初一数学有理数教材含答案

有理数

中考要求

重难点

1． 掌握有理数有关分类、数轴、相反数、近似数、有效数字和科学计数法等有关概念 2． 熟练去括号法则，以及有理数的有关运算

课前预习

数学符号的由来

在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性。

纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展，历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步步继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生。

“+”是15世纪德国数学家魏德美所创造的。它的意思是：在横线上加上一竖，表示增加 “-”也是德国数学家魏德美创造的。它的意思是：从加号中减去一竖，表示减少

“⨯”是18世纪美国数学家欧德莱最先使用的。它的意思是：表示增加的另一种方法，因而把加好斜过来写

“÷”是18世纪瑞士人哈纳创造的。它的含义是分解的意思，因此用一条横线把两个原点分开 “=”是16世纪英国学者列科尔德创造的。列科尔德认为世界上再也没有比两条平行而相等的直线更相同了，所以用来表示两数相等。

17 17世纪德国数学家莱布尼茨在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”全等。

例题精讲

模块一 正负数与有理数的分类

1. 对于正负数的理解不能简单理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数。

2. 相反意义的两个量是相互的，也是相对的。

3. 掌握有理数的两种分类：按“定义”分类与按“性质符号”分类

☞有理数的分类

【例1】 下列说法：①0是整数；②负分数一定是负有理数；③一个数不是整数就是负数；④π-为有理

数；⑤最大的负有理数是1-，正确的序号是

【难度】2星

【解析】考察有理数的分类 【答案】①②

【巩固】下列说法：①存在最小的自然数；②存在最小的正有理数；③不存在最大的正有理数；④存在最

大的负有理数；⑤不是正整数就不是整数，错误的序号是

【难度】2星

【解析】考察有理数的分类 【答案】②④⑤

模块二 数轴、相反数、倒数

1. 数形结合思想是一种重要的数学思想。数轴就是数形结合的工具。

2. 数轴是条直线，可以向两方无限延伸。

3. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、三者缺一不可。

4. 所有有理数都可以用数轴上点表示，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数

5. 相反数是成对出现的，不能单独存在。相反数和为零。 ☞数轴

【例2】 如图所示，小明在写作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，试定墨迹盖住的整

数共有几个

【难度】1星

【解析】考察数轴的有关概念

【答案】如图，盖住数中的整数有4-、3-、2-、2、3、4，共有6个

【巩固】 数轴上表示整数的点称为整点，某条数轴的单位长度为1cm ，若在数轴上任意画出一条长

2006cm 的线段，则线段盖住的整数点共有 个

【难度】2星

【解析】考察数轴的有关概念 【答案】2006或2007

☞相反数与倒数

【例3】 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，1x =±，求2a b x cdx ++-的值 【难度】3星

【解析】考察相反数与倒数的有关概念 【答案】解：由相反数、倒数的定义可得 0a b +=，1cd =

则当1x =时，原式=01110+-⨯= 当1x =-时，原式=20(1)1(1)2+--⨯-=

【巩固】已知a 和b 互为相反数，m 和n 互为倒数，(2)c =-+，求22mn

a b c

++的值 【难度】3星

【解析】考察相反数与倒数有关概念 【答案】解：由相反数和倒数的定义可得 0a b +=，1mn =

∵(2)c =-+ ∴原式11

2()022

mn a b c =++=+=--

【巩固】已知数轴上点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数，a 和b ()a b <并且A 、B 两点间的距离是

1

44

,求a 、b 【难度】3星

【解析】考察相反数有关概念

【答案】解：∵a 、b 两数互为相反数 ∴0a b += ∴a b =-

∵A 、B 两点间距离有144b a -= ∴1

()44

b b --=

∴178b =，178

a =-

模块三 有理数的运算

1. 在进行有理数加法运算时，优先确定符号，然后在计算绝对值，这样就不容易出错。减法转化为加法

2. 作带分数加法时，可将整数部分与分数部分分开相加，然后再把结果相加。

3. 既有分数，又有小数时，通常把小数化成分数。

4. 有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值；除法转化为乘法进行计算。

5. 要正确解答乘方运算，必须切实弄清乘方定义，它是求n 个相同因数的积的运算，n a a n ≠⋅。

6.

2(1)1n -=，21(1)1n +-=-。

7. 带分数进行乘方运算时，一般要把带分数化为假分数，注意不能犯如下错误：211

(3)924=。

☞有理数加减运算解决实际问题

【例4】 超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg ，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克

数记为正数，不足的千克数记为负数）：0.5+、0.3+、0.9-、0.1+、0.4+、0.2-、0.7-、0.8+、0.3+、0.1+那么超市购进的橙子共多少千克？

【难度】2星

【解析】有理数加减运算

【答案】(0.5)(0.3)(0.9)(0.1)(0.4)(0.2)(0.7)(0.8)(0.3)(0.1)+++-+++++-+-++++++ =[0.50.30.1(0.9)][0.80.1(0.2)(0.7)](0.40.3)+++-+++-+-++ =0.7 50100.7500.7⨯+=()kg 即橙子共有500.7千克

【例5】 数轴的原点O 上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，

第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第100次处在B 点．

①求O 、B 两点之间的距离（用单位长度表示）．

②若点C 与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间

才能到达？

③若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O 点多远？

【难度】4星

【解析】有理数加减运算

【答案】①1(2)3(4)99(100)50+-++-+++-=-，故O 、B 两点之间的距离为50个单位长度．

②分两种情况， 第一种情况：

点C 在数轴的正半轴，观察规律可知：除去第一次，依次每两次

结合相当于向正方向前进1米，所以再经过(501)298-⨯=（次）运动即可前进50米，到达B 地；用时为：(1239899)22475++++÷=（分钟）． 第二种情况：