直线的方程----2两点式、截距式)

直线AC过A(5,0)、C(0,2)两点，由截距式得
x y 1 5 2
整理得lAC : 2x 5y 10 0,
练习：求BC边上的中线AD所在直线的方程。
由中点坐标公式得BC的中点D( 3 , 1) 22
即
x 13 y 5 0.
练习.已知ABC的两个顶点A(3,0), B(2,1),ABC
直线方程为3x 2y 0或x y 5 0
例4.某房地产公司要在荒地ABCDE上 划出一块长方体土地（不改变方位） 建造一幢8层楼公寓问如何设计才能 使公寓占地面积最大？并求出最大面积。
解：如图在线段 AB上任取一点 P，分别 向CD，DE作垂线划得一块土地 .
建立如图坐标系
则AB的方程为 x y 1, 30 20
的重心G(1,1)，求AB边中线所在直线的方程。
解：
设C（a, b）,
a 则有
32 3 1b 1
1
3
解得a 2,b 2, 即C（ 2，2）.
直线CG即为AB边中线所在直线。
由直线方程的两点式得直线CG的方程为
y 1 2 1
x (1) , 2 (1)
所以AB边中线所在的直线方程为x y 0.
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 y y0 k(x x0 )
x y 1 ab
思考：已知两点P1（x1,y1），P2(x2,y2)，(其 中x1≠x2,y1≠y2,)如何求出通过两个点的直线 方程？
y
l
P1(x1，y1)
k y2 y1 x2 x1
代入y y0 k(x x0 )得
设P（x,20 2x）, 3
则AB的方程为 x y 1, 30 20
设P（x,20 2x）, 3
则长方形面积S （100 x）[80 (20 2x)] 3
化简得S 2 x2 20 x 6000 33
2 (x 5)2 18050
3
3
0 x 30.
0 x 30.
当x
7.2 直线的方程（2）
——两点式、截距式
1.点斜式方程
复习
y y0 k(x x0 )
当知道斜率和一点坐标时用点斜式
2.斜截式方程
y kx b
当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况
①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
x x0 0或x x0 不是点斜式方程,斜截式方程
1. 两点式
已知直线 l经过点P1(x1, y1)、P2 (x2 , y2 ), (x1 x2 ), 求直线 l的方程
直线l的斜率为 k y2 y1
x2 x1
p
由点斜式方程
2
y y y2 y1 (x x ).
1 x2 x1
1
( y1 y2 )
化简为 y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
例（3 P48.10）：求过点 P(2,3),并且在两坐标轴 上的截距相等的直线方 程。
解：（1）若直线在两坐标轴上的截距都为0 直线方程为3x 2y 0
（2）若直线在两坐标轴上的截距都不为0
设直线方程为x y 1 aa
因为直线经过点 P(2,3) 所以a 5
直线方程为 x y 5 0
在y轴上的截距为b, 在x轴上的截距为a
y y0 k(x x0 ) k存在
y kx b
k存在
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
k存在 且k 0
x y 1. ab
k存在且 0 且不过原点
例2 三角形的顶点是A（-5，0）、 B（3，-3）、C（0，2），求这个 三角形三边所在直线的方程。
5,
y
Байду номын сангаас50 3
时，
Sm
ax
6017
m2
例5、直线l过点P(4,1)且与x、y正半轴相交于A、B两点， （1）求SOAB最小值及相应的直线l方程； （2）l在两坐标轴上截距之和的最小值及相应l方程
解（1）由题意知直线l斜率存在
y
设直线方程为 y 1 k(x 4)
B
A(4 1 ,0), B(0,1 4k) (k 0)
k
• P(4,1)
S 1 | OA || OB | 1 (4 1 )(1 4k)
0
2
2k
1 [8 1 (16k)] 8
2 k
(2)4 1 1 4k 5 [ 1 (4k)] 9
P2(x2，y2)
x
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x
x1 )
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
适用范围:(x1≠x2,y1≠y2)
形式
条件
方程
应用范围
点斜式 斜截式 两点式 截距式
过点( x0,y0), 斜率为k
在y轴上的截距为b, 斜率为k
过P1（x1, y1), P2（x2, y2)
y
B(0，b)
l
A(a，0)
截距式
代入两点式方程得
y0 xa b0 0a
化简得
x
x y 1
ab
截距式
横截距 纵截距
适用范围:(a≠0,b≠0)
x y 1 (4) ab
y •B
•A O
x
直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在 x 轴的截距(横截 距)，此时直线在y轴的截距(纵截距)是b;
解：直线AB过A(5,0)、B(3,3)两点，由两点式得
y 0 x (5) , 3 0 3 (5)
整理得lAB : 3x 8y 15 0,
直线BC过C(0,2),斜率是k 5. 3
由斜截式得y 5 x 2, 3
整理得lBC : 5x 3y 6 0,
例2 三角形的顶点是A（-5，0）、 B（3，-3）、C（0，2），求这个 三角形三边所在直线的方程。
——直线方程的两点式
例1、已知直线l于x轴交于点A(a,0),于y轴 交于B(0,b),(a 0,b 0)，求直线l的方程。
解： 直线 l经过A(a,0)，B(0,b)两点，
代入两点式
得y0 xa, b0 0a
即 x y 1. ab
x y 1. (a 0,b 0) ab
——直线方程的截距式
这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定, 所以叫做直线的截距 式方程;
截距式适用于的____横__、__纵__截__距__都__存__在__且__都__不__为_直0 线.
2020/4/29
6
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 两点坐标
两个截距
小结
点斜式 斜截式 两点式 点斜式
截距式
y y0 k(x x0 )