苏教版高中数学高一必修一2.4《幂函数》考点归纳
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例6.已知函数 在(0,+∞)上是减函数,求函数解析式,并讨论其单调性与奇偶性.
.
⑹求幂函数的解析式
幂函数的解析式的求解，一般利用待定系数法，即设所求函数解析式为 ，有已知求出α即可。
例7.已知点 在幂函数 的图象上,则 的表达式为( )
⑺幂函数、指数函数和对数函数的综合运用
解决这类综合问题，通常要把握幂函数、指数函数和对数函数各自的图象特征（特别是记住图象的大致形状）、奇偶性与单调性等性质，灵活运用分类讨论与数形结合的思想加以解决。
例9.某农药厂今年生产农药8000吨,计划5年后把产量提高到14000吨,求平均每年增长率.
例8.已知函数 是偶函数,且 .⑴求m的值,并确定 的函数解析式;
若 在[2,3]上是增函数,求实数a的取值范围.
⑻常见的幂函数模型及其应用
解决简单的实际问题的关键是建立适当的数学模型，而最常见的幂函数模型是“增长率型”.在增长率问题中，我们通常用a表示原有数量，x表示增长率，n表示年数，y表示n年后的数量，则先建立以下“增长率型”数学模型： .然后灵活运用幂函数、指数函数和对数函数有关性质加以解决.
《幂函数》考点分析
1、《幂函数》高考内容与要求
考试内容：幂函数;常见的幂函数模型及其应用.
考试要求：
会画幂函数 （α∈Q，α≠0，且α为常数）,当α= ,1,2,3,-1的图象,了解幂函数的概念，并了解这些幂函数的性质.
了解常见的幂函数模型(如流量与管道半径关系，飞机、汽车耗油与速率的关系)及其应用，并能解决简单的实际问题.
2、《幂函数》高考考点分析
了解幂函数图象及其性质
幂函数是作为特殊的函数，能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质,并体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
定义域
R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
当两个幂函数的指数相同时，如果底数是负数，先根据幂的运算性质，把底数化为正数再比较大小；当两个幂函数的指数不相同时，常常要借用“0”或“1”为中间量过渡，运用幂函数的单调性及其图象特征进行比较。
例4Байду номын сангаас ， ， 的大小关系是（）
A. B. C. D.
⑸幂函数的奇偶性与单调性
幂函数的奇偶性与单调性与一般函数的奇偶性与单调性一样，在判断、计算或证明时通常运用图象特征法、定义法和导数法。
用定义法研究幂函数的单调性时，通常有“作差法”与“作商法”两种。“作差法”一般采用“分子有理化”的手段；“作商法”时，需要特别注意分子分母都要为正数。
例5.已知幂函数 ( (-∞,0)∪(0,+∞))的图象如图，则（）
A. p为偶数，q为奇数B. p为偶数，q为负奇数C. p为奇数，q为偶数D. p为奇数，q为负偶数
④当 1时，指数大的图象在上方；当 时，指数大的图象在下方.
例1．下列命题：
幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)； 幂函数的图象不可能在第四象限；
③α=0时，函数 的图象是一条直线；④幂函数 ，当α>0时是増函数;
⑤幂函数 ,当α<0时,在第一象限内函数值随着x值的增大而减小.
其中正确的是 .
(1,1)
观察图象综合以上特征，我们可以得到幂函数具有以下重要性质：
当 时， 图象都过点(0,0)和(1,1)； 函数在区间(0,+∞)上是增函数；
③当 1时，指数大的图象在上方；当 时，指数大的图象在下方.
当 时，
图象都过点(1,1)； 函数在区间(0,+∞)上是减函数；
③在第一象限内,图象向上无限的接近y轴,向右无限的接近x轴;
例2.如图所示，曲线为幂函数 在第一象限的图象，则 大小关系为（）
A. B. C. D.
⑶求幂函数的定义域与值域
幂函数的定义域是由其解析式确定的，实质上是与指数有关，通常的做法是将分数指数幂转化为根式，并使根式有意义；而求值域要在其定义域内运用函数的单调性求解。
例3.求函数 的定义域.
⑷幂函数值大小的比较
⑵画出幂函数的图象,并能根据所给函数图象判断函数指数的大小关系.
用描点法作函数图象时,要善于运用函数的性质,特别是函数的定义域、值域、奇偶性，这样不仅可以简化作图过程，还可以使图象更准确；
在列表取点时，适当多取一些x的值会使得图象更准确；
③连线时一定要用光滑的曲线；
④依据所画函数的图象，运用函数的性质准确判断函数指数的大小关系.
(-∞,0)∪(0,+∞)
(0,+∞)
图象性质
直线
抛物线
拐线
抛物线(半支)
双曲线
双曲线
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
偶
单调性
增
(0,+∞)增
(-∞,0)减
增
增
(0,+∞)减
(-∞,0)减
(0,+∞)减
(-∞,0)增
定点
(0,0),
(1,1)
(0,0),
(1,1)
(0,0),
(1,1)
(0,0),
(1,1)
(1,1)
.
⑹求幂函数的解析式
幂函数的解析式的求解，一般利用待定系数法，即设所求函数解析式为 ，有已知求出α即可。
例7.已知点 在幂函数 的图象上,则 的表达式为( )
⑺幂函数、指数函数和对数函数的综合运用
解决这类综合问题，通常要把握幂函数、指数函数和对数函数各自的图象特征（特别是记住图象的大致形状）、奇偶性与单调性等性质，灵活运用分类讨论与数形结合的思想加以解决。
例9.某农药厂今年生产农药8000吨,计划5年后把产量提高到14000吨,求平均每年增长率.
例8.已知函数 是偶函数,且 .⑴求m的值,并确定 的函数解析式;
若 在[2,3]上是增函数,求实数a的取值范围.
⑻常见的幂函数模型及其应用
解决简单的实际问题的关键是建立适当的数学模型，而最常见的幂函数模型是“增长率型”.在增长率问题中，我们通常用a表示原有数量，x表示增长率，n表示年数，y表示n年后的数量，则先建立以下“增长率型”数学模型： .然后灵活运用幂函数、指数函数和对数函数有关性质加以解决.
《幂函数》考点分析
1、《幂函数》高考内容与要求
考试内容：幂函数;常见的幂函数模型及其应用.
考试要求：
会画幂函数 （α∈Q，α≠0，且α为常数）,当α= ,1,2,3,-1的图象,了解幂函数的概念，并了解这些幂函数的性质.
了解常见的幂函数模型(如流量与管道半径关系，飞机、汽车耗油与速率的关系)及其应用，并能解决简单的实际问题.
2、《幂函数》高考考点分析
了解幂函数图象及其性质
幂函数是作为特殊的函数，能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质,并体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
定义域
R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
当两个幂函数的指数相同时，如果底数是负数，先根据幂的运算性质，把底数化为正数再比较大小；当两个幂函数的指数不相同时，常常要借用“0”或“1”为中间量过渡，运用幂函数的单调性及其图象特征进行比较。
例4Байду номын сангаас ， ， 的大小关系是（）
A. B. C. D.
⑸幂函数的奇偶性与单调性
幂函数的奇偶性与单调性与一般函数的奇偶性与单调性一样，在判断、计算或证明时通常运用图象特征法、定义法和导数法。
用定义法研究幂函数的单调性时，通常有“作差法”与“作商法”两种。“作差法”一般采用“分子有理化”的手段；“作商法”时，需要特别注意分子分母都要为正数。
例5.已知幂函数 ( (-∞,0)∪(0,+∞))的图象如图，则（）
A. p为偶数，q为奇数B. p为偶数，q为负奇数C. p为奇数，q为偶数D. p为奇数，q为负偶数
④当 1时，指数大的图象在上方；当 时，指数大的图象在下方.
例1．下列命题：
幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)； 幂函数的图象不可能在第四象限；
③α=0时，函数 的图象是一条直线；④幂函数 ，当α>0时是増函数;
⑤幂函数 ,当α<0时,在第一象限内函数值随着x值的增大而减小.
其中正确的是 .
(1,1)
观察图象综合以上特征，我们可以得到幂函数具有以下重要性质：
当 时， 图象都过点(0,0)和(1,1)； 函数在区间(0,+∞)上是增函数；
③当 1时，指数大的图象在上方；当 时，指数大的图象在下方.
当 时，
图象都过点(1,1)； 函数在区间(0,+∞)上是减函数；
③在第一象限内,图象向上无限的接近y轴,向右无限的接近x轴;
例2.如图所示，曲线为幂函数 在第一象限的图象，则 大小关系为（）
A. B. C. D.
⑶求幂函数的定义域与值域
幂函数的定义域是由其解析式确定的，实质上是与指数有关，通常的做法是将分数指数幂转化为根式，并使根式有意义；而求值域要在其定义域内运用函数的单调性求解。
例3.求函数 的定义域.
⑷幂函数值大小的比较
⑵画出幂函数的图象,并能根据所给函数图象判断函数指数的大小关系.
用描点法作函数图象时,要善于运用函数的性质,特别是函数的定义域、值域、奇偶性，这样不仅可以简化作图过程，还可以使图象更准确；
在列表取点时，适当多取一些x的值会使得图象更准确；
③连线时一定要用光滑的曲线；
④依据所画函数的图象，运用函数的性质准确判断函数指数的大小关系.
(-∞,0)∪(0,+∞)
(0,+∞)
图象性质
直线
抛物线
拐线
抛物线(半支)
双曲线
双曲线
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
偶
单调性
增
(0,+∞)增
(-∞,0)减
增
增
(0,+∞)减
(-∞,0)减
(0,+∞)减
(-∞,0)增
定点
(0,0),
(1,1)
(0,0),
(1,1)
(0,0),
(1,1)
(0,0),
(1,1)
(1,1)