矢量场的唯一性定理(中文)

Ax Ay
1 Az
Ar A
sin cos
cos cos
A sin
sin sin cos sin
cos
cos
sin
Ax Ay
0 Az
Ar A
sin cos
0 0
cos
sin
Ar A
A 0 1 0 Az
已知矢量 A 在直角坐标系中可表示为
6. 矢量场的惟一性定理
位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边
界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的
矢量场被惟一Baidu Nhomakorabea确定。
S
F(r) ��ѴF 和 F
及
V
Ft 或 Fn
已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定 理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定。
7. 亥姆霍兹定理 若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且
其导数连续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢
量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示
为
z
V' r'
O x
r – r'
r y
F (r) (r) A(r)
F(r) 式中
(r)
1 4π
F (r) dV V r r
A(r)
1 4π
F (r)dV V r r
F (r) (r) A(r)
该定理表明任一矢量场均可表示为一个无 旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特 性是研究矢量场的首要问题。
8. 正交曲面坐标系
直角坐标系 ( x, y , z )
z
x = x0
z = z0
ex
ez
P0
ey
y = y0
O
y
x
圆柱坐标系 ( r, , z )
z
r = r0 x
ez P0er
e
z = z0
A aex bey cez
式中， a, b, c 均为常数。 A 是常矢量吗？
又知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标系中可分别
表示为
A aer be cez A aer be ce
式中， a, b, c 均为常数。 A 是常矢量吗？
球坐标系
dl erdr e rd e r sin d dS err 2 sin d d e r sin dr d erdr d dV r 2 sin dr d d
坐标变量的转换
￬r x2 y2 ￬
￬￬ ￬
arctan
�y � �x
� � �
￬￬z z
￬
￬￬r x2 y2 z2
￬￬￬ ￬
� arctan � � �
x2 z
y2
� � � �
￬ ￬￬￬
arctan
� � �xy
� � �
x r cos
y
r
sin
z z
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
矢量分量的转换
Ar A
cos sin
Az 0
sin cos
0
0 0
O
= 0
0
y
球坐标系 ( r, , )
z
= 0 0
r=r0 x
P0
O 0
er e e
= 0 y
微分单元的表示
直角坐标系
dl exdx eydy ezdz dS exdy dz eydxdz ezdxdy dV dx dy dz
圆柱坐标系
dl erdr e r d ezdz dS err d dz edr dz ezr dr d dV r dr d dz