金融机构宏观套期保值的违约损失率模型_久期模型的一个扩展

・金融证券・

　金融机构宏观套期保值的违约损失率模型:

　久期模型的一个扩展　①

Default Probabilit y Model of Macrohedging for Financial

Instit utions:an Extension of Duration Model

钱谱丰　马　勇

QIAN Pu2feng　MA　Y ong

(中国人民大学财政金融学院　北京　100872)

[摘　要]传统的久期模型实现风险免疫的前提条件是利率变动幅度非常小。当利率变化较大幅度时,久期匹配不足以实现良好免疫,此时凸性对价格变动有正的影响。此外,传统的久期和凸性分析都没有考虑违约风险的存在,这将导致免疫失败。现代金融机构的宏观套期保值必须在考虑违约风险的基础上将久期和凸性分析加以结合,以实现良好的免疫。

Abstract:The p rerequisite of immunization for financial instit utions using duration model is t hat t he change of interest rate is small1When interest rate changes are big,matching duratio n cannot achieve per2 fect immunization and convexity will have a po sitive influence o n p rice changes1In addition,t he traditional duration and convexity approach simply ignores default p robability,which will lead to t he failure of immu2 nization1In order to achieve perfect immunization,modern financial instit utions must consider bot h dura2 tion and co nvexity based on t he fact t hat default probability has already been taken into consideration1 [关键词]久期　凸性　免疫　违约风险

K ey w ords:Duration　Convexity　Immunization　Default risk

[中图分类号]F83019　[文献标识码]A　[文章编号]1000-1549(2007)08-0026-05

长期以来,为了应对利率变动的冲击,金融机构尤其是债券管理者发展了各种利率风险免疫策略,如重新定价模型(Rep ricing Model)、成熟期模型(Mat urity Model)和久期模型(Duration Model)。在重新定价模型中,金融工具的价值是以账面价值为基础的,记录的是证券购买、贷款发放或债务出售时的历史价值。重新定价模型只考察利息收入和利息支出,而忽略利率变化对资产和负债市场价值的影响。因此,即使重新定价缺口为零,投资组合也不能实现风险免疫,这是重新定价模型的一个重大缺陷。针对此,风险管理者提出了成熟期模型,即通过盯市的方法衡量资产和负债的价值,并以此作为计价基础来衡量投资组合(或资产负债表)的市场风险的一种方法。成熟期模型虽然采用了盯市方法,但仍然不能实现完全的投资组合风险免疫,因为成熟期模型考虑的只是某一项资产或负债的成熟期,而不是平均持有期限。为了克服这一缺陷,风险管理者又提出了久期模型,即用资产或负债的加权平均期限代替上述成熟期的风险计量方法。用久期表述市场风险也和到期日模型一样,久期缺口越大,市场风险越大。要实现风险免疫,久期缺口必须等于零。久期从形式上看是一个时间概念,但实际上反映了债券对利率风险的敏感度,即反映未来利率水平变动对债券价格的影响程度。

①收稿日期:2007-4-18

作者简介:钱谱丰(1983—),男,江苏人,中国人民大学财政金融学院金融学博士研究生;马勇(1982—),男,四川人,中国人民大学财政金融学院金融学硕士研究生。

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虽然久期模型能够通过久期匹配较好地实现风险免疫,但久期匹配实现风险免疫有一个前提条件,即利率变动幅度非常小。如果利率变动幅度较大(如上升200个基本点),那么久期就不能够准确地测度债券价格对利率变动的敏感度,风险免疫也就不可能实现。这主要是由于久期概念假设收益率曲线(期限不变的收益率曲线)呈线性关系,但现实情况一般呈凸性关系。Fong &Vasicek 指出,在利率变动幅度较大时,只考虑久期不足以对利率风险进行套期保值

(1984)。Christensen &Sorenson 进一步指出,久期和凸性

概念应加以结合以更好地进行套期保值(1994)。另一方面,传统的久期模型没有考虑违约风险的存在,即假定贷款或债券的还款概率始终为1。这也导致了久期匹配不能实现事实上完全的风险免疫。为了把违约风险纳入套期保值模型,在Alt man (1989)死亡率(mortality rate approach )模型的基础上,Bierwag 和Kauf man 明确指出了违约可能性对持续期的重要影响。利用Jonkhart (1979)利率期限结构模型,Fooladi (1997)建立了一个包含违约风险的关于债券价格和久期的模型。FRS 模型起初主要运用于债券组合管理,其优点是包含了债券生命周期内各个时期的违约可能性概率、违约支付安排以及投资者的风险厌恶特征。Iraj J 1Fooladi 和G ordon S 1Robert s

(2004)建立了一个包含违约风险的宏观套期保值模型,该模型在FRS 基础上假设了水平状的利率期限结构和瞬时违约支付(immediate default settlement ),把FRS 模型运用到了金融机构宏观套期保值(mac 2rohedging )中。

一、凸性效应与风险免疫

设债券价格是利率的函数,即P =P (i ),那么,在初始利率i 0处,债券价格的泰勒展开式为:P =P (i )=P (i 0)+P (i 0)+&i P ’(i 0)=12(&i )2P"(i 0)+R n (1)

其中&i =i -i 0,p ’(i 0)9P 9i |(i =i 0),P"(i 0)=92P 9i 2|(i =i 0),R n 为高阶无穷小量(在二阶展开式中可忽略)。在债券利率的二阶展开式中,一阶导数与久期概念相关联,二阶导数与凸性相关联。定义久期D =

-P ’(i )1+i P (i ),凸性C =12P"(i )(1+i )2P

,代入(1)式得到:&P (i )=[-D &i 1+i

+C (&i )2(1+i )2]P (i 0)(2)(2)式表明,当利率变化较大幅度时,凸性对债券价格的影响不能忽略不计,更确切的讲,凸性对价格变动有正的影响:如果利率上升一个较大的幅度,由久期模型计算的债券价格的下降将大于实际价格的下降;而如果利率下降一个较大的幅度,则久期模型计算的债券价格的上升将小于实际价格的上升。

如果金融机构的资产记为A ,负债记为L ,那么利用(2)得到:

&A =[-D A &i A 1+i A

+C A (&i A )2(1+i A )2]A &L =[-D L &i L 1+i L

+C L (&i L )2(1+i L )2]L 要使金融机构免受利率冲击,宏观套期保值的目标为股东权益价值&E =&A -&L =0,即无论利率怎么变化,权益变化独立于利率变化(始终为零)。于是:

&E =&A -&L =[-D A &i A 1+i A +C A (&i A )2(1+i A )2]A -[-D L &i L 1+i L

+C L (&i L )2(1+i L )2]L 根据Saunders (2000),令k =L A ,β=&i L &i A

,我们得到:&E =-[-D A -kD L

1+i A 1+i L β]A &i A 1+i A +[C A -kC L (1+i A 1+i L )2β2]A (&i A 1+i A )2=-D GA P ・A &i A 1+i A +CGA P ・A (&i A 1+i A )2

(3)

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