方数学II；第五讲：文艺复兴时期的数学；第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立；第七讲：18世纪的数学：分析时代；第八讲：19世纪的代数；第九讲：19世纪的几何与分析I；第十讲：19世纪的几何与分析II；第十一讲：20世纪数学概观I；第十二讲：20世纪数学概观II；第十三讲：20世纪数学概观III；选讲：数学论文写作初步。
数学史概论》教案
《数学史概论》教案第一章：数学史的概述1.1 数学史的定义与意义1.2 数学发展的大致历程1.3 数学史的研究方法与资料来源1.4 数学史与数学教育的关联第二章：古代数学2.1 古代数学的背景与文化环境2.2 埃及数学与巴比伦数学2.3 古希腊数学：毕达哥拉斯学派与欧几里得2.4 中国古代数学：勾股定理与算盘第三章：中世纪数学3.1 印度数学：阿拉伯数字与零的概念3.2 伊斯兰数学家：阿尔·花拉子米与代数学的发展3.3 欧洲中世纪数学：数学符号与运算规则的改进3.4 中国宋元数学：天元术与代数学的进展第四章：文艺复兴与科学革命时期的数学4.1 欧洲文艺复兴时期的数学发展4.2 哥白尼、开普勒与牛顿的数学贡献4.3 解析几何的诞生：笛卡尔与费马4.4 微积分的创立：牛顿与莱布尼茨第五章：现代数学的发展5.1 17至18世纪数学：欧拉与拉格朗日5.2 19世纪数学：非欧几何与群论5.3 20世纪初数学：集合论、数理逻辑与泛函分析5.4 现代数学的多元化发展：计算机科学与数学的交叉第六章：中国的数学成就（续）6.1 明清时期的数学发展6.2 数学著作《数书九章》与《算法统宗》6.3 清朝的数学教育与科举中的数学考试6.4 中国数学对日本及朝鲜数学的影响第七章：欧洲启蒙时期的数学7.1 启蒙运动与数学的关系7.2 莱布尼茨与微积分的发展7.3 伯努利兄弟与概率论的兴起7.4 欧拉与数学分析的进一步发展第八章：19世纪的数学突破8.1 非欧几何的发现8.2 群论与域论的建立8.3 数学符号与逻辑的完善8.4 19世纪数学的其他重要进展第九章：20世纪的数学革命9.1 集合论与数理逻辑的进展9.2 泛函分析与谱理论的发展9.3 拓扑学与微分几何的新成就9.4 计算机科学与数学的关系第十章：数学史的教育意义与应用10.1 数学史在数学教育中的作用10.2 数学史如何激发学生对数学的兴趣10.3 数学史在数学课程设计中的应用10.4 数学史与跨学科研究的结合第十一章：数学与科技的互动11.1 计算机科学与数学的关系11.2 信息技术与数学软件的发展11.3 数学在生物科学、物理学等领域的应用11.4 数学模型与模拟在科学研究中的作用第十二章：数学哲学与数学思想12.1 数学哲学的基本问题12.2 形式主义、直觉主义与逻辑实证主义12.3 数学基础危机与集合论的困境12.4 数学思想在数学发展中的影响第十三章：数学与社会文化13.1 数学与文化的交融13.2 数学在民族志与人类学中的应用13.3 数学传播与教育的发展13.4 数学与社会公正、性别平等的关系第十四章：数学史的国际视角14.1 非洲、拉丁美洲数学史14.2 亚洲数学史：印度、日本与伊斯兰世界14.3 数学交流与比较数学史的研究14.4 数学史的国际会议与出版物第十五章：数学史的展望与挑战15.1 数学史的研究现状与趋势15.2 数字人文与数学史的结合15.3 跨学科研究在数学史中的应用15.4 数学史的未来挑战与机遇重点和难点解析本《数学史概论》教案涵盖了数学史的基本概念、古代数学、中世纪数学、文艺复兴与科学革命时期的数学、现代数学的发展、中国的数学成就、欧洲启蒙时期的数学、19世纪的数学突破、20世纪的数学革命、数学史的教育意义与应用、数学与科技的互动、数学哲学与数学思想、数学与社会文化、数学史的国际视角以及数学史的展望与挑战。
数学史概论
教学安排(12讲)
授课形式: 讲解与自学相结合 • 第一讲: 数学的起源与古希腊数学 • 第二讲: 中世纪的中国数学 • 第三讲: 中世纪的印度、阿拉伯和欧洲数学 • 第四讲: 解析几何与微积分的创立(17世纪) • 第五讲: 分析时代(18世纪) • 第六讲: 19世纪的代数与几何 • 第七讲: 19世纪的分析 • 第八讲：论文写作 • 第九讲: 20世纪数学概观 I • 第十讲: 20世纪数学概观 II • 第十一讲: 20世纪数学概观 III • 第十二讲: 20世纪的中国数学
考核要求
作业: 每一讲写一600字左右的读书笔记, 30% 记录学期总成绩 考查: 结合师专二年的学习, 写一篇学习数学思 想史课的小论文（2500-4000字）, 70%记录学期 总成绩 要求: 按发表论文格式,用A4纸单面打印,2006 年6月14日星期三交小论文
主要参考书
• [美]克莱因. 古今数学思想. 牛津大学出版社, 1972（中译本: 北京大学数 学系数学史翻译组译, 上海科学技术出版社, 1979~1981, 4卷本)
数学史概论 李文林
庞加莱语录
如果我们想要预见
数学的将来，适当的途
Байду номын сангаас
径是研究这门科学的历
Poincaré (法, 1854-1912年)
史和现状。
数学史的分期
一、数学的起源与早期发展(公元前6世纪) 二、初等数学时期(公元前6世纪-16世纪) 三、近代数学时期(17世纪-18世纪) 四、现代数学时期(1820年-现在)
▪ 中国科学院数学与系统科学研究院. 《数学译林》, 1981▪ 张奠宙. 20世纪数学经纬. 上海: 华东师范大学出版社, 2002 ▪ 程民德主编. 中国现代数学家传(5卷本). 南京: 江苏教育出版社, 1994-
《数学史概论》课件
80%
理解数学的本质
通过了解数学的发展历程，更好 地理解数学的本质和思想。
100%
启发创新思维
学习数学史有助于启发创新思维 ，为解决现实问题提供新的思路 和方法。
80%
培养综合素质
了解数学与其他学科的交叉融合 ，提高综合素质和跨学科应用能 力。
课程大纲概览
数学史的起源与早期发展
介绍数学的起源、古代文明中的数学成就以及中 世纪数学的发展。
数学教育的改革
随着时代的发展，数学教育的理念和方法也在不断改革和完善 ，以适应社会发展的需要，提高数学教育的质量和水平。
数学研究的国际化
随着全球化的发展，数学研究的国际化趋势也越来越明显，各国 数学家之间的交流和合作日益频繁，推动了数学的发展和进步。
05
数学的应用
数学在科学中的应用
数学在物理学中的应用
数学在环境科学中的应用
环境监测、气候变化研究、生态学等领域都离不开数学的支撑。数学模型和计算方法对 于环境科学研究至关重要。
06
结论
回顾课程重点
数学史的起源与早期发展
01
从古埃及、古希腊、古印度等文明的发展，探讨数学史的起源
和早期发展。
中世纪欧洲的数学成就
02
介绍阿拉伯数字的传入、文艺复兴时期的数学家以及几何学的
远古人类通过使用手指、石头或其他物品来计数，逐渐发 展出十进制、二进制等计数法。同时，他们还学会了使用 简单的工具进行长度、重量等度量。
图形与几何
在建筑、农业和天文等领域的需求推动下，人们开始研究 图形的性质和几何原理，如圆、三角形等的基本性质。
算术与代数
随着贸易和天文观测等活动的需要，算术和代数逐渐发展 起来，人们开始研究数的性质、运算规则以及方程的解法 。
(完整版)数学史
一、设置《数学史选讲》的必要性和作用随着数学的发展、时代的不断前进，数学在日常生活、社会和科学技术发展中的作用日益广泛，人们对数学和数学教育的认识越来越深入。
数学具有悠久的历史，它不仅是数学知识的积累，人类认识客观世界的有力工具，也是人类文化的重要组成部分。
《普通高中数学新课程标准》理念中指出：“数学课程应当适当地反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学的推动作用，数学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。
数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。
”如何实现《标准》的理念，使数学教育在人的全面发展过程中发挥应有的作用呢？如何渗透数学文化，体现人文精神呢？实现这一理念的最佳途径是在数学课程教学中融入数学史的内容。
在新的教材编排里，就着重数学文化这一方面进行了很多的改编。
增加了很多数学文化，数学史的内容。
数学发展的历史是一部内容丰富、思想深刻的历史。
通过生动、丰富的事例，使学生了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，作用：1. 帮助学生更好地理解数学。
数学史的学习使学生开阔数学视野，认识数学的科学价值，应用价值和文化价值，体会数学的美学意义，可以使学生更多了解数学的基本思想和方法，及其在解决生活和生产实际问题中的应用。
2. 激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
3. 培养生学形成锲而不舍的研究精神和科学态度4. 培养学生的创新精神5. 形成批判性的思想习惯和崇尚科学的理性精神二、数学史的主要体现形式数学史在高中数学课程中的安排可以采取多种形式，可以通过课外数学活动或小组活动的一项内容，也可以穿插渗透于课堂教学的各个环节结合教学内容进行。
但作为选修系列的一个专题，《数学史选讲》相对比较集中地将数学发展中一些能够体现重大数学思想发展又比较贴近高中学生水平与实际的选题汇串在一起学习。
数学史课件精华版
• 一般形式之一： ( x2 y 2 z 2 , x, y, z两两互素）
x 2ab, y a2 b2 , z a2 b2 , a b o,(a, b) 1, a, b一奇一偶
无理数的发现
• 毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”，这里 的数实际上是指正的有理数。传说，毕达哥拉 斯学派成员希帕苏斯（Hippasus，公元前470 年左右）发现了“不可公度比”的现象，并在 一次航海时公布了他的想法，结果被恐慌的毕 达哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。 • 项武义教授的一项研究认为，希帕苏斯首先发 现的是正五边形边长与对角线长不可公度。
• 从刻划记数，人类很自然地过渡到刻出 数的符号，并进而创造出第一批数字。 古代中国、古埃及、巴比伦等民族，均 在公元前5000年前后就有了记数符号。 由于古人用手指作为计数的参照物十分 方便，因而许多民族都不约而同地使用 了十进制计数法。当然也存在着少量的 其它进位制，如5进制、12进制、16进制、 20进制、60进制等。
纸草书
纸草书是研究古埃及数学的主要来源 • 莱因德纸草书：最初发现于埃及底比斯古都废 墟，1858年为苏格兰收藏家莱因德购得，现藏 于伦敦大英博物馆．又称阿姆士纸草书，阿姆 士在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸 草书，据他加的前言知，所抄录的是一部已经 流传了两个世纪的著作．含84个数学问题． • 莫斯科纸草书：又称戈列尼雪夫纸草书，1893 年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现存于 莫斯科博物馆．产生于公元前1850年前后，含 有25个数学问题．
• 古希腊数学表现出很强的理性精神，追 求哲学意义上的真理．在公元前3、4百 年的时候，他们的数学思想中就已经涉 及到了无限性、连续性等深刻的概念． • 经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知 识的萌芽时期以后，古希腊人把数学推 进到了一个崭新的时代．古希腊数学不 仅有十分辉煌的研究成果，而且提出了 数学的基本观点，建立数学理论的方法， 给以后的数学发展提供了坚实的基础．
《数学史概论》教案
《数学史概论》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）使学生了解数学发展的历史背景和主要成就；（2）培养学生对数学史的兴趣和好奇心；（3）提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：（1）通过查阅资料、讨论交流等方式，学会分析数学问题；（2）培养学生团队合作精神，提高研究性学习的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）使学生认识数学与人类文明发展的密切关系；（2）培养学生尊重和热爱数学的情感；（3）引导学生关注数学在社会、科技和经济发展中的应用。
二、教学内容1. 中国古代数学：（1）中国古代数学的发展历程；（2）古代数学家及他们的主要成就；（3）举例介绍《九章算术》和《周髀算经》等古代数学著作。
2. 欧洲古代数学：（1）古希腊数学的发展历程；（2）古希腊数学家及他们的主要成就；（3）举例介绍欧几里得《几何原本》等古代数学著作。
3. 印度数学：（1）印度数学的发展历程；（2）印度数学家及他们的主要成就；（3）举例介绍阿瑜博达等印度数学家的贡献。
4. 阿拉伯数学：（1）阿拉伯数学的发展历程；（2）阿拉伯数学家及他们的主要成就；（3）举例介绍花拉子米等阿拉伯数学家的贡献。
5. 近现代数学：（1）近现代数学的主要发展历程；（2）近现代数学家及他们的主要成就；（3）举例介绍牛顿、莱布尼茨、欧拉等近现代数学家的贡献。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）中国古代、欧洲古代、印度、阿拉伯以及近现代数学的主要发展历程；（2）各个时期著名数学家及他们的主要成就。
2. 教学难点：（1）近现代数学的发展历程及数学家的贡献；（2）如何引导学生理解数学发展与人类文明的密切关系。
四、教学方法1. 讲授法：讲解各个时期数学发展的历史背景、主要成就和著名数学家；2. 讨论法：组织学生分组讨论，分享对数学史的理解和感悟；3. 案例分析法：举例分析具体数学家的贡献和影响。
五、教学评价1. 平时成绩：考查学生课堂参与度、讨论交流和作业完成情况；2. 期中考试：测试学生对数学史知识的掌握和理解；3. 课程论文：引导学生深入研究某一时期或数学家的贡献，培养学生的研究能力。
数学史概论
CH8概率论的产生与发展
继拉普拉斯之后，概率论的中心研究课题是推广和改进 伯努力大数定律及中心极限定理。在这方面，俄国数学家契 比雪夫作出了突出贡献。他是彼得堡学派的创始人（19世纪 下半叶－20世纪初）。代表人物：契比雪夫、其学生马尔可 夫和李亚普诺夫。契比雪夫引入了契比雪夫不等式，并由此 证明了大数定律和中心极限定理。后来，他的学生马尔可夫 又提出了马尔可夫链，又由柯尔莫戈罗夫对这一概念进行了 发展，从而奠定了马尔可夫过程的理论基础。
CH8概率论的产生与发展
梅累的这个赌金公正分配问题却真把帕斯卡给难住了。 虽然他经过长时间的思考，但还是无法解决这个问题。
1654年，帕斯卡不得已就写信给他的好朋友费马，请费 马解决这个问题。在7月－10月中，他们通了7封信，全部有 关赌博问题。在与费马的讨论中，帕斯卡运用组合知识解决了 这一问题。帕斯卡和费马认为，梅累的分法是对的。后来，帕 斯卡又研究了更复杂的在多个赌徒间分配赌注的问题。
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CH8概率论的产生与发展
（3）系统整理阶段
19世纪初，概率论的研究开始朝着系统化的方向发展， 其中拉普拉斯、泊松、高斯、契比雪夫和马尔科夫（俄）等 人作出了较大的贡献。 拉普拉斯在总结前人工作的基础上，写了《分析概率论》 一书，被誉为古典概率论系统理论的经典之作。在这本书中， 拉普拉斯首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引 入了有力的分析工具，如差分方程、母函数等，从而实现了 概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡。由他和高斯建 立的关于正态分布及最小二乘法的理论，对于概率论研究天 文观测和物理观测的结果起了重大作用。 上页
数学史概论-第八讲
x1
P3
x4
x2 x3
x3 x1
x4
x2
共有24个置换, 它们的全体构成的集合P, 伽罗瓦称 之为“群”,他同时考虑方程的系数的有理表达式形成的 集合F(今天称为基本域,是出现最早的域).
考虑P的一个子集G, 其中的每个置换使方程的以F 的元素为系数的所有代数关系保持不变. 伽罗瓦称G为 “方程的群”, 即今天所谓的伽罗瓦群, 并指出它是解决 全部方程根式可解问题的关键.
个向量的向量积是一个向量,它的方向垂
直于和所决定的平面,且符合右手法则.
J Willard Gibbs
有趣的是,魏尔斯特拉斯在1861年证明：有有限个基元素的实
系数或复系数的线性结合代数,如果要服从乘积定律和乘法交换律
, 就只有实数代数和复数代数.这才使人们了解到为什么寻求“三
维 复数”的努力是徒劳的.
第八讲：代数学的新生
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1.数学悲观主义的来由
2.数学发展的动力
从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密 切相关，对自然的 探索是数学研究最丰富的源泉。但是，数 学的发展对于现实世界又表现出相对 的独立性。一种数学理 论一经建立，便可基于逻辑思维向前推进，并由此导致 新理 论与新思想的产生。因此，内在的逻辑需要也是数学进步的
4. 格拉斯曼(《扩张论》1844 )
在哈密顿建立四元数的同时,一位德 国数学家格拉斯曼也在试图对复数作出推 广,与哈密顿相比,格拉斯曼的推广更为大 胆.他实际上涉及的是n 维向量空间.他的 “扩张的量”就是一种有n 个分量的超复数. 格拉斯曼定义它们的加减运算以及乘法运 算,对于乘法运算他定义了两种,一种称为 内积,另一种称为外积.格拉斯曼还讨论了 超复数之间的混合积.在1855年的一篇文 章中,格拉斯曼对超复数给出了16种不同 类型的乘积.他对这些乘积作了几何解释, 并给出了它们在力学、磁学和结晶学等方 面的应用.
数学史概论第八讲：代数学的新生
8.1.2 阿贝尔与一般五次方程的不可解性
迎接这一挑战的是在拉格朗日的文章发表过后半个 多世纪，来自挪威的一位年青人． 1824年，年仅22岁的 数学家阿贝尔自费出版了一本小册子《论代数方程，证 明一般五次方程的不可解性》，在其中严格证明了以下 事实：
如果方程的次数 n 5 ，并且系数 a1, a2 ,, an 看成是字母， 那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根．
进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成 的“子群”(最大正规子群)。
的全部有理系数有理分 式的集合．这个集合，现在叫方程的“基本域”，并
, Q为有理数域．
设法找到一个方程的根的以 F 的元素为系数的 代数关系式,且对“子群” 中的一切置换保持不 变．由最大正规子群的性质判断方程的可解性 我们以四次方程为例来说明这个重要的概念．
x4 x3
E4
x1 x3
x2 x4
x3 x1
x4 x2
E6
x1 x3
x2 x4
x3 x2
x4 x1
E5
x1 x4
x2 x3
x3 x1
x4 x24
E7
x1 x4
x2 x3
x3 x2
x4 x1
都能使上述两个关系在 F 中保持成立，并且这8个
置换是24个置换中，使根之间在域 F 中的 代数关 系 x1 x2 0, x3 x4 0. 都保持不变的仅有的置换． 这8个置换就是方程在 域 F 中的群，即伽罗瓦群．
• 阿贝尔在中学最后两年时间里，如何求解五次方程问 题吸引着他．在研读拉格朗日、高斯关于方程论著作 的基础上，按高斯对二项方程的处理方法，着手探讨 了高次方程的可解性问题．最初，他自认为解五次方 程已获成功．洪堡与奥斯陆大学教授汉森丁 (Hansteen)两人都看不出所以然，又找不出论证中的 破绽．后来，只好把这篇文章寄给丹麦数学家德根 (Degen)，请求他帮助在丹麦科学院出版．
《数学史概论》教案
《数学史概论》教案第一章：数学史的定义与意义1.1 数学史的定义1.2 数学史的意义1.3 数学史的研究方法第二章：古代数学的发展2.1 古代数学的起源2.2 古埃及和巴比伦的数学2.3 古希腊的数学2.4 中国古代数学第三章：中世纪数学的进展3.1 印度数学的发展3.2 阿拉伯数学的影响3.3 欧洲中世纪数学的发展第四章：现代数学的崛起4.1 文艺复兴时期的数学4.2 解析几何的诞生4.3 微积分的创立4.4 现代数学的发展趋势第五章：数学家的贡献与影响5.1 毕达哥拉斯5.2 欧几里得5.3 阿基米德5.4 牛顿和莱布尼茨5.5 希尔伯特和康托尔第六章：古代中国的数学成就6.1 《九章算术》与古代中国数学6.2 勾股定理与古代中国的几何学6.3 代数学的发展与方程求解第七章：印度数学的辉煌7.1 印度数学的早期发展7.2 阿拉伯数字的传入与数学运算7.3 代数与三角学的进步第八章：阿拉伯数学的贡献8.1 阿拉伯数学家与数学著作8.2 代数与几何学的发展8.3 阿拉伯数学对欧洲的影响第九章：欧洲文艺复兴至启蒙时期的数学9.1 文艺复兴时期的数学发展9.2 笛卡尔与解析几何9.3 帕斯卡与概率论的萌芽9.4 牛顿与莱布尼茨的数学成就第十章：19世纪至20世纪初的数学革命10.1 群论与域论的建立10.2 非欧几何的发展10.3 集合论与数学基础的探讨10.4 现代数学分析的进展第十一章：20世纪初至中期的数学突破11.1 布尔巴基学派与抽象代数学11.2 希尔伯特的23个问题11.3 哥德尔的不完备性定理11.4 量子力学与数学的联系第十二章：计算机科学与数学12.1 计算机科学的诞生12.2 算法与程序设计12.3 信息论与编码理论12.4 计算数学的发展第十三章：数学在自然科学中的应用13.1 数学在物理学中的应用13.2 数学在生物学中的应用13.3 数学在化学中的应用13.4 数学在地球科学中的应用第十四章：数学哲学与数学教育14.1 数学哲学的基本问题14.2 数学哲学的主要流派14.3 数学教育的历史与发展14.4 数学教育的现状与挑战第十五章：数学史的启示与展望15.1 数学史对我们的启示15.2 数学未来的发展趋势15.3 数学与人类文明的关系15.4 数学家的故事与精神重点和难点解析本《数学史概论》教案全面覆盖了数学发展的各个阶段，从古代数学到现代数学，从数学理论的发展到数学在自然科学及哲学教育中的应用，再到数学未来的发展趋势，均为重点内容。
数学史第八节课
30
德国数学家莱布尼茨(G．W．Leibniz， 1646---1716)发明二进制后不久，见到了传 教士白晋(J．Bouvet，1656---1730)从中国 寄去的八卦．莱布尼茨认为，八卦中蕴含着 二进制思想，因此惊叹不已．实际上，若把 “--”和“—”两种卦爻用1和0代替，八卦就 可表示为 000(坤) 001(震) 010(坎) 011(兑) 100(艮) 101(离) 110(巽) 111(乾)
中外数学发展史
第八讲 中国数学
--之“中国数学的起源与早期发展”
上海市市东中学 杨锋
1
中国数学的起源与早期发展
一、中国数学的起源
数概念的产生是人类认识史上的一次飞跃， 它标志着数学的起源．从出土文物可以看 到，在中国，发生这种飞跃的时间不晚于 7000年前．例如，这一时期河姆渡(今浙江 余姚境内)遗址中的骨耜都有两个孔，许多 陶器有三足，一些陶钵底上刻着四叶纹， 这是形成“二、三、四”等数的概念的依 2 据．
11
2．记数和运算
商代数学中，十进制已相当完善了，这是中 国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有 重要意义．著名的英国科学史家李约瑟 (J．Needham，1900---1995)说：“如果没 有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在 这个统一化的世界了．”
12
对甲骨文的研究表明，商朝人已经会做自然 数的加、减法和简单乘法了，遗憾的是不知 道他们的具体算法，因为甲骨文记录的只是 运算结果，而没有运算过程．
24
据战国时成书的《庄子》记载，惠施曾提出 “至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小 一”的观点．其中“大一”、“小一”可理 解为无穷大，无穷小．这段话的意思是：大 到没有外部，称为无穷大；小到没有内部， 称为无穷小．
数学发展史概论
数学发展史概论海城市高级中学校本课程教材(初稿)高一数学组: 刘海波李晓峰目录第一章数学的产生与发展第二节数学的开始————————————————————————3 第一节三个发展时期———————————————————————17 第二章数学家史话第一节毕达哥拉斯和他的学派———————————————————49 第二节数学物理双料大师——牛顿—————————————————53 第三节多才多艺的莱布尼茨————————————————————62 第四节几何学里的哥白尼——罗巴切夫斯基—————————————70 第五节最勤奋的数学家——欧拉——————————————————76 第六节伟大的数学家高斯—————————————————————78 第七节数学成绩不及格的数学家——————————————————82 第八节数学奇才──伽罗华————————————————————86 第九节希尔伯特—————————————————————————87 第十节数学奇才、计算机之父──冯·诺依曼————————————89 第十一节自学成才的数学家——华罗庚———————————————92 第十二节兴趣是最好的老师——陈景润———————————————98 第十三节两位卓越的女数学家———————————————————101 第三章数学的发展过程中的转折点第一节数学历史上的三次危机———————————————————104 第二节近代世界数学中心的转移——————————————————106第一章数学的产生与发展第一节数学的开始在一百万年前(也可能在两三百万年前)，地球上出现了最早的人类。
原始的人类和大自然艰难地搏斗着。
在长期的劳动中，他们不断进步，慢慢地产生了“数”的思想。
他们找到了食物，会想到这是“有”；找不到食物，就会想到“无”。
要是找到大量的食物，他们认为是“多”；得到的食物不够吃，他们认为这是“少”。
数学史演讲课件_第八讲
17世纪的数论 17世纪的数论
费马 律师 解析几何 微积分 概率论 数论
“业余数学家之王”－费马 业余数学家之王” 业余数学家之王 （法，1601－1665） 1601－1665）
费马小定理: 费马小定理 1640年10月18日 年 月 日 如果 p 是素数 , a 与 p 互素 , 则 p | a p - a 费马大定理
代数方程根式解
阿 贝 尔 铜 像
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
1898年挪威数学家李(1842-1899) 提议设立阿贝尔奖。 2001年，挪威政府拨款2亿挪威克 郎(约合人民币2.73亿元)设立阿贝尔 纪念基金，在阿贝尔诞辰200周年之际 设立阿贝尔奖, 从2003年起每年颁发 一次。
阿贝尔(挪, 2002)
γ = lim (1 +
n→∞
1 1 1 + + L - ln n ) 2 3 n
数系扩张
复数
1747年达朗贝尔( 1717-1783)断言复数表示为 断言复数表示为a+ib 1747年达朗贝尔(法, 1717-1783)断言复数表示为a+ib 年达朗贝尔 1777年欧拉(瑞, 1701-1783)支持用i表示虚数单位 支持用i 1777年欧拉( 1701-1783)支持用 年欧拉 1797年韦塞尔( 1745-1818)、1806年阿 1797年韦塞尔(挪, 1745-1818)、1806年阿 年韦塞尔 甘德( 1768-1822)讨论了复数几何表示 甘德(瑞, 1768-1822)讨论了复数几何表示 1811，1831年高斯( 1777-1855)讨论了 1811，1831年高斯(德, 1777-1855)讨论了 年高斯 复数几何表示
高斯(联邦德国, 1955)
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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以四次方程的四个根 x1, x2, x3, x4 为例, 在包含这些 xi的任何表
达式中交换 x1和 x2 就是一个置换, 用
x1
P1
x2
x2 x1
x3 x3
x4
x4
来表示. 另一个置换用
x1
P2
x3
x2 x4
x3 x1
x4
x2
表示. 第一个置换后再实行第二个置换, 等价于实行第三个置换
x3 x1
Hale Waihona Puke x4 x2
E7
x1
x 4
x2 x3
x3 x2
x4 x1
都能使上述两个关系在 F 中保持成立，并且这8个置换是24个 置换中，使根之间在域 F 中的全部代数关系都保持不变的仅有 的置换。这8个置换就是方程在域 F 中的群，即伽罗瓦群。
需要指出，保持根的代数关系不变，就意味着在此关系中根 的地位是对称的。因此，伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性。 伽罗瓦指出，方程的群(即伽罗瓦群)与它是否根式可解存在着 本质联系，对方程的群的认识，是解决全部根式可解问题的关 键。伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件(即方程 的 群是可解群)时，方程才是根式可解的，也就是他找到了方 程根 式可解的充分必要条件。
4. 格拉斯曼(《扩张论》1844 )
在哈密顿建立四元数的同时,一位德 国数学家格拉斯曼也在试图对复数作出推 广,与哈密顿相比,格拉斯曼的推广更为大 胆.他实际上涉及的是n 维向量空间.他的 “扩张的量”就是一种有n 个分量的超复数. 格拉斯曼定义它们的加减运算以及乘法运 算,对于乘法运算他定义了两种,一种称为 内积,另一种称为外积.格拉斯曼还讨论了 超复数之间的混合积.在1855年的一篇文 章中,格拉斯曼对超复数给出了16种不同 类型的乘积.他对这些乘积作了几何解释, 并给出了它们在力学、磁学和结晶学等方 面的应用.
第一次论文被柯西丢失,第二次饮负 责审稿的科学院秘书傅立叶病逝而下落 不明,第三次则被泊松认为“不可理解” 而打入冷宫.
伽罗瓦的思想是将一个n次方程
xn + a1xn-1 + a2xn-2 +… + an = 0 的n个根x1、x2 、…、xn作为一个整体来考察, 并研究它们之间 的排列或称“置换”.
遗书刊于<百科评论>
1846 刘维尔杂志发表伽罗瓦论文
1849—1854 凯莱: 非置换群(走向抽象群)
1868—1869 若尔当: 无限群
1872
克莱茵: 无限变换群
1874—1883 S.李: 无限连续变换群(李群)
1880’
一般抽象群概念
抽象群
一个集合A, 及其元素间的一个二元运算(·) 满足如下 性质:
2
p p 2 4q
x4
2
这些根的系数在F中的下列两个关系成立：
x1 +x2 = 0 ,
x3 +x4 = 0
可以验证，在方程根的所有24个可能置换中，下面8个
置换
E x1 x 2 x 3 x 4 x1 x2 x3 x4
E2
x1 x1
x2 x2
x3 x4
E.伽罗瓦(1811—1832)
伽罗瓦出生在巴黎附近一个小镇的 镇长家庭.但当时正是法国大革命的动 荡时代,在伽罗瓦18岁时,他的父亲因与 天主教保守势力冲突而自杀.从此各种 不幸接踵而来.在父亲去世一个月后,伽 罗瓦报考向往已久的巴理工科综合大学 遭遇失败.后来伽罗瓦靠近了巴黎高等 师范学校,但在第二年因参加反对波旁 王朝的“七月革命”而被校方开除,以后 又因参加政治运动被捕入狱.1832年5月 因爱情纠葛参加一次决斗,在决斗中伽 罗瓦身亡,当时他还不足21岁.
条件
N.H.阿贝尔(1802--1829)
生于芬岛一个牧师家庭.13岁入奥斯陆一 所教会学校学习.1821年在一些教授资助下, 阿贝尔进入奥斯陆大学.1824年,他解决了 用根式求解五次方程的不可能性问题.1825 年,他到达拍林,在那里结识了克雷尔,并成 为好友.1826年阿贝尔来到巴黎,遇见了勒 让德和柯西等著名数学家.他写了一篇关于 椭圆积分的论文,提交给法国科学院,不幸 未得到重视,他只好又回到柏林.克雷尔为 他谋求教授职位,但没有成功.1827年阿贝 尔贫困交迫地回到了挪威,并靠作家庭教师 维持生计.由于过渡疲劳和营养不良,阿贝 尔在旅途上感染了肺结核.一年以后,不到 27岁的阿贝尔病逝.就在阿贝尔去世的第二 天,克雷尔来信通知他被柏林大学任命为教 授.此后荣誉和褒奖接踵而来,1830年他和 C.G.J.雅可比共同获得法国科学院大奖.
研究了更广的一类代数方程, 称交换群为阿贝尔群; 研究 过无穷级数,得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定 理; 这些工作使他成为分析学严格化的推动者. 是公认的椭圆 函数论的奠基者, 发现了椭圆函数的加法定理、双周期性、并 引进了椭圆积分的反演. 为椭圆函数论的研究开拓了道路,并 深刻地影响着其他数学分支.
个向量的向量积是一个向量,它的方向垂
直于和所决定的平面,且符合右手法则.
J Willard Gibbs
有趣的是,魏尔斯特拉斯在1861年证明：有有限个基元素的实
第八讲：代数学的新生
1.数学悲观主义的来由
2.数学发展的动力
从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密 切相关，对自然的 探索是数学研究最丰富的源泉。但是，数 学的发展对于现实世界又表现出相对 的独立性。一种数学理 论一经建立，便可基于逻辑思维向前推进，并由此导致 新理 论与新思想的产生。因此，内在的逻辑需要也是数学进步的
k i = -ik = j 哈密顿（1805--1865）
两个四元数相乘可以根据上面的规则仿照复数乘 法那样去做。
四元数也是历史上第一次构造的不满足乘法交换 律的数系。四元数本身虽然没有广泛的应用，但它 对于代数学的发展来说是革命性的。哈密顿的做法 启示了数学家们，他们从此可以更加自由地构造新 的数系，通过减弱、放弃或替换普通代数中的不同 定律和公理，就为众多代数系的研究开辟了道路。
麦克斯韦
5. 吉布斯与亥维赛
独立于四元数的三维向量代数和向量
分析,是在19世纪80年代初由吉布斯和亥
维赛各自独立地创立的.根据他们的思想,
一个向量只是四元数的向量部分,但独立
于任何四元数.他们定义了两个向量的加
减运算,对于乘法他们也定义了两种,一
种是数量积,用“ ·”表示,也称为“点乘”,
它不满足封闭性.另一种就是向量积,两
伽罗瓦攻克的难题是三百年前的老问题,但他的思想却远远 超出了他的时代. 他的工作可以看成是近世代数的发端. 这不只 是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题, 更重要的是群概 念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革.
方程根式可解 方程的群是可解群
柯西, 傅里叶, 泊松
1832.5 伽罗瓦死于决斗
(b)两个复数相加的结果对应于平行四边
形法则相加的向量和。
(c) 数学家们发现无法在三维情况下找到
复数的一个类似物。
O
a x
3. 哈密顿对复数的推广
四元数(1843,哈密顿)
形如 a + bi+ c j +d k 其中a b c d 为实数, i, j, k满 足
i2 =j2 = k2 = -1， i j = -ji = k， j k = -kj = i，
在抽象的群概念中，其元素本身的具体内容已无 关紧要，关键是联系这些元素的运算关系。这样建 立起来的一般群论也就成了描写其他各种数学和物 理现象的对称性质的普遍工具。在19世纪末，群论 已被应用于晶体结构的研究，在现代物理中，群论 更成为研究基本粒子、量子力学的有力武器。
代数学由于群的概念的引进和发展而获得新生， 它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种 抽象对象的运算关系，从而为20世纪代数结构观念 的产生奠定了基础。
设方程
x4 + px2 +q = 0 ，
其中p, q 是独立的, 令F是p, q 的有理表达式形成的
域(基本域),
如
3p 2 4q q2 7p
就是这样一个表达式.
这个方程的四个根：
p p2 4q
x1
2
p p 2 4q
x3
2
p p2 4q
x2
阿贝尔
1824年,年仅22岁的阿贝尔自费出版了一本小册子《论代 数方程,证明一般无此方程的不可解性》,其中,阿贝尔严格证 明了以下事实: 如果方程的次数 n 5 ,并且系数 a1 , a2 , , an 看成是字母, 那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是 方程的解. 这样, 阿贝尔就解决了五次和高于五次的一半方程 的求解问题. 另外, 阿贝尔还考虑了一些特殊的能用根式求解 的方程, 其中包含“域”这一重要的近世代数概念, 但没有给出 “域”这一术语.
二. 四元数与超复数 y
1 19世纪初复数的几何表示 四元数是推广平面复数系结构的产物。
b
18末19世纪初，韦塞尔、阿尔冈和高斯 等人给出了复数 a + bi (a，b 为实数)的几 何表示，使得复数有了合法地位。之后， 数学家们认识到复数能用来表示和研究平 O 面上的向量。
2 空间向量及其运算
(a) 向量的合成服从平行四边形法则。
x4 x3
x1
E4
x
3
x2 x4
x3 x1
x4
x2
E6
x1 x 3
x2 x4
x3 x2
x4 x1
x1
E1
x2