湘教版八年级数学下册1.4角平分线的性质

结束
动脑筋
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上吗？
如图1-27，点P 在∠AOB 的内部， 作PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为点D，E. 若PD= PE， 那么点P 在∠AOB的平分线上吗？
图1-27
如图1-27，过点O，P作射线OC.
∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
你能证明吗？
图1-26
我们来证明这பைடு நூலகம்结论.
∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在△PDO和△PEO中， ∵ ∠PDO =∠PEO，
∠DOP =∠EOP， OP = OP，
∴ △PDO≌△PEO.
∴ PD = PE.
图1-26
结论
由此得到角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.
∴ ∠AOC =∠BOC.
图1-27
∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
结论
由此得到角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
例1 如图1-28，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B在∠ADC的平分线上； （2）求证：BD是∠ABC的平分线.
图1-28
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
证明： 在△ABC中，
∵ ∠1=∠2， ∴ BA = BC. 又 BA⊥AD， BC⊥CD， ∴ 点B在∠ADC的平分线上.
图1-28
（2）求证：BD是∠ABC的平分线. 证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵ BA = BC， BD = BD， ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD. ∴ ∠ABD =∠CBD. ∴ BD是∠ABC的平分线.
1.“斜边、直角边定理” 是判定两个直角三角形全等所 独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条 件是两个直角三角形.
2. 要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判 定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理 及其逆定理等，它们都是互为逆命题.
3. 勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想. 勾股定 理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数方 法来研究几何问题，体现了由数到形.
图1-29
可以添加条件MN =ME （或MN =MF）. ∵ ME⊥CD， MN⊥CA， ∴ M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线. 同理可得AM是∠CAB的平分线.
图1-29
例2 如图1-30，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取 一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系.
本课节内容 1.4
角平分线的性质
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条 射线，它把这个角分成两个相等的角.
探究
如图1-26，在∠AOB的平分线OC上任取一点P， 作PD⊥OA ， PE⊥OB ， 垂足分别为点D， E， 试问PD与PE相等吗？
图1-26
将∠AOB 沿OC 对折，我发现PD 与PE 重合， 即PD与PE相等.
解 ∵ AP是∠DAC的平分线，
又PE⊥DB， PF⊥AC，
∴ PE=PF. 在△EBP中，BE+PE>PB， ∴ BE+PF>PB.
图1-30
动脑筋
如图1-31，你能在△ABC 中找到一点P，使其 到三边的距离相等吗？
图1-31
因为角平分线上的点到角的 两边的距离相等，所以只要作 △ABC 任意两角（例如∠A与∠B） 的平分线，其交点P 即为所求作的 点. 点P也在∠C 的平分线上，如图1-32.
直角三角形两个锐角互余
性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
直
勾股定理
角
有一个角是直角的三角形是直角三角形
三
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
角
形
勾股定理的逆定理
全等判定方法
SAS ASA AAS SSS
HL
角平分线
角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
∴ CD = CM，CE = CM.
M
在Rt△ACD和Rt△ACM中，
∵ CM = CD，AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM.
∴ AD = AM.
同理， BE = BM.
又 AB=AM+BM，
∴ AB=AD+BE.
小结与复习
1. 直角三角形的两个锐角有什么关系？ 2. 直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？ 3. 请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理. 4. 判断两个直角三角形全等的方法有哪些？ 5. 角平分线有哪些性质？
证明 ∵ 点D在∠BAC的平分线上， DE⊥AB，DF⊥AC ，
∴ DE = DF. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∵ BD = CD， DE = DF，
∴ Rt△BED≌Rt△CFD.
∴ ∠B =∠C. ∴ AB = AC.
动脑筋
如图1-29， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M 是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM 分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中， ∵ OE= OE， ED = EC， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC.
2. 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE.
证明 作CM⊥AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
图1-32
练习
1. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于 点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.
证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ，
∴ ED =EC. ∴ △EDC 是个等腰三角形.
∴ ∠ECD=∠EDC.
图1-28
练习
1. 如图，在直线MN上求作一点P ，使点P到∠AOB两边 的距离相等.
解 作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所 求作的点P.（提示：用尺规作图）
P
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，BD=CD. 求证：AB=AC.