1-5概率空间

定理1.5.1 若P是F上满足P(Ω)=1的非负集合 定理
函数，则它具有可列可加性的充要条件是 (i) 它是有限可加的 (ii)它是下连续的
证明：充分性：由前面的推导可得 证明 必要性: (i)有限可加性很容易证明 (ii)证下连续性,即证明对任意F中的 一个单调不减的集序列{Sn}，都有
P (lim S n ) = lim P ( S n )
lim P ( S n ) = P (lim S n )
n →∞ n →∞
下连续的定义
若对于 F上的集合函数 P，若它对 F中任何一个单调不减的 集序集 {S n }都有 lim P ( S n ) = P ( lim S n )成立，则称集函数 P
n→∞ n→∞
是下连续的
因此我们有： 有限可加性 可列可加性 下连续性
P ( A U B ) ≤ P ( A) + P ( B )
推论3 不等式(邦弗伦尼不等式 推论 Bonferroni不等式 邦弗伦尼不等式 不等式 邦弗伦尼不等式)
P ( AB ) ≥ P ( A ) + P ( B ) − 1
可以推广到N个的情形, 可以推广到N个的情形,利用数归法证明
利用对立事件和加法公式
二、事件域
•样本空间：试验的所有可能结果组成的集合，称 样本空间： 可能结果组成的集合， 样本空间 为样本空间， 为样本空间，记作 Ω； 表示； • 样本点：Ω中的元素称为样本点，用ω表示； 样本点： 中的元素称为样本点， • 集 类： 由Ω中的某些元素构成的子集合，常用大 中的某些元素构成的子集合， 写字母A、 、 等表示 等表示； 写字母 、B、C等表示；由Ω中的若干子集构成的 集合称为集类， 等表示； 集合称为集类，用花写字母 ℬ、F等表示；
n→∞ i =1 n→∞ i =1 i =1
所以只需要下面条件成立
P (∑ Ai )
i =1
n
∞
=
lim P ( ∑ Ai )
n→ ∞ i =1
n
记S n = ∑ Ai , 则S n ∈ F , n = 1,2,L , 且S n ⊂ S n＋1，即S n是F
i =1
中一个单调不减的集序列，这时上式可一写成
P ( U Ak ) = ∑ P ( Ak )
k =1 k =1 n n
几何概率的性质
(1)非负性：对任意事件A ,有 0≤P(A) ≤1； (2) 规范性:对必然事件Ω, P(Ω)＝1； (3)可列可加性:设A1，A2，…, 是一列两两不相 容的事件，即AiAj＝φ，(i≠j), i , j＝1, 2, …, 有
利用数学归纳法证明
匹配问题） 封信， 只信封， 例（匹配问题 某人写好 封信，又写好 只信封， 匹配问题 某人写好n封信 又写好n只信封 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中， 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少 有一封信放对的概率。 有一封信放对的概率。 解：记Ai={第i封信与信封符合}，则所求事件为 A1 U A1 U L U An
中返回取n次 求取出的n 从 1, 2, ……, 9中返回取 次，求取出的 中返回取 个数的乘积能被10整除的概率 整除的概率. 个数的乘积能被 整除的概率
乘积能被10整除 意味着： 整除” 解：因为 “乘积能被 整除” 意味着： “取到过 记为 取到过5”(记为 取到过偶数” 记为 记为B)。 取到过 记为A) 且 “取到过偶数” (记为 。 因此所求概率为 P(AB). 利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式 对立事件公式、 对立事件公式
四 可列可加性与连续性
若Ai ∈ F , i = 1,2,L且两两互不相容
可列可加性 ？ 有限可加性
P(∑ Ai ) = ∑ P ( Ai )
i =1 i =1
∞
∞
P(∑ Ai ) = ∑ P( Ai )
i =1 i =1
n n ∞
n
n
？
lim P(∑ Ai ) = lim∑ P( Ai ) = ∑ P( Ai )
例
P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率. 解：因为A、B、C 都不出现的概率为
P( ABC) = 1− P( A∪ B ∪C)
= 1−P(A)−P(B)−P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)−P(ABC) = 1−1/4−1/4−1/4+0+1/6+1/6−0 =1−5/12 = 7/12
第五节 概率空间
一、走向概率的公理化结构
① 古典定义 ② 统计定义
③几何概率 几何概率
概率的最初定义 基于频率的定义
频率的性质： 频率的性质： (1) 0≤fn(A) ≤1 (2) fn(Ω)=1, fn(φ)=0 Ω (3) 若事件 1, A2, …, Ak两两互斥 则 若事件A 两两互斥,则
f n (U Ai ) = ∑ f n ( Ai )
问：针对哪些事件给出概率
• 记F为研究的所有事件的全体 F • F不能包括所有的事件(不可测)，即样本空 间Ω的一切子集 • F必须把感兴趣的事件包含进来
定义1.5.1 若F为样本空间 F为样本空间Ω的一些子集构成的一个σ 域，则称它为事件域（event field）, F中的元素 事件域（ 事件域 ） 称为事件，Ω称为必然事件 φ 称为不可能事件 必然事件， 不可能事件。 必然事件 不可能事件 事件域可以选得很简单，也可以选得十分复杂， 需要我们根据不同要求选择适当的事件
利用对称性
甲掷硬币n+1次，乙掷n次) 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的 概率.
解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数. 甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数. 因为 P(甲正>乙正)= P(n+1-甲反> n-乙反) = P(甲反-1<乙反) = P(甲反≤乙反) = 1−P(甲正>乙正) 对称性) (对称性) 所以 2P(甲正>乙正)=1, 由此得 P(甲正>乙正)=1/2
n →∞ n →∞
分析：要证
P(lim S n ) = lim P( S n )
n →∞ n →∞
∞
∞
P(limSn ) = P( U Sn ) = P(∑(Si − Si−1))
n→∞ n=1
i =1
(定义S0=φ)
= ∑ P(Si − Si −1 ) = lim P(Si −Si−1) ∑ n→ ∞
(n −1)k −1 P( A) = 1− P( A) = 1− k n
概率的单调性
性质4 性质4 若A⊃B，则 P(A−B) = P(A)−P(B)； 若A⊃B，则 P(A) ≥ P(B). 减法一般公式 P(A−B) = P(A)−P(AB).
• 概率计算的公式法——利用上面的公式计算概率 概率计算的公式法——利用上面的公式计算概率 某区域有N部卡车，车牌号从1 例5 某区域有N部卡车，车牌号从1到N，有一外地人 到该区域去，把遇到的n部卡车的车牌号抄下来（ 到该区域去，把遇到的n部卡车的车牌号抄下来（可 以重复）， ），以 抄到的最大号码正好为k 以重复），以A表示 “抄到的最大号码正好为k 1≤k≤N） 的概率。 （1≤k≤N）” ，求A的概率。 记到的最大号码为k}, 解：记Ak={记到的最大号码为 Bk={记到的最大号 记到的最大号码为 记到的最大号 码不超过k},则A 码不超过k}, Ak= Bk- Bk-1
若 Ai ∈ F , i = 1, 2 ,... 且两两互不相容，则 P ( U Ai ) =
n =1 ∞
∑ P( A )
i =1 i
∞
概率的性质
性质1 性质1 P(φ)=0. 性质2 (有限可加性 性质2 (有限可加性) 有限可加性)
性质3 (对立事件公式 性质3 (对立事件公式)
P( A) = 1 − P( A)
( n − 1)! (n − 2)! 1 而P( Ai ) = , P ( Ai A j ) = = n! n! n(n − 1) 1 1 P( Ai A j Ak ) = ,L , P( A1 A2 L An ) = n(n − 1)(n − 2) n!
n 1 n 1 因 此 P ( A1 U A1 ULU An ) = − 1 n 2 n(n − 1) n 1 n −1 1 + − L + (−1) n! 3 n(n − 1)(n − 2) 1 1 1 + − L ( −1) n −1 2! 3! n! = 1 − e −1 = 1−
利用对立事件
口袋中有n 个黑球 个黑球、 个白球 个白球， 口袋中有 −1个黑球、1个白球，每次从口袋 中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第 求第k 中随机地摸出一球，并换入一只黑球 求第 次取到黑球的概率. 次取到黑球的概率
次取到黑球” 解：记A为“第k 次取到黑球” ，则A的对立事件为 为 的对立事件为 次取到白球” 意味着： “第k 次取到白球” . 而“第k 次取到白球” 意味着： 第 次取到白球” “第1次……第k−1次取到黑球，而第 次取到白球” 第 次 次取到黑球， 第 次取到黑球 而第k 次取到白球”
k n P (Bk ) = N n k n − ( k − 1) n P ( Ak ) = N n
概率的加法公式
(6) P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(AB) P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C) −P(AB)−P(AC)−P(BC) +P(ABC)
• 推论 推论2 推论 布尔不等式
P( AB) = 1− P( A ∪ B) = 1− P( A) − P(B) + P( AB) 8n 5n 4n = 1− n − n + n 9 9 9
例
AB=φ，P(A)=0.6，P(A∪B)=0.8， 求 B 的对立事件的概率。
解：由 P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(AB) = P(A)+P(B) 得 P(B) = P(A∪B)−P(A) = 0.8−0.6 = 0.2， 所以 P( B) = 1−0.2 = 0.8.
i =1 i =1 k k
古典概率的性质： 古典概率的性质： (1)非负性 对任一事件 有 非负性: 对任一事件A,有 非负性 0≤P(A) ≤1 (2)规范性 对必然事件Ω,有 P(Ω)=1 规范性: 规范性 对必然事件Ω 有 Ω (3)有限可加性 若事件 1, A2, …, An 有限可加性: 若事件A 有限可加性 两两互斥,则 两两互斥 则
例
P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A∪B)=0.6， 求 P(A−B). 解：因为 P(A−B) = P(A)−P(AB) ，所以先求 P(AB) 由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)−P(A∪B) = 0.4+0.3−0.6=0.1 所以 P(A−B) = P(A)−P(AB) = 0.3
• 一维博雷尔σ域，包含： 一维博雷尔σ 包含：
{x}= I
∞ n =1
1 [ x, x + ) n
(x,y)=[x,y)-{x} [x,y]=[x,y)+{y} (x,y]=[x,y)-{x}+{y}
包括一切开区间，闭区间，单个实数， 即 B 包括一切开区间，闭区间，单个实数， 可列个实数， 可列个实数，以及由它们的可列并可列交运算得 出的集合。 出的集合。
三 概率
定义1.5.2 定义在事件域F上的一个集合函数 称 定义在事件域F上的一个集合函数P称 定义 为概率，如果它满足如下三个条件： 为概率，如果它满足如下三个条件： （1）非负性：P(A) ≥ 0 , ∀ A ∈ F ）非负性： （2）规范性：P(Ω)=1; ）规范性： (Ω)=1; （3）可列可加性： ）可列可加性：
P(∑ An ) = ∑ P( An )
n =1 n =1
∞
∞
4、概率论公理化时机的逐渐成熟 、 • • • • 古典概型和几何概型的局限性 概率论缺乏严格的理论基础 测度论的发展 19世纪末，数学各分支的公理wk.baidu.com潮流
1933年，前苏联数学家柯 年 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 化定义. 化定义 即通过规定概率应具备的 基本性质来定义概率. 基本性质来定义概率 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且 极为简单， 极为简单， 但在此基础上建立起了概率论 的宏伟大厦. 的宏伟大厦