同济大学高等数学第六上册洛必达法则

x
2
. 1
(
0 0
)
x
1.
0
0
型
解
原式
lim
x1
3
3 x2
x2 3 2x
1
lim 6x 3 . x1 6 x 2 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
lim 6x
x1 6x 2
lim 6 1 x1 6
定理
如果函数 f (x) 和 g(x) 满足：
⑴ lim f (x) 0 ， lim g(x) 0 ；⑵ f (x) 和 g(x) 在 x N 时都
x
x
可导且
g ' ( x)
0 ；⑶
lim
x
f '(x) g ' ( x)
存在（或为实数，或为无穷大），
则 lim x
f (x) g(x)
lim
x
f '(x) g ' ( x)
.
arctan x
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
解
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
x2
lim x1
x2
1.
注：1、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件(1);
2、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦 不是未定式立刻停止使用;
例：lim x2 lim 2x lim 2 x0 sin x x0 cos x x0 sin x
3、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。
2 未定式
型的极限
定理 设函数 f (x)和 g(x) 在点 x0的某一去心邻域内有
定义,且满足
10
lim f ( x) lim g( x)
x x0
x x0
20 f (x)和 g(x)在 x0的某一去心邻域内存在,且
g(x) 0
f ( x)
30
lim xx0 g( x)
存在(或为
)
则有
lim f ( x) lim f ( x) A(或） xx0 g( x) xx0 g( x)
微 分及 中导 值数 定的 理应
用
第二节 洛必达法则
微分中值定理
函数的性态 导数的性态
本节研究: 函数之商的极限
( 或 型)
转化 洛必达法则 导数之商的极限
一、
0 0
型及
型未定式解法
:
洛必达法则
定义
当 x a 或 x 时，函数 f (x) 和 g(x) 都趋近于零或者
都趋近于无穷大，此时极限 lim f (x) 或 lim f (x) 可能存在，也 xa g(x) x g(x)
可能不存在.
两个无穷小量或无穷大量之比的极限称为 0 型或 型未定式
0
例如, lim tgx , ( 0 ) x0 x 0
lim ln sin ax , ( ) x0 ln sin bx
1. 未定式 0 型的极限
0
定理1 设(1) lim f (x) 0, lim g(x) 0;
xa
xa
用洛必达法则
例8
而
2、0 , ,00 ,1 , 0型未定式解法
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类 型 ( 0 ), ( ) .
0
(1) 0 型
步骤: 0 1 , 或 0 0 1 .
0
例9 求 lim x2e x . ( 0 )
x
解
原式
lim
ex
ex lim
f1(x), g1(x)满足柯西中值定理的条件, 则有
f (x) g(x)
f (x) f (a) g(x) g(a)
f ( ) g( )
(在x与a之间)
当x a时, a, lim f (x) A, lim f ( ) A,
xa g(x)
a g( )
lim f (x) lim f (x)＝lim f ( ) A. xa g(x) xa g(x) a g( )
x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
（3）使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导 ，而不是对它们的商求导。
例1 求 lim tan x . ( 0 )
x0 x
0
解 例2
原式
lim
x0
(tan x) ( x)
lim
x0
sec2 1
求
lim
x1
x3 x3
3x x2
对于 x 时的未定式 同样适用
定理对于 x a ， x a , x , x , x 的
情况都是适用的.
例4 求 lim ln sin ax . x0 ln sin bx
()
解 原式 lim a cos ax sin bx x0 bcos bx sin ax
lim cos bx 1.
注意：
(1)如果 lim xa
f '(x) g ' ( x)
仍属于
0 0
型,
且
f
'(x) 和
g ' (x) 满足洛必达法则
中 f (x) 和 g(x) 的条件,则可以继续使用洛必达法则, 即
lim
xa
f (x) g(x)
lim
xa
f '(x) g ' ( x)
lim
xa
f "(x) g"(x)
（2）定理 1 中 x a 换为 x a ,
x 2x x 2
(2) 在 a 点的某领域内(点 a 可以除外), f (x)及
g(x) 都存在且 g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或为无穷大); xa g(x)
那末 lim f (x) lim f (x) . xa g(x) xa g(x)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
当x a , x a时, 及x 时,该法则仍然成立.
证 f ( x) ( x a)的极限与 f (a)及g(a)无关, 所以定义
g( x)
辅助函数
f1(
x
)
f
(x 0,
),
xa ,
xa
F(x),
g1(x)
0,
xa ,
xa
在 U 0( a, )内任取一点 x, 在以 a 与 x 为端点的区间上,
x0 cos ax
例5. 求
型
解:
1
原式
lim
x
x
nxn1
lim
x
1 nxn
0
注意1：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其 它求极限方法结合使用，效果更好.
例6
ຫໍສະໝຸດ Baidu
求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
.
解
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
sec2 x 3x2
1
2sec2 lim
x tan x
1 lim tan
x
1.
x0
6x
3 x0 x
3
注意2：洛必达法则的使用条件．
例7 求 lim x cos x .
x
x
解 原式 lim 1 sin x
x 1
lim(1 sin x). x
洛必达法则失效.
原式 lim(1 1 cos x) 1.
x
x
注意3：在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能 解决计算问题 .