第十章 最小二乘滤波

根据最小二乘原理可得法方程的系数阵和常数项分别为：
1 1 2 , W B Pl 1 ，而且 1 2 3 1 于是得： X N W 5 1 5 2 4 3 1 5。 5 ˆ1 , x ˆ 2 , DX 所以， x ˆ 2 6 5 5 5 5
ˆ ˆ S 。 0] Y ˆ S ˆ L V AY ˆ LY VY Y
由式（10-2-5）和（10-2-6）就构成最小二乘滤波的总误差方程，即 （10-2-7）
将上式改写为
V A ˆ L ˆ I Y V L ，即 V B Y L Y Y V A L
P VYT 0
0 V V T PV VYT PY VY min PY VY
（10-2-9）
利用间接平差计算公式，得法方程为
ˆ B T PL ( B T P B )Y
将 B I , L L ，P 0 Y
（10-2-10）
A
L
P
0 代入上式，得 PY
（10-2-11）
ˆ AT P L PY LY ( AT P A PY )Y
解得
ˆ ( AT P A PY ) 1 ( AT P L PY LY ) Y
取 P D , PY DY （其中，这里取 0 1 ） ，则上式写成
将上式展开，即得 （10-2-17）
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ˆ L D AT ( A D AT D ) 1 ( L A L ) S S S 1 1 S 1 1 S 1 T T ˆ S LS DS A1 ( A1 DS A1 D ) ( L A1 LS )
由间接平差知，参数的权逆阵即为法方程系数阵的逆阵，为此，当取 0 1 时，
之间有函数关系的已测点参数，另一种是与观测值之间没有函数关系的未测点参数。显然最小二乘 配置的函数模型是一个既包含非随机参数，又含有随机参数的模型。 当 A 0 ，或 Y 0 时，模型变为 L BX ，即为高斯—马尔柯夫模型。 当 B 0 ，或 X 0 时，模型变为 L AY ，这是无系统参数 X 的配置模型，又称为滤波 和推估模型。 当 S 泛。
T
（10-2-16）
所以
ˆ LY DY AT ( ADY AT D ) 1 ( L ALY ) Y L DS A1T ( A1 DS A1T D ) 1 ( L A1 LS ) S T LS DS S A1
这里仅讨论 与 S 和 S 相互独立的情况。
'
（10-2-2）
二、最小二乘滤波的误差方程 将 E (Y ) 作为虚拟观测值，其权为 PY ，方差为 DY PY 。令
1
L D LY S E (Y ) S ，其权为 PY DY1 S LS S DS S
1 1 2 1 1 ˆ ( AT D Y A DY1 ) 1 ( AT D L DY1 LY )
（10-2-12）
（10-2-13）
根据矩阵反演公式
1 ( AT D A DY1 ) 1 DY DY AT ( ADY AT D ) 1 ADY 1 1 ( AT D A DY1 ) 1 AT D DY AT ( ADY AT D ) 1
DY AT ( ADY AT D ) 1 L ( DY DY AT ( ADY AT D ) 1 ADY ) DY1 LY LY DY AT ( ADY AT D ) 1 ( L ALY )
又由于
（10-2-15）
DS A1T T T DY A D AT , ADY A A1 DS A1 , ALY A1 LS S S 1
0 1 0 1 B 1 1 1 0
3 N B T PB 2 1 2
,
0 0 l 。取 0 1 ，则 P D 1 。 1 1
4 5 2 5 2 5， 6 5
~
~
~
0 时，模型变为 L A1 S ，称为滤波模型。
可见，最小二乘配置模型包括了平差、滤波和推估模型。最小二乘配置模型的应用范围比较广
§10-2 最小二乘滤波和推估
一、函数模型和随机模型 滤波的函数模型为
L AY 式中， L 为观测向量， Y 为随机参数。且 S A [ A1 0] , Y S
（10-2-8）
式中，V I , L V ,B L 。显然，上述的最小二乘滤波问题已转化成一般的间接平差 Y Y 了。 三、最小二乘滤波和推估的计算公式 这里仅考虑 DY DY 0 的情况。则根据最小二乘原理，即
V T P V V T
'
'
（10-2-22）
ˆ 和S ˆ 以及其方差、协方差的公式。 式（10-2-18）和（10-2-22）就是滤波和推估求 S 和 S 的估值 S
例：设已知 L , 1
1
X 0 , DX

2
2 ， D X 0 。观 , E ( ) 0 , D 2 2
2
1 DYˆ ( AT D A DY1 ) 1
（10-2-18）
（10-2-19）
由矩阵反演公式（10-2-14） ，得
1 DYˆ ( AT D A DY1 ) 1 DY DY AT ( ADY AT D ) 1 ADY
（10-2-20）
将式（10-2-16）代入上式，即得
由 Y 与 的已知先验信息构成的随机模型为
（10-2-1）
DS DSS E(S ) S , D (Y ) DY E (Y ) E ( S ) S DS S DS DS 0 , DS 0 T DSS A1 D D ( L) PL1 D ADY AT D [ A1 0] S DS S DS 0 D A1 DS A1T E ( ) 0 , D ( ) D P1
DYˆ DY DY AT ( ADY AT D ) 1 ADY D S DS S
即
DSS DS A1T ( A1 DS A1T D ) 1 A1 DS T DS DS S A1
A1 DSS
（10-2-21）
ˆ LS S ˆ LY VY Y ˆ S LS
这时，随机参数 Y 已转化为非随机参数，可以按以往非随机参数的处理方式进行处理。 将式（10-2-1）也写成误差方程的形式，即
（10-2-5）
ˆL V AY
（10-2-6）
式中， A [ A1
'
'
ˆ 的过程称为推估。 滤波，而将求定推估信号 S 的最佳估值 S
' '
配置也称为拟合推估，最初是组合各种资料研究地球形状与重力场的一种数学方法。配置的普 遍形式是在其函数模型中，既有非随机参数部分，又有随机参数部分。将高斯—马尔柯夫模型加以 扩展，得最小二乘配置的函数模型为
~ L BX AY （10-1-2） ~ 式中， L 为观测向量， X 为非随机参数，Y 为随机参数。同上，Y 又分为两种情况，一是与观测值
（10-2-14）
由式（10-2-13）得
1 1 1 1 1 ˆ ( AT D Y A DY ) ( AT D L DY LY ) 1 1 1 T 1 1 1 1 1 A DY ) A D L ( AT D A DY ) DY LY ( AT D
m1 1
L AY
数关系的未测点参数，称之为推估信号，用向量 S 表示，且 S 与 S 统计相关。即
m2 1 m2 1 m1 1
S A [ A1 0] , Y S
ˆ 。 ˆ 的过程称为 ˆ 和S 通过滤波可以求得 S 和 S 的最佳估值 S 通常将求定滤波信号 S 的最佳估值 S
测方程为 L BX 1
1 1 x1 1 ˆ ˆ 。 。试求信号 X 的估值 X 及其误差方差 DX 0 x2 2
解：由题义可知：
0 2 v x1 1 0 2 v x 2 0 1 x1 0 x 1 ， D ，记： v 1 1 2 1 2 1 v 1 0 2 2
则虚拟观测方程为
DSS DS
1
（10-2-3）
S LY Y Y S S S
式中， Y
（10-2-4）
S 为与 LY 对应的观测误差。于是，与 LY 对应的误差方程为 S
第十章 最小二乘滤波
§10-1 概述
前面给出的最小二乘平差实际上是将平差模型中的全部待估参数均作为非随机参数，或不考虑 参数的随机性质，按照最小二乘原理求定其最佳估值。然而，在一些实际问题中，需要求定最佳估 值的参数是随机参数，具有先验统计性质，且在估计这些参数时必须考虑这些统计性质。这类附有 随机参数的平差问题就是下面介绍的滤波、推估和配置。 在测量平差中，滤波就是利用含有误差（噪声）的观测值，求定参数最佳估值的方法。显然， 滤波与最小二乘平差的主要区别在于：最小二乘平差是仅确定非随机参数的估值方法，而滤波则是 把全部待估参数均作为随机参数，且已知其先验统计性质，按照极大验后估计或广义最小二乘原理 求定参数的最佳估值。 滤波的函数模型用如下观测方程表示 （10-1-1） 式中， L 和 表示观测值向量和观测误差向量，Y 为随机参数。Y 又分为两种情况，一是与观测值 之间有函数关系的已测点参数，称之为滤波信号，用向量 S 表示，另一种是与观测值之间没有函
DSˆ DS DS A1T ( A1 DS A1T D ) 1 A1 DS DSˆ DS DS S A1T ( A1 DS A1T D ) 1 A1 DSS DSˆSˆ DSS DS S A1T ( A1 DS A1T D ) 1 A1 DS