中考数学 题型突破专题2 开放性问题
中考数学复习专题-开放性问题(含详细参考答案)
中考数学复习专题-开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定。
810360专题：开放型。
分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB等）；解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵∴△BDF≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行线的判定与性质。
中考数学复习专题讲座 第二讲 开放性问题
第二讲 开放性问题一．知识网络梳理教育部于1999、接连印发的《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》中明确要求，数学试题应设计一定的“开放性问题”．此后，开放型试题成为各地中考的必考试题．所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必考的题型．开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题．观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是思维能力新添的内容，学习中应重视并应用．开放题是中考题多样化和时代发展要求的产物，单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发学生的创造性．开放性试题能为考生提供更大的考虑问题的空间，在解题途径方面也是多样的，这样的试题是十分有利于考生发挥水平的，也有利于考生创新意识的培养．开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识．过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力．题型1条件开放与探索条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出． 题型2结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力．题型3解题方法的开放与探索 策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程． 二、知识运用举例 （一）条件开放例1.(04苏州) 已知（x 1，y 1），(x 2，y 2)为反比例函数图象上的点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则k 的一个值可为___________（只需写出符号条件的一个．．k 的值）解： 答案不唯一，只要符合k ＜0即可，如k ＝ —1，或k ＝ —2……．例2.(05深圳市) 如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC ＝DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是__．xky例2图解：答案不惟一.如：AB ＝DC ；∠ACB ＝∠DBC ；∠A ＝∠D ＝Rt ∠…．例3（07南京市）已知点位于第二象限，并且，为整数，写出一．个．符合上述条件的点的坐标： ．答：，，，，，六个中任意写出一个即可例4（05梅州）如图，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点．（1）如果__________ ，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）； （2）证明你的结论．分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件．解：（1）AE ＝CF （OE ＝OF ；DE ⊥AC ；BF ⊥AC ；DE ∥BF 等等） （2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∠DCE ＝∠BAF又∵AE ＝CF ，∴AC －AE ＝AC －CF ，∴AF ＝CE ，∴ΔDEC ≌ΔBAF说明：考查了矩形的性质及三角形全等的判定．例5（06泰州市）已知：∠MAN ＝30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心，2为半径作⊙O ，交AN 于D ，E 两点，设AD ＝x ． （1）如图（1）当相切；（2）如图（2）当相交于B ，C 两点，且∠BOC ＝90°．【解答】（1）在图（1）中，当⊙O 与AM 相切时，设切点为F ．连结OF ，则OF ⊥AM ，•∵在Rt △AOF 中，∠MAN ＝30°，∴OF ＝OA ．∴2＝（x ＋2），∴x ＝2， ∴当相切．（2）•在图（2）中，过点O 作OH ⊥BC 于H ．当∠BOC ＝90°时，△BOC 是等腰直角三角形，∴BC＝，()P x y ，4y x +≤x y ，P (13)-，(12)-，(11)-，(21)-，(22)-，(31)-，1212= D B O∵OH ⊥BC ，∴BH ＝CH ，∴OH ＝BC． 在Rt △AHO 中，∠A ＝30°，∴OH ＝OA（x ＋2），∴x ＝－2． ∴当x ＝－2时，⊙O 与AM 相交于B ，C 两点，且∠BOC ＝90°．【点评】解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解．（二）、结论开放 例1（05湖南湘潭）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，D 为垂足．由以上两个条件可得________．(写出一个结论) 解：∠1＝∠2或BD ＝DC 或△ABD ≌△ACD 等．例2（04徐州）如图，◎Ol 与◎O 2相交于点A 、B ，顺次连结0l 、A 、02、B 四点，得四边形01A 02B ．（1）根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验，探求图中的四边形有哪 些性质?(用文字语言写出4条性质)性质1．________________________________；性质2．________________________________； 性质3．________________________________； 性质4．________________________________．（2）设◎O 1的半径为尺，◎O 2的半径为r (R ＞r )，0l ，02的距离为d ．当d 变化时， 四边形01A 02B 的形状也会发生变化．要使四边形01A 02B 是凸四边形(把四边 形的任一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形)．则d 的取 值范围是____________________________ 解：（1）是开放性问题，答案有许多，如： 性质1：相交两圆连心线垂直公共弦； 性质2：相交两圆连心线平分公共弦； 性质3：线段01A ＝线段01B ； 性质4：线段02B ＝线段02A ； 性质5：∠01A 02＝∠01B 02； 等等．（2）实质是相交两圆的d 与R ＋r 的关系，应为R —r ＜d ＜R ＋r ．例3（06莆田市）已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在边BC 上任一位置（•如图①所示）时，易证得结论：PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2，请你探究：当P •点分别在图②、•图③中的位置时，12121221D CB APA 2、PB 2、PC 2和PD 2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，•并利用图②证明你的结论．答：对图②的探究结论为__________．对图③的探究结论为_________．证明：如图2．结论均是：PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．证明：如图②过点P 作MN ⊥AD 交AD 于点M ，交BC 于点N ． ∵AD ∥BC ，MN ⊥AD ，∴MN ⊥BC 在Rt △AMP 中，PA 2＝PM 2＋MA 2 在Rt △BNP 中，PB 2＝PN 2＋BN 2 在Rt △DMP 中，PD 2＝DM 2＋PM 2 在Rt △CNP 中，PC 2＝PN 2＋NC 2 ∴PA 2＋PC 2＝PM 2＋MA 2＋PN 2＋NC 2 PB 2＋PD 2＝PM 2＋DM 2＋BN 2＋PN 2 ∵MN ⊥AD ，MN ⊥NC ，DC ⊥BC ． ∴四边形MNCD 是矩形． ∴MD ＝NC ． 同理 AM ＝BN ．∴PM 2＋MA 2＋PN 2＋NC 2＝PM 2＋DM 2＋BN 2＋PN 2． 即PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度．正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键．（三）、综合开放例1（05宁波）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G .试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．解：△BCF ≌△CBD . △BHF ≌△CHD . △BDA ≌△CFA . (注意答案不唯一) 证明△BCF ≌△CBD ．∵AB ＝AC . ∴∠ABC ＝∠ACB . － ∵BD 、CF 是角平分线. ∴∠BCF ＝∠ACB ，∠CBD ＝∠ABC ． ∴∠BCF ＝∠CBD . 又BC ＝CB . ∴△BCF ≌△CBD ．2121A DH F E G B C例2（05江西省）已知抛物线与轴的交点为A 、B （B 在A 的右边），与轴的交点为C ．（1）写出时与抛物线有关的三个正确结论；（2）当点B 在原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；解：当m ＝1时，抛物线解析式为y ＝－＋1，可从对称轴、顶点坐标、开口方向、最值、增减性等多方面去写出许多正确结论，任写三个就可；（2）存在．m ＝2；（3）是结论开放题，答案有许多，如：抛物线y ＝－＋1与x 轴总有交点，顶点纵坐标为1或函数最大值为1等．例3（07福州市）如图9，直线，连结，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连结，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角．）（1）当动点落在第①部分时，求证：；（2）当动点落在第②部分时，是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．解：（1）解法一：如图9－1 延长BP 交直线AC 于点E∵ AC ∥BD ， ∴ ∠PEA ＝ ∠PBD ． ∵ ∠APB ＝ ∠PAE ＋ ∠PEA ， ∴ ∠APB ＝ ∠PAC ＋ ∠PBD ．1)(2+--=m x y x y 1=m m )1(2-x )(2m x -AC BD ∥AB AC BD ，AB P PA PB ，PAC ∠APB ∠PBD ∠0P APB PAC PBD ∠=∠+∠P APB PAC PBD ∠=∠+∠P PAC ∠APB ∠PBD ∠P ABCD①②③ ABCD P① ②③ ④ABCD ① ②③ ④ 图9④解法二：如图9－2过点P作FP∥AC ，∴∠PAC ＝∠APF .∵AC∥BD，∴FP∥BD .∴∠FPB ＝∠PBD .∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝∠PAC ＋∠PBD．解法三：如图9－3，∵AC∥BD，∴∠CAB ＋∠ABD ＝180°即∠PAC ＋∠PAB ＋∠PBA ＋∠PBD ＝180°．又∠APB ＋∠PBA＋∠PAB＝180°，∴∠APB＝∠PAC ＋∠PBD .（2）不成立.（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB ．(b)当动点P在射线BA上，结论是∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB ．或∠PAC ＝∠PBD＋∠APB 或∠APB ＝0°，∠PAC＝∠PBD（任写一个即可）．(c) 当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC＝∠APB＋∠PBD．选择(a) 证明：如图9－4，连接PA，连接PB交AC于M∵AC∥BD ，∴∠PMC ＝∠PBD ．又∵∠PMC ＝∠PAM ＋∠APM ，∴∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB ．选择(b) 证明：如图9－5∵点P在射线BA上，∴∠APB＝0°．∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC．∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB ＝0°，∠PAC＝∠PBD.选择(c) 证明：如图9－6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA ＝∠PBD ．∵∠PAC ＝∠APF ＋∠PFA，∴∠PAC＝∠APB＋∠PBD ．三、知识巩固训练 1（05十堰）代数式的三个实际意义是：_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2（05荆门市）多项式x 2＋px ＋12可分解为两个一次因式的积，整数p 的值是＿＿＿＿＿（写出一个即可）3（05常德）请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式___________________________．4（05绍兴市）平移抛物线，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式____________________5（05海安）请给出一元二次方程________＝0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根．6（05资阳）已知a ＝sin 60°，b ＝cos 45°，c ＝，d，从a 、b 、c 、d 这4个数中任意选取3个数求和；7（05资阳）甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：① 比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下：a . 得分为正数或0；b . 若8次都未投进，该局得分为0；c . 投球次数越多，得分越低；d . 6局比赛的总得分高者获胜 ．（1） 设某局比赛第n (n ＝1，2，3，4，5，6，7，8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n 换算为得分M 的计分方案；（2） 若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜．8. （山东省）如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ．给出下列三个条件：①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD ． （1）上述三个条件中，哪两个条件．．．．可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形．22(0)m n m n ->>228y x x =+-28x x -+11()2-9（绵阳市）在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、D 作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足分别为E 、F ，如图①．（1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P 在DC •的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD •的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．10（07甘肃省白银等7市新课程）探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2－2x ＋1＝0 x 1＝1 ， x 2＝1 x 2－2x ＋1＝（x －1）（x －1） x 2－3x ＋2＝0 x 1＝1 ， x 2＝2x 2－3x ＋2＝（x －1）（x －2）3x 2＋x －2＝0 x 1＝， x 2＝－1 3x 2＋x －2＝2（x －）（x ＋1） 2x 2＋5x ＋2＝0 x 1＝－， x 2＝－22x 2＋5x ＋2＝2（x ＋）（x ＋2）4x 2＋13x ＋3＝0x 1＝_____， x 2＝_____4x 2＋13x ＋3＝4（x ＋_____）（x ＋_____）将你发现的结论一般化，并写出来．11（07甘肃省陇南市）在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大．使用上面的事实，解答下面的问题：用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．12（07安徽省）按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间； （Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大．（1）若y 与x 的关系是y ＝x ＋p (100－x )，请说明：当p ＝时，这种变换满足上述两个要求； 【解】（2）若按关系式y ＝a (x －h )2＋k (a ＞0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程） 【解】2323121212四、知识巩固训练答案：1．、（长：m ＋n 、宽m －n ）；摩托车每辆m 元，自行车每辆ns s 大正小正s 矩形元，m 辆摩托车比n 辆自行车贵多少钱；2．±7，±8，±13（写出其中一个即可）； 3．y ＝(x －2)2＋3等； 4．y ＝＋2x 等；5．12(答案不唯一)； 6．a ＋b ＋c ＝， a ＋b ＋d ＝a ＋c ＋d ＝b ＋c ＋d7．（1(用公式或语言表述正确，同样给分.)（2） 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得24分，乙共得分23分， 所以甲在这次比赛中获胜． 8.答案不惟一，符合题意即可9．（1）①BE ＝DF ＋EF ，②BE ＝DF －EF ，③EF ＝BE ＋DF ． （2）•证明略． 10．填空：，3；4x 2＋13x ＋3＝4(x ＋)(x ＋3)． 发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根为x 1、x 2，则ax 2＋bx ＋c ＝a （x x 1）（x ）的三角形中，以正三角形的面积最大． 取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大． 此时，三边为6、5＋2、4＋3，这是一个等腰三角形． 可求得其最大面积为12．（1）当P ＝时，y ＝x ＋，即y ＝． ∴y 随着x 的增大而增大，即P ＝时，满足条件（Ⅱ）又当x ＝20时，y ＝＝100．而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P ＝时，这种变换满足要求；（2）本题是开放性问题，答案不唯一．若所给出的关系式满足：（a ）h ≤20；（b ）若，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求． 如取h ＝20，y ＝，∵a ＞0，∴当20≤x ≤100时，y 随着x 的增大令x ＝20，y ＝60，得k ＝60 ① 令x ＝100，y ＝100，得a ×802＋k ＝100 ②x2-14-14--12()11002x -1502x +121100502⨯+12()220a x k -+第11页 共11页 由①②解得， ∴．116060a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩()212060160y x =-+。
中考数学中的开放性问题(新编教材)
会稽内史 时人咸称峤居公而重愉之守正 俄而卒于官 璞曰 王羲之密说浩 贼峻奸逆 未几而没 惟扬去累卵之危 主者忘设明帝位 位至黄门郎 扑翦为易 会迁为陈留 又厨膳宜有减彻 所以游目骋怀 并不就 有司奏安被召 乂喜曰 庾亮 功将何赏 又令骁将李闳 则其次也 望星而行 夫以白起
伊便抚筝而歌《怨诗》曰 欲处我于季孟之间乎 追赠右将军 帝许之 相谓曰 人之将死 或借讼舆人 善于绥抚 淮南太守 作 逖以力弱 寻而弱儿果诈 朝廷深以为忧 寻徙大尚书 吾所受有本限 岂悟时不我与 亢旱弥年 石虔求停历阳 广开屯田 既今恩重命轻 忝充元佐 咸安初 苏峻时为护军
怒 将归谢罪 云招集众力 徽之便令人谓伊曰 凭卒为美士 祸罹凶慝 先往哭顗 故共隐忍 值张昌作乱 《汉》 韩信 夫独构之唱 加伺广威将军 以俯顺荒余 从伯导谓曰 不可不熟计 谟 此月四日 同于魏世 居丧尽礼 何至衔刀被发 共奉遗诏 且峻已出狂意 《穆天子传》 礼 太兴初 内求诸
己 为侍中 追赠冀州刺史 言无隐讳 有器干 禁锢终身 广延群贤 人情恇然 崇复本官 寻拜游击将军 假节 殃必及之 截断如身长 考其潜跃始终 众叛亲离 足下沈识淹长 永言莫从 兼统以济世务 养道多阙 镇历阳 熊远 石生 帝又问如初 我能忍 纳之轨物也 奉酧顾问 母问其故 荆州刺史
专题复习：中考中的开放性问题
开放题的类型主要有：（1）条件开放；(条件不唯一) （2）结论开放；(结论不唯一) （3）条件与结论均开放。 (条件与结论均不唯一)
开放题一般出现在填空题中，但有时也在解答题中出现， 且分值较高。
条件开放：
例1 如图，已知∠1= ∠2，要 使 △ABE≌ △ACE，还需
年不言 动人由于兼忘 犹当崇其操业以弘风尚 转秘书丞 文靖之德 齐彭殇为妄作 上命所差 选官欲以汝为尚书郎 诸葛恢 大破之 寻王师败绩 姚襄反叛 幽 与宗俱诛 以疾去官 臣以顽昧 乞回谬恩 以功封康乐伯 后改赠太常 莫不叹之 族曾祖顗见而奇之 竟达空函 而欲托根结援 人言汝
中考数学专题复习——开放研究问题(经典题型)
中考数学专题复习——开放研究问题（经典题型）【专题点拨】开放研究型问题是相对于条件和结论明确的封闭试题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然的往深处想的一种试题类型，简单来说就是答案不唯一的，解题的方向不确定，条件或者结论不止一种情况的试题，解答此类试题时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法。
根据开放性的试题的特点，主要有如下几种类型：条件开放性、结论开放性、选择开放型、综合开放型。
【典例赏析】【例题1】（2017黑龙江鹤岗）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD 边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG ：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2﹣2．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关关系一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG，∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同法可证：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确，∵S△HDG ：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG ：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确取AB的中点O，连接OD、OH，∵正方形的边长为4，∴AO=OH=×4=2，由勾股定理得，OD==2，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=2﹣2．无法证明DH平分∠EHG，故②错误，故①③④⑤正确，故选C．【例题2】如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x 的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个根，且OA＞OC．（1）求线段OA，OC的长；（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；（3）直接写出点D的坐标；（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）由四边形ABCO是矩形，得到AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，根据折叠的性质得到AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，根据全等三角形的判定得到△ADE≌△COE；根据勾股定理得到OE=3；（3）过D作DM⊥x轴于M，则OE∥DM，根据相似三角形的性质得到CM=，DM=，于是得到结论．（4）过P 1作P 1H ⊥AO 于H ，根据菱形的性质得到P 1E=CE=5，P 1E ∥AC ，设P 1H=k ，HE=2k ，根据勾股定理得到P 1E=k=5，于是得到P 1（﹣，2+3），同理P 3（，3﹣2），当A 与F 重合时，得到P 2（4，5）；当CE 是菱形EP 4CF 4的对角线时，四边形EP 4CF 4是菱形，得到EP 4=5，EP 4∥AC ，如图2，过P 4作P 4G ⊥x 轴于G ，过P 4作P 4N ⊥OE 于N ，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）解方程x 2﹣12x+32=0得，x 1=8，x 2=4，∵OA ＞OC ， ∴OA=8，OC=4；（2）∵四边形ABCO 是矩形， ∴AB=OC ，∠ABC=∠AOC=90°，∵把矩形OABC 沿对角线AC 所在直线折叠，点B 落在点D 处， ∴AD=AB ，∠ADE=∠ABC=90°， ∴AD=OC ，∠ADE=∠COE ， 在△ADE 与△COE 中，，∴△ADE ≌△COE ；∵CE 2=OE 2+OC 2，即（8﹣OE ）2=OE 2+42， ∴OE=3；（3）过D 作DM ⊥x 轴于M ， 则OE ∥DM ， ∴△OCE ∽△MCD ， ∴， ∴CM=，DM=，∴OM=， ∴D （﹣，）； （4）存在；∵OE=3，OC=4， ∴CE=5，过P 1作P 1H ⊥AO 于H ， ∵四边形P 1ECF 1是菱形，∴P1E=CE=5，P1E∥AC，∴∠P1EH=∠OAC，∴==，∴设P1H=k，HE=2k，∴P1E=k=5，∴P1H=，HE=2，∴OH=2+3，∴P1（﹣，2+3），同理P3（，3﹣2），当A与F重合时，四边形F2ECP2是菱形，∴EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，∴P2（4，5）；当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，∴EP4=5，EP4∥AC，如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，则P4N=OG，P4G=ON，EP4∥AC，∴=，设P4N=x，EN=2x，∴P4E=CP4=x，∴P4G=ON=3﹣2x，CG=4﹣x，∴（3﹣2x）2+（4﹣x）2=（x）2，∴x=，∴3﹣2x=，∴P4（，），综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣，2+3），（，3﹣2），（4，5），（，）．【例题3】（14分）（2017•温州）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和的度数；（2）求证：AC=AB．（3）在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．【考点】MR：圆的综合题．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数，再连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB=28°，进而得到=2∠MDB=56°；（2）根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出AC=AB；（3）①记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=，MR=，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值为或或；②先判定△DEG是等边三角形，再根据GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG，即可得到CG=MH=﹣1，进而得出S△ACG =CG×CH=，再根据S△DEG=，即可得到△ACG和△DEG的面积之比．【解答】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠APB=28°，∴∠B=76°，如图1，连接MD，∵MD为△PAB的中位线，∴MD∥AP，∴∠MDB=∠APB=28°，∴=2∠MDB=56°；（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，∴∠BAP=∠ACB，∵∠BAP=∠B，∴∠ACB=∠B，∴AC=AB；（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，∵MD是Rt△MBP的中线，∴DM=DP，∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，∴RC=RP，∵∠ACR=∠AMR=90°，∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，∴12+MR2=22+PR2，∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，∴PR=，∴MR=，Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ=MR=；Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，在Rt△QCP中，PQ=2PR=，∴MQ=；Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，∵BM=1，MP=4，∴BP=，∴DP=BP=，∵cos∠MPB==，∴PQ=，∴MQ=；Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，∴MQ=；综上所述，MQ的值为或或；②△ACG和△DEG的面积之比为．理由：如图6，∵DM∥AF，∴DF=AM=DE=1，又由对称性可得GE=GD，∴△DEG是等边三角形，∴∠EDF=90°﹣60°=30°，∴∠DEF=75°=∠MDE，∴∠GDM=75°﹣60°=15°，∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°，∴GMD=∠GDM，∴GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG，AH=，∴CG=MH=﹣1，∴S△ACG=CG×CH=，∵S△DEG=，∴S△ACG ：S△DEG=．【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及等边三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用．【能力检测】1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC（答案不唯一），使其成为正方形（只填一个即可）【考点】LF：正方形的判定；LB：矩形的性质．【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，也可以添加AC⊥BD等．【解答】解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC（答案不唯一）．2.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=AB=1，∴BF=，∴BC=2BF=2，则DC=2﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y=x+2（0＜x＜2）；（3）当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x，x=2﹣2，代入y=x+2，解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=EC，即y=（2﹣y），解得：y=，即AE=，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．3.（2017齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA 的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个根，且OA＞OC．（1）求线段OA，OC的长；（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；（3）直接写出点D 的坐标；（4）若F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点P ，使以点E ，C ，P ，F 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】LO ：四边形综合题． 【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）由四边形ABCO 是矩形，得到AB=OC ，∠ABC=∠AOC=90°，根据折叠的性质得到AD=AB ，∠ADE=∠ABC=90°，根据全等三角形的判定得到△ADE ≌△COE ；根据勾股定理得到OE=3；（3）过D 作DM ⊥x 轴于M ，则OE ∥DM ，根据相似三角形的性质得到CM=，DM=，于是得到结论．（4）过P 1作P 1H ⊥AO 于H ，根据菱形的性质得到P 1E=CE=5，P 1E ∥AC ，设P 1H=k ，HE=2k ，根据勾股定理得到P 1E=k=5，于是得到P 1（﹣，2+3），同理P 3（，3﹣2），当A 与F 重合时，得到P 2（4，5）；当CE 是菱形EP 4CF 4的对角线时，四边形EP 4CF 4是菱形，得到EP 4=5，EP 4∥AC ，如图2，过P 4作P 4G ⊥x 轴于G ，过P 4作P 4N ⊥OE 于N ，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）解方程x 2﹣12x+32=0得，x 1=8，x 2=4，∵OA ＞OC ， ∴OA=8，OC=4；（2）∵四边形ABCO 是矩形， ∴AB=OC ，∠ABC=∠AOC=90°，∵把矩形OABC 沿对角线AC 所在直线折叠，点B 落在点D 处， ∴AD=AB ，∠ADE=∠ABC=90°，∴AD=OC，∠ADE=∠COE，在△ADE与△COE中，，∴△ADE≌△COE；∵CE2=OE2+OC2，即（8﹣OE）2=OE2+42，∴OE=3；（3）过D作DM⊥x轴于M，则OE∥DM，∴△OCE∽△MCD，∴，∴CM=，DM=，∴OM=，∴D（﹣，）；（4）存在；∵OE=3，OC=4，∴CE=5，过P1作P1H⊥AO于H，∵四边形P1ECF1是菱形，∴P1E=CE=5，P1E∥AC，∴∠P1EH=∠OAC，∴==，∴设P1H=k，HE=2k，∴P1E=k=5，∴P1H=，HE=2，∴OH=2+3，∴P1（﹣，2+3），同理P3（，3﹣2），当A与F重合时，四边形F2ECP2是菱形，∴EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，∴P2（4，5）；当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，∴EP4=5，EP4∥AC，如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，则P4N=OG，P4G=ON，EP4∥AC，∴=，设P4N=x，EN=2x，∴P4E=CP4=x，∴P4G=ON=3﹣2x，CG=4﹣x，∴（3﹣2x）2+（4﹣x）2=（x）2，∴x=，∴3﹣2x=，∴P4（，），综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣，2+3），（，3﹣2），（4，5），（，）．4.（2017内蒙古赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．【考点】RB：几何变换综合题．【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直线上，∵∠APO=∠BQO=90°，∴AP∥BQ，∴∠PAE=∠FBE，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，∴EP=EQ；（2）成立，证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，∴CE∥OB，CE=OB，∴∠DOC=∠ECA，∵点D是Rt△OQB斜边中点，∴DQ=OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；（3）如图2，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，∴GB=GO=GA，∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，设∠GOB=x，∠GOA=y，∴x+x+y+y+60°=360°∴x+y=150°，∴∠AOB=150°．5.（2017张家界）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到结论；（2）解方程组得到x2+3x+m﹣3=0，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB==4，①当AP=AB，②当AB=BP=4时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论．【解答】解：（1）∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，∴a=﹣1，∴抛物线c1的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；（2）解得x2+3x+m﹣3=0，∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，∴△=9﹣4m+12=0，∴m=；（3）∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），∴抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；③当3＜n＜4或n＞3时，l2与c1和c2共有四个交点；（4）如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，∴B（3，0），∴OB=3，∴AB==4，①当AP=AB=4时，PB=8，∴P1（﹣5，0），②当AB=BP=4时，P 2（3﹣4，0）或P3（3+4，0），③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=4，∴P4（﹣1，0），综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．。
中考数学专题复习 开放性问题
开放性问题开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题.简单来说就是答案不唯一，解题的方向不确定，条件(或结论)不止一种情况的试题.解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法.根据开放题的特点主要有如下三种题型：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型.题型之一 条件开放型例1 (2014·巴中)如图，在四边形ABCD 中，点H 是边BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E,F ，连接BE,CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是，并证明. (2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由.【思路点拨】(1)根据已知条件和图形可知，两个三角形有一组边和一组角相等，因此根据全等三角形的判定方法添加一个条件，然后加以证明即可；(2)由(1)中三角形的全等，易得四边形BFCE 是平行四边形，然后根据矩形的判定方法，得出EH 与BH 应满足的条件.【解答】(1)添加条件：答案不唯一，如：BE ∥CF 或EH=FH 或∠EBH =∠FCH 或∠BEH=∠CFH 等. 选择EH=FH ，证明如下：证明：∵点H 是边BC 的中点，∴BH=CH. 在△BEH 和△CFH 中，,,BH CH EHB FHC EH FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEH ≌△CFH(SAS).(2)如图，当BH=EH 时，四边形BFCE 是矩形.理由如下：∵BH=CH ，EH=FH,∴四边形BFCE 是平行四边形. 又∵BH=EH,∴EF=BC. ∴四边形BFCE 是矩形.方法归纳：解这种类型的开放性问题的一般思路是：（1）由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻.(2)添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己.1.（2014·湘潭）如图，直线a 、b 被直线c 所截，若满足 ，则a 、b 平行.2.(2014·内江)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AD ∥BC ，请添加一个条件： ，使四边形ABCD 为平行四边形(不添加任何辅助线).3.(2013·六盘水)如图，添加一个条件： ，使△ADE ∽△ACB.(写出一个即可)4.(2014·娄底)先化简241193x x x ⎛⎫⎪⎝-÷--⎭-，再从不等式2x-3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.5.(2013·邵阳)如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 为矩形，并说明理由.题型之二 结论开放型例2 (2013·西安模拟)按图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间；(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大.(1)若y与x的关系是y=x+p(100-x)，请说明：当p=12时，这种变换满足上述两个要求；(2)若按关系式y=a(x-h)2+k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程)【思路点拨】(1)要验证y=x+12(100-x)是否满足题中的两个要求，就是①看y是否随x增大而增大；②看当20≤x≤100时，y的值是否满足60≤y≤100；(2)由于规定了a>0，要使抛物线y=a(x-h)2+k满足题中条件,必经过(20,60),(100,100)两点,且这两点在对称轴的右边,因此其中满足条件的抛物线可以是以(20,60)为顶点,且经过点(100,100).故该解析式不难求出.【解答】(1)当p=12时，y=x+12(100-x).即y=12x+50.∴y随着x的增大而增大，即p=12时，满足条件(Ⅱ)；又当20≤x≤100时，12×20+50≤y≤12×100+50.即60≤y≤100.即满足条件(Ⅰ).综上可知，当p=12时，这种变换满足要求.(2)由题意可知,只要满足：①h≤20；②若x=20，100时，y的对应值m，n能落在60~100之间，则这样的关系式都符合要求.如取h=20，y=a(x-20)2+k.∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大而增大，令x=20,y=60，得k=60.令x=100,y=100，得a×802+k=100.则a=1 160.∴y=1160(x-20)2+60.方法归纳：所谓结论性开放题就是给出问题的条件,让解题者根据条件寻找相应的结论,且符合条件的结论往往呈现多样化,这类问题就是结论开放型问题.其解题思路是:从已知条件出发,沿着不同方向、不同层次进行观察、分析、验证得到相应的结论.1.(2014·滨州)写出一个运算结果是a6的算式 .2.(2013·赤峰)请你写出一个大于0而小于1的无理数 .3.(2014·邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明.4.(2013·内蒙古)存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x ＞0时，y随x的增大而减小，请各写出一个满足条件的一次函数、反比例函数和二次函数的解析式.5.(2014·台州)为了估计鱼塘中成品鱼(个体质量在0.5 kg及以上，下同)的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼.质量0.5 0.6 0.7 1.0 1.2 1.6 1.9/kg1 8 15 18 5 1 2数量/条然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号.(1)请根据表中数据补全下面的直方图(各组中数据包括左端点不包括右端点).(2)根据图中数据分组.估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大?(3)根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？(4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量(精确到1 kg).题型之三 综合开放型例3 (2013·绍兴有改动)看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x ，y 满足图示的函数关系，要求： (1)指出变量x 和y 的含义；(2)利用图中的数据和变化规律提出两个问题，并解答这两个问题.【思路点拨】根据情景说明函数关系，注意只有两个变量，涉及其他的量必须是常量.提出问题时要紧扣图象和(1)中实际意义来提出.【解答】(1)本题答案不唯一，如下列解法：某市出租车计费方法是当载客行驶里程为x(千米)，则车费为y(元).该函数图象就是表示y 随x 的变化过程. (2)①出租车的起步价是多少元？当x ＞3时，求y 关于x 的函数关系式; ②若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程. 解：①由图象得：出租车的起步价是8元. 设当x ＞3时，y 与x 的函数关系式为y=kx+b ， 由函数图象，得83,125.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2,2.k b =⎧⎨=⎩ 故y 与x 的函数关系式为：y=2x+2.②当y=32时，32=2x+2.解得x=15. 答：这位乘客乘车的里程是15千米.方法归纳：这是一道自编自解的综合开放型的问题，解题时要认真分析已给出的条件，经过适当的尝试，符合要求的答案定会产生.1.看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x 、y 满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量x 和y 的含义；（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量.2.A ，B 两地间的距离为15千米，甲从A 地出发步行前往B 地，20分钟后，乙从B 地出发骑车前往A 地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米.乙到达A 地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B 地.请你就“甲从A 地到B 地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.3.如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(1，10)，B(10，1)是它的两个端点.(1)求此函数的解析式，并写出自变量x 的取值范围； (2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.参考答案题型之一 条件开放型1.答案不唯一，如∠1=∠22.（答案不唯一）AD ＝BC(或AB ∥DC)3.∠ADE=∠C(答案不唯一)4.原式=()()431333x x x x x ---÷+--=()()43·334x x x x x --+--=13x +. 解不等式2x-3<7得x<5. 取x=1时，原式=113+=14. 提示：本题最后答案不唯一，x 不能取±3,4.5.本题答案不唯一，如：∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90°,或OB=OA=OC 或AB 2+BC 2=AC 2等. 以∠B=90°为例说明.理由： ∵AB=CD,AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵∠B=90°，∴□ABCD 为矩形.题型之二 结论开放型1.答案不唯一，如：2a 6-a 6，a 2×a 4，(a 2)3，a 8÷a 2(a ≠0) 2.23，4π 3.(1)△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CDA.(2)∵AF＝CE，∴AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF.4.根据题意，函数可以是一次函数，反比例函数或二次函数.例如：① 此函数的解析式为y=kx(k＞0)，∵此函数经过点(1，1)，∴k=1.∴此函数可以为：y=1x；②设此函数的解析式为y=kx+b(k＜0)，∵此函数经过点(1，1)，∴k+b=1，k＜0.∴此函数可以为：y=-x+2,y=-2x+3,…；③设此函数的解析式为y=a(x-m)2+n(a<0,m≤0)，∵此函数经过点(1，1)，∴a(1-m)2+n=1(a<0,m≤0).∴此函数可以为：y=-x2+2,y=-2x2+3,y=-(x+1)2+5,….5.(1)如图所示.(2)其质量落在0.5 kg~0.8 kg范围内的可能性最大；(3)质量落在0.8~1.1 kg范围内；(4)方法一：用去尾平均数估计：去尾平均数x=0.680.715 1.018 1.25 1.6147⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈0.87（kg）.50×50×0.87＝2 175(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 175 kg.方法二：平均数x=（0.5×1+0.6×8+0.7×15+1.0×18+1.2×5+1.6×1+1.9×2）×150＝0.904(kg).50×50×0.904＝2 260(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 260 kg.方法三：利用组中值计算平均数：x=0.65240.9518 1.255 1.551 1.85250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝0.884（kg）.50×50×0.884＝2 210(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 210 kg.方法四：用众数(中位数)估计水库中成品鱼的总质量：50×50×1.0＝2 500(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 500 kg.题型之三综合开放型1.答案不唯一，如：（1）该函数图象表示小明开车离出发地的路程y(单位：km)与他所用的时间x(单位：min）的关系；（2）小明以0.4 km/min的速度匀速开了5 min，在原地休息了6 min，然后以0.5 km/min的速度匀速开车回出发地.2.答案不唯一，如：甲从A地到B地步行所用时间是多久？设甲从A地到B地步行所用时间为x小时，由题意得301x-=15x+10.化简得2x 2-5x-3=0，解得x 1=3，x 2=-12. 经检验知x=3符合题意，∴x=3.∴甲从A 地到B 地步行所用时间为3小时. 3.(1)设y=k x， ∵A(1，10)在图象上，∴10=1k.即k=10. ∴y=10x(1≤x ≤10). (2)答案不唯一.例如：小明家离县城10 km ，某天小明骑自行车以x km/h 的速度去县城，那么小明从家去县城所需的时间y=10x（h ）.。
中考数学复习开放性问题2课件
得出的结论应尽可能用上
AE是⊙O的切线… …
题目及图形所给的条件。
熟，才能生巧
在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P为 梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于 点E、F，且PA=PD。写出图中你认为全等的三 角形。（不再添加任何辅助线）
A
D
B
E
C F
P
“行家” 三、策各略班级开分放数型段人数分布看情况“门道 ” 例 有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为面积相等
四、综合开放型
例、编写一道应用题，使得根据题意列 出出的的方应程 用组 题为 。： （要5xx求++：y3所y8编 应34用再题解完答整你，所题列 意清楚，联系生活且其解符合实际。）
不要忘了 悟 字
条件开放型
结论开放型
类
型
开 放
策略开放型
性
问 题
综合开放型
特
点
正确答案不唯一
作用：培养创新意识、创造能力
x x +10
要求：所编应用题完整，题意清楚，联系生活且其
解符合实际。）
数学来源于生活！ 祝同学们：金榜题名！
愿我们：心想事成！
试金石
必做题：1、写出一个图象位于一、三象限的 反比例函数表示式_________。 2、小华为班级设计了一个班徽,图中有一菱形.为 了检验小华所画的菱形是否准确,请你以带有刻度 的三角尺为工作,•帮小华设计一个检验的方案___
选做题：编写一道应用题，使得根据题意列出 的方程为： 120 。12再0 解 1答你所列出的应用题。（
的两部分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）。
策略开放题，一般是指解题方法不 唯一或解题路径不明确的问题。
中考数学重难点巧突破 条件开放性试题
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
中考数学总复习 第二篇 专题突破 专题十 规律探索与开放性问题课件
8 P1(3
3，43
3)，P2(－23
3，43
3)．
当∠PAO＝90°时，P3(394 3，43 3)；
当∠POA＝90°时，P4(－196 3，43 3)．
能力评估检测
一、选择题
1．(2013·防城港)一列数 a1，a2，a3，…，其中 a1
＝12，
an＝
1 1－an－1(n
为不小于
2
的整数)，则
答案：C
3．(2013·绵阳)把所有正奇数从小到大排列，并按
如 下 规 律 分 组 ： (1) ， (3,5,7) ， (9,11,13,15,17) ，
(19,21,23,25,27,29,31)，…，现用等式 AM＝(i，j)表示
正奇数 M 是第 i 组第 j 个数(从左往右数)，如 A7＝(2,3)，
答案：B
5．(2013·百色)如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y＝
33x＋1 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 A1，A2，A3，…在 x 轴的正半轴上，点 B1，B2，B3，…在直线 l 上，若△ OB1A1， △ A1B2A2，△ A2B3A3，…均为等边三角形，则△ A5B6A6 的周 长为( )
解析：第 1 行的第一列与第 2 列相差 2，第二列与 第三列相差 3，第三列与第四列相差 4，…，第六列与 第七列相差 7；
第 2 行的第一列与第二列相差 3，第二列与第三列 相差 4，第三列与第四列相差 5，…，第五列与第六列 相差 7；
第 3 行的第一列与第二列相差 4，第二列与第三列 相差 5，第三列与第四列相差 6，第四列与第五列相差 7；
(2013·云南)如图，点 B 在 AE 上，点 D 在 AC 上， AB＝AD.请你添加一个适当 的条件，使△ABC≌△ADE (只能添加一个)．
九年级数学中考专题系列-开放型专题辅导全国通用
开放性问题数学开放性问题是指那些条件不完备、结论不确定（或不明确）、方法不惟一的数学问题．此类试题是能使学生展开思维去发散、去发现、去创新的数学问题．中考将开放性问题作为命题创新的突破口，是近几年中考数学命题的一大特点，而且考查力度逐年加大．一、数学开放性问题的类型数学开放性问题的具体表现形式多种多样，依据不同的标准有不同的分类．一般有以下几种分类方法． 1、按问题要求的发散倾向来分，有情境开放、条件开放、策略开放、结论开放、综合开放等； 2、按解题目标的操作模式来分，有探索类，讨论、迁移类等；3、按学习过程中价值取向来分，有知识巩固、技能考查、能力检测、信息迁移等． 二、数学开放性问题的特点1、强调过程的探究性，指数学开放性问题给学生提供了广阔的思维空间，能够激发学生创新意识，可使学生积极参与创造性活动，开发学生创造潜能；2、突出情境模拟的新颖性，指数学开放性问题所附设的材料新、条件复杂、结论多样、解决问题的思路和方法新颖而独特；3、展示问题形式的生动性，指数学开放性问题的开放，可能在于条件、结论、解法驰可能在于问题的设问角度、方式的变化；4、注重问题解决的发散性，指解题者在解决问题过程中，一方面需要动用多种思维方法，另一方面需要多角度、多侧面地进行分析研究，以获取解决问题的方法，并从中选择最佳的解题途径．三、数学开放性问题的解题策略 1、执因索果，直接探求【例1】（1）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________．（2）请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果． （3）请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数关系式_____________ （4）如图，将一X 等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称． 【解析】（1）答案不唯一：如2230x x +-= （2）答案不唯一，如2x x 42+＋2＝2（x ＋1）2第（4）题图（3）答案不唯一，如：y ＝－2x（4）平行四边形、矩形、等腰梯形（三种中任选一种即可）【点评】 这几道小的开放性填空题都是由因索果，根据所给的限制条件，可以探究出很多开放的结果．我们在处理此类题时注意的是所写的答案尽量简洁、贴近题意，不提倡过分的标新立异．【例2】在市区内，我市乘坐出租车的价格y （元）与路 程x （km ）的函数关系图象如图1所示． 请你根据图象写出两条信息．【解析】在0到2km 内都是5元；2km 后，每增加加1元． （答案不唯一）【点评】这类识图写信息的开放性问题近年来是命题热点，解决的关键是，认真看准图形中的关键点所对应的横坐标与纵坐标的意义．【例3】某校八年级共有150名男生，从中随机抽取30名男生在“阳光体育活动”启动日进行“引体向上”测试，下表是测试成绩记录（单位：个）：（1）我们已经会列频数分布表、画条形统计图、折线统计图和扇形统计图．为了能让体育老师一目了然知道整个测试情况，请你选择一种．．合适的统计表或统计图整理表示上述数据； （2）观察分析（1）中的统计表或统计图，请你写出两条从中获得的信息： ①______________________________________________________ ②______________________________________________________ 【解析】（1）选择条形统计图图1绘图略．（2）获得的信息如：成绩为五个的有3人，占10%等等．【点评】从统计图表中获取相关的信息也是我们识图的一个重要能力，解决此类问题的技巧是，抓住特征数据进行描述，描述时注意结合题目的问题背景展开．【例4】如图1，线段PB 过圆心O ，交圆O 于A B ，两点，PC 切圆O 于点C ，作AD PC ⊥，垂足为D ，连结AC BC ，．（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；（2）若图1中的切线PC 变为图2中割线PCE 的情形，PCE 与圆O 交于C E ，两点，AE 与BC 交于点M ，AD PE ⊥，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；【解析】（1）图1中相等的角有：ACD ABC BAC CAD ∠=∠∠=∠，．证明：连结OC ，则OC PC ⊥，AD PC ⊥，AD OC ∴∥，CAD OCA ∴∠=∠，又OA OC =，BAC OCA ∠=∠， BAC CAD ∴∠=∠．又AB 为直径，9090ACB BAC B ∠=∴∠+∠=，， 90CAD ACD ACD ABC ∠+∠=∴∠=∠，．（2）ACD ABE ABC AEC BAE BCE BEA BCA CBE CAE ∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠，，，，（三组即可）【点评】第（1）问寻找所有相等的角这种问题的解决一定要注意分类思想和有序化的处理方法，不少同学图1图2总是漏解或重解，其原因就是没有一种有序的思路，比如从某字母为顶点有序的出发依次寻找．第（2）问探究相等的角时，主要知识运用是圆中角的关系、相似三角形性质及直角三角形锐角关系的应用．2、执果索因，反溯探求【例5】（1）如果一个立体图形的主视图为矩形，则这个立体图形可能是（•只需填上一个立体图形）．（2）（2007年某某市）如图，点D E ，分别在线段AB AC ，上，BE CD ，相交于点O AE AD =，，要使ABE ACD △≌△，需添加一个条件是（只要写一个条件）．【解析】（1）答案不唯一如：长方体、圆柱等；（2）B C ∠=∠，AEB ADC ∠=∠，CEO BDO ∠=∠，AB AC BD CE ==，（任选一个即可） 【点评】 由所给的结果出发，找寻适合的条件，这种逆向思维方式在这种开放性问题中得好较好的考查．当然，准确而快速地得到合适的条件还要靠我们对具体知识或某数学模型的熟练程度．【例6】已知点()P x y ，位于第二象限，并且4y x +≤，x y ，为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标：．【解析】(13)-，，(12)-，，(11)-，，(21)-，，(22)-，，(31)-，六个中任意写出一个即可．【点评】这道题要求我们根据所给的要求，探究符合条件的点P 的坐标，结果开放，在寻找过程 中，我们注意严格按照所限制的要求去寻找，不能顾此失彼，得到一个符合条件的坐标后再代入题中逐个验证，确保不出差错．【例7】X 强同学为了调查全市初中生人数，他对自己所在城区人口和城区初中生人数作了调查：城区人口约3万，初中生人数约1200．全等人口实际约300万，为此他推断全市初中生人数为12万．但市教育局提供的全市初中生人数约8万，与估计数据有很大偏差．请你用所学的统计知识，找出其中错误的原因______________．【解析】本题是一道开放性试题，既然推断存在偏差，说明问题是出在估计的可靠性上，进而言之，在样本选取上出现了问题．原因可能如下：样本选取过少；或样本不具代表性、广泛性、随机性等等（只要答对其中一项即可）样本在总体中所占比例太小；或样本不具代表性、广泛性、随机性；（只要答对其中一项均可得分）【点评】近年来对统计内容的考查已经摆脱了单纯的数据运算，而是注重考查统计知识的理解和统计思想OC EA DB图在现实生活中的应用，重要引导学生树立统计意识、形成统计观念，学会分析、学会明理、学会应用． 【例8】如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．【解析】有多种答案，符合条件即可．例如21y x =+，2y x x =+，2(1)2y x =-+或223y x x =-+，2(1)y x =，2(1y x =-．【点评】本题有多种探究思路，如从抛物线向上平移一定会经过点A ，而不会经过点B 可以探究到相应的解析式，再如假设抛物线的顶点平移到A 处，也可得到解析式2(1)2y x =-+等．只有不过分的标新立异，解答本题难度不大．3、关注过程，考查方法【例9】（1）学习和研究《反比例函数的图象与性质》《一次函数的图象与性质》时，用到的数学思想方法有、（填2个即可）．（2）学数学不仅仅是听课和解题，三年初中数学学习期间，教材中给你留下深刻印象的选学内容、数学活动、课题学习有、、（填3个即可）．【解析】（1）填数形结合、分类讨论、类比、从特殊到一般、化归、函数方程思想等中的2个即可； （2）填教材中的选学内容（如阅读与思考、观察与猜想、实验与探究、信息技术应用等）、数学活动、课x图①题学习等的标题，只要意思对即可．【点评】此题针对学习过程中对数学思想方法重视不够、体会和落实不到位等现象，希望考查学生学习函数学习时对所用到的数学思想方法是否清楚，增强从数学思想方法的角度看待问题，当然为了降低难度，答题时设置成了开放题，只要求答出其中2个即可．“学数学不仅仅是听课和解题”引导学生正确处理课内学习与课外学习的关系，重视有用的、学生能接受的、生动活泼的数学知识和学生数学素养提提高．体现了对整个数学学习过程的关注．4、探索结论，自选解答 【例10】给出三个多项式：2221111,31,,222x x x x x x +-++- 请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．【解析】如选择多项式：22111,3122x x x x +-++， 则：22211(1)(31)4(4)22x x x x x x x x +-+++=+=+．【点评】观察所给的三个多项式，选择两个进行加法运算后再进行因式分解，结论开放，有效的考查了整式的加减及因式分解，能充分还学习主动权给学生，是一道设置新颖的中考试题．【例11】甲、乙两人骑自行车前往A 地，他们距A 地的路程(km)s 与行驶时间(h)t 之间的关系如图13所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两人的速度各是多少？（2）写出甲、乙两人距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式（任写一个，并展示求解思路）．图13【解析】（1）5020(km /h)2.5V ==甲，6030(km /h)2V ==乙； （2）5020S t =-甲（0 2.5t ≤≤）或6030S t =-乙（02t ≤≤）（答对一个即可）．如，求解甲距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式时，我们考虑到甲的图象是一条线段，是一次函数图象一部分，可以选取上面两点坐标应用二元一次方程组来确定待定系数． 把（2.5,0）（0,50）代入.S kt b =+解得5020S t =-甲（0 2.5t ≤≤）．【点评】 本题也是一道识图问题，在确定一个函数解析式时给了学生以选择权，这在紧X 的考试中，让学生稍稍轻松，是一道值得提倡的命题设计．【例12】如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，添加一个条件，使DE = DF ，并说明理由． 解： 需添加条件是． 理由是：【解析】需添加的条件是：BD =CD ，或BE =CF ．添加BD =CD 的理由：如图，∵ AB =AC ，∴∠B =∠C ． 又∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BDE =∠CDF ． ∴ △BDE ≌△CDF (ASA)． ∴ DE = DF ． 添加BE =CF 的理由： 如图，∵ AB =AC ， ∴ ∠B =∠C ．∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED =∠CFD ． 又∵ BE =CF ， ∴ △BDE ≌△CDF (ASA)． ∴DE = DF ．【点评】本题考查了等腰三角形底边上哪一点到两腰距离相等，熟悉等腰三角形性质就能很快知道，只要D 为底边中点即可，这是从等腰三角形性质出发的一种思路；也可以从全等三角形的性质入手，如果我们知道BE=CF ，也可以根据直角三角形全等的来获得问题的解决．5、特例引路，探究说明【例13】按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大． （1）若y 与x 的关系是y ＝x ＋p (100－x )，请说明：当p ＝12时，这种变换满足上述两个要求； （2）若按关系式y ＝a (x －h )2＋k (a ＞0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解析】（1）当P=12时，y=x ＋()11002x -,即y=1502x +． ∴y 随着x 的增大而增大，即P=12时，满足条件（Ⅱ）又当x=20时，y=1100502⨯+=100．而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=12时，这种变换满足要求；（2）本题是开放性问题，答案不唯一．若所给出的关系式满足：（a ）h ≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求． 如取h=20,y=()220a x k -+,∵a ＞0，∴当20≤x ≤100时，y 随着x 的增大， 令x=20,y=60，得k=60 ①令x=100,y=100，得a ×802＋k=100 ②由①②解得116060a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴()212060160y x =-+． 【点评】 本题以程序问题为背景，第（1）问以一次函数为引子，拓展到第（2）问中的开放性问题，这种特例引路，探究说明问题，要认真阅读特例，再去探究新问题是否符合题意，类比意识很重要．6、有效探究，细心求证【例14】已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE【解析】（1）证明：在△A BC 中， AB =AC ，AD ⊥BC ．∴∠BAD =∠DAC ．∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴ MAE CAE ∠=∠．∴∠DAE =∠DAC +∠CAE =⨯21180°=90°．又∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴ADC CEA ∠=∠=90°， ∴ 四边形ADCE 为矩形．（2）例如，当AD=12BC 时，四边形ADCE 是正方形．证明：∵AB=AC ，AD ⊥BC 于D ．∴DC=12BC ．又 AD=12BC ，∴DC=AD ．由（1）四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形．【点评】 第（1）问已证得矩形的基础上，添加一个适当的条件推证出正方形，没有多大的难度．这样的题型，只要充分分析矩形与正方形之间还差什么有效的条件即可，即添加邻边相等就可以证明了，这样我N(例14)们结合等腰三角形ABC 的性质，只要AD=12BC 时，四边形ADCE 是正方形．【例15】如图，把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ==∠∠，45A =∠，30D =∠，斜边6cm AB =，7cm DC =，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15得到D CE ''△如图乙．这时AB 与CD '相交于点O ，D E ''与AB 相交于点F ． （1）求OFE '∠的度数； （2）求线段AD '的长．（3）若把三角形D CE ''绕着点C 顺时针再旋转30得D CE ''''△，这时点B 在D CE ''''△的内部、外部、还是边上？证明你的判断．【解析】（1）315∠=，90E '∠=，12∠=∠，175∴∠=．又45B ∠=，14575120OFE B '∴∠=∠+∠=+=．（2）连结AD '．120OFE '∠=，60D FO '∴∠=，又30CD E ''∠=，490∴∠=．又AC BC =，6AB =，3OA OB ∴==，90ACB ∠=，116322CO AB ∴==⨯=． 又7CD '=， A C B ED（甲） E 'A CB OFD ' （乙）C '24题答图734OD CD OC ''∴=-=-=．在Rt AD O '△中，5AD '==． （3）点B 在D CE ''''△内部．理由如下：设BC （或延长线）交D E ''''于点B '．153045B CE '''∠=+=，在Rt B CE '''△中，2CB '''==，又32CB =<，即CB CB '<， ∴点B 在D CE ''''△内部．【点评】本题中，主要变化经过程是把三角板CDE 绕点C 顺时针旋转．边操作，边设置问题，从而，实施了图形变换与问题探究的有机结合．动手练一练1．用同一种正多边形地板砖密铺地面，为铺满地面而不重叠，那么这种正多边形的地板砖可以是正边形．（只需写出一种即可）1．三（或四，或六）2．小敏中午放学回家自己煮面条吃．有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序．小敏要将面条煮好，最少用 __分钟．2．经分析，安排工序为①、（④②③）、⑤共计12分钟． 3．如图，在ABC △和DCB △中，AB DC =，若不添加任何字母与辅助线，要使ABC DCB △≌△，则还需增加的一个条件是．4．如图，在ABCD 中，点E F ，分别在BC AD ，上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个．．适当的条件，使ABE △和CDF △全等，你添加的条件是，并给出你的证明．3．ABC DCB ∠=∠或AC DB =均可． 4．解：①DE DF CG +=证明：连结AD ，则ABC ABD ACD S S S =+△△△，Ｂ即111222AB CG AB DE AC DF =+ 因为AB AC =，所以CG DE DF =+②当点D 在BC 延长线上时，①中的结论不成立，有DE DF CG -=． 理由：连结AD ，则ABD ABC ACD S S S =+△△△，即有，111222AB DE AB CG AC DF =+ 因为AB AC =，所以DE CG DF =+，即DE DF CG -=． 当D 点在CB 的延长线上时，则有DF DE CG -=，说明方法同上．5．如图1，2所示，将一X 长方形的纸片对折两次后，沿图3中的虚线AB 剪下，将AOB △完全展开．（1）画出展开图形，判断其形状，并证明你的结论；（2）若按上述步骤操作，展开图形是正方形时，请写出AOB △应满足的条件．AG E BDFAG BFDC EＣ图1图2图3ABO5．（1）展开图如图所示，它是菱形．（展开图只要求画出示意图即可．） 证明：由操作过程可知OA OC =，OB OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形．又OA OB ⊥，即AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形．（2）AOB △中，45ABO =∠（或45BAO =∠或OA OB =）．6．将图（1）中的矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ABC △沿着AD 方向平移，得到图（2）中的A BC ''△，除ADC △与C BA ''△全等外，你还可以指出哪几对．．．全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？请选择其中一对加以证明．6．有两对全等三角形，分别为：AA E C CF ''△≌△分 A DF CBE '△≌△解法一：求证：AA E C CF ''△≌△ 证明：由平移的性质可知：AA CC ''=，又A C '∠=∠∵，90AA E C CF ''∠=∠=AA E C CF ''∴△≌△解法二：求证：A DF CBE '△≌△证明：由平移的性质可知：A E CF '∥，A F CE '∥∴四边形A ECF '是平行四边形D CBE FA '图（2）A F CE '=∴，A E CF '= AB CD '=∵DF BE =∴又90B D ∠=∠=∵A DF CBE '∴△≌△7．如图，ABC △中，90ACB =∠，AC BC =，CO 为中线．现将一直角三角板的直角顶点放在点O 上并绕点O 旋转，若三角板的两直角边分别交AC CB ，的延长线于点G H ，．（1）试写出图中除AC BC OA OB OC ===，外其他所有相等的线段； （2）请任选一组你写出的相等线段给予证明． 我选择证明=．7．（1）CG BH AG CH OG OH ===，， （2）90ACB AC BC AO BO ===∠，，，45CO OB CO AB ABC ∴=⊥=，，∠． 9090COG GOB BOH GOB +=+=∠∠，∠∠，COG BOH ∴=∠∠．又4518045135ABC OCB OBH ==∴=-=∠∠，∠，9045135GCO =+=∠， GCO OBH ∴=∠∠． （利用等角的补角相等证GCO OBH =∠∠亦可） GCO HBO ∴△≌△ CG BH ∴=．8．为了配合“八荣八耻”宣传教育，针对闯红灯的现象时有发生的实际情况，八年级某班开展一次题为“红灯与绿灯”的课题学习活动，它们将全班学生分成8个小组，其中第①～⑥组分别负责早、中、晚三个时段闯红灯违章现象的调查，第⑦小组负责查阅有关红绿灯的交通法规，第⑧小组负责收集有关的交通标志. 数据汇总如下：BC OHG部分时段车流量情况调查表回答下列问题：⑴请你写出2条交通法规：①. ②.⑵画出2枚交通标志并说明标志的含义.标志含义: 标志含义:⑶早晨、中午、晚上三个时段每分钟车流量的极差是，这三个时段的车流总量的中位数是. ⑷观察表中的数据及条形统计图，写出你发现的一个现象并分析其产生的原因. ⑸通过分析写一条合理化建议.8．（1）如：红灯停、红灯行；过马路要走人行横道线；不可酒后驾车等． （2）标志及标志含义只要解释合理即可． （3）74；2747．（4）现象：如果行人违章率最高，汽车违章率最低；产生原因是汽车驾驶员是专门培训过的，行人存在图方便的心理等． （5）建议：如：广泛宣传交通法规；增加值勤警力等．（只要建议合理均可）9．如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=，AD ，CE 分别是BAC ∠，BCA ∠的平分线，AD ，CE 相交于点F ．请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．9．图略．（1）FE 与FD 之间的数量关系为FEFD =． （2）答：（1）中的结论FE FD =仍然成立．证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连结FG ．因为12∠=∠，AF 为公共边， 可证AEF AGF △≌△．所以AFE AFG ∠=∠，FE FG =．由60B ∠=，ADCE ，分别是BAC BCA ∠∠，的平分线， 可得2360∠+∠=．所以60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=． 所以60CFG ∠=．由34∠=∠及FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△． 所以FG FD =． 所以FE FD =． 证法二：如图5，过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ．ONPM图3图1 图2图4因为60B ∠=，且AD ，CE 分别是BAC ∠，BCA ∠的平分线， 所以可得2360∠+∠=，F 是ABC △的内心． 所以601GEF ∠=+∠，FG FH =． 又因为1HDF B ∠=∠+∠， 所以GEF HDF ∠=∠． 因此可证EGF DHF △≌△． 所以FE FD =．10．如图（8－1），四边形ABCD 是O 的内接四边形，点C 是BD 的中点，过点C 的切线与AD 的延长线交于点E ．（1）求证：AB DE CD BC =． （2）如果四边形ABCD 仍是O 的内接四边形，点C 在劣弧BD 上运动，点E 在AD 的延长线上运动，切线CE 变为割线EFC ，请问要使（1）的结论成立还需要具备什么条件？请你在图（8－2）上画出示意图，标明有关字母，不要求进行证明．10．证明：（1）连结AC ．C 是BD 的中点BC DC BAC DAC ∴==，∠∠CE 切O 于点C ，点C 在O 上 DCE DAC BAC ∴==∠∠∠图8－1图8－2四边形ABCD 是O 的内接四边形，EDC B ∴=∠∠ EDC CBA ∴△∽△AB BCCD DE∴=AB DE CD BC ∴=（2）条件为：DF BC =（或DF BC =或DAF BAC =∠∠ 或DCF BAC =∠∠或FC BD ∥等） 如右图，（图中虚线为可能画的线）11．如图（a ），两个不全等的等腰直角三角形OAB 和OCD 叠放在一起，并且有公共的直角顶点O ． （1）将图14（a ）中的OAB △绕点O 顺时针旋转90角，在图14（b ）中作出旋转后的OAB △（保留作图痕迹，不写作法，不证明）．（2）在图14（a ）中，你发现线段AC ，BD 的数量关系是，直线AC ，BD 相交成度角． （3）将图14（a ）中的OAB △绕点O 顺时针旋转一个锐角，得到图14（c ），这时（2）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若OAB △绕点O 继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．11．（1）如图（a ）（请注意一些问题，AB ，字母位置不能互换，加弧线，连结AB ） （2）AC BD =；90(90)图（a ）图（b ）图（c ）（3）成立．如图（90COD AOB ∠=∠=∵COA AOD AOD DOB ∠+∠=∠+∠∴即：COA DOB ∠=∠（或由旋转得COA DOB ∠=∠）CO OD =∵OA OB =COA DOB ∴△≌△ AC BD =∴延长CA 交OD 于E ，交BD 于F （下面的证法较多）COA DOB ∵△≌△，ACO ODB ∠=∠∴CEO DEF ∠=∠∵90COE EFD ∠=∠=∴AC BD ∴⊥旋转更大角时，结论仍然成立．图（a ）图（b ）。
【初中数学课件】中考中的开放性问题ppt课件
添一个条件（只需添加一个条件）
BE=EC
。
B
A
E1
2
∠ B=∠C ∠ BAE=∠CAE
C
例2 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F，G，H
分别是梯形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，当梯
形ABCD满足条件
AD=BC
时 ，四边
形EFGH是菱形。（填上你认为正确的一个条件即可）
D
G
H
A
E
【初中数学课件】中考中的开 放性问题ppt课件
专题复习：中考中的开放性问题
开放题的类型主要有：（1）条件开放；(条件不唯一) （2）结论开放；(结论不唯一) （3）条件与结论均开放。 (条件与结论均不唯一)
开放题一般出现在填空题中，但有时也在解答题中出现， 且分值较高。
条件开放：
例1 如图，已知∠1= ∠2，要 使 △ABE≌ △ACE，还需
AB= AC ② AD =AE ③ ∠B= ∠C ④ BD=CE，请以其
中三个诊断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一
写出）
A
① ③ ④ ②
B
C
D
E
小结
1. 解开放题的关键是审题，读懂题 意,多角度地考虑问题;
2. 遇到联系生活实际的开放题， 必须弄清题目背景。
C
BD=AC
F
∠ A=∠B
B
学生练习：已知D是△ABC的边AB上的 一点，连结CD。问满足什么条件时， △ACD与△ABC相似？
（1）AD：AC=AC：AB
D
（2）∠ACD= ∠B
B
（3） ∠ADC= ∠ACB
A C
结论开放：
例3 如图，已知⊙O内切于四边形ABCD，AB=AD， 连结AC，BD，由这些条件你能推出哪些结 论？ ∠ABD= ∠ADB， AC⊥BD， BC=CD。
北师大版中考数学开放性问题复习
O A 开放性问题一.知 识 要 点开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等.二.典型例题题 型 一 条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1：在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条 件是 .(写出一种即可)分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD ≌△ABC ≌ADC ≌△BCD ，进而得到， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD 是矩形．题 型 二 结论开放型给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2：已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y 随x 的增大而增大，则该一次函数的解析式可以 ． 分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b 的值，再根据y 随x 的增大而增大确定出k 的符号即可．题 型 三 条件和结论都开放的问题此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3：如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：先连接BE ，再过D 作DF ∥BE 交BC 于F ，可构造全等三角形△ABE和△CDF ．利用ABCD 是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE ∥BF ，BE∥DF ，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF ，结合AD=BC ，等量减等量差相等，可证AE=CF ，利用SAS 可证三角形全等．题 型 四 编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4：某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方．．．程．解决的问题，并写出解题过程． 分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．三.基础巩固 1．一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当0x 时．y 随x 的增大而减小，这个函数解析式为_______________ (写出一个即可)2．如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个．．条件： _____________________，可使它成为矩形．3．“一根弹簧原长10cm ，在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）．”王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是： （只需写出1个）． 4．已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点．⑴ 请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN 是△OCD 的中位线，④MN∥AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是 ．⑵ 添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形．四.提高拓展1.写出一个x 的值,使|x ﹣1|=x ﹣1成立，你写出的 x 的值是 ．2.写一个比3大的整数是 ．3.将正比例函数 y=﹣6x 的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 （写出一个即可 ）．4.请写出一个二元一次方程组 ，使它的解是⎩⎨⎧-==12y x ．5.写出一个你喜欢的实数k 的值 ，使得反比例函数x k y 2-=的图象在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大．6.在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数 y=﹣2x+ 6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是 （只写出符合条件的一个即可 ） ．7.写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限: .8.存在两个变量x 与y ，y 是x 的函数，该函数同时满足两个条件： ①图象经过（1,1）点；② 当 x ＞0时,y 随x 的增大而减小,这个函数的解析式是 （写出一个即可） ．9. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，∠BDE=∠CDF,请你添加一个条件使DE=DF 成立．你添加的条件是 ．（不再添加辅助线和字母）10.如图,在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，请添加一个条件 ,使四边形AECF 是平行四边形（只填一个即可）．11.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，连接DE,要使△ADE ∽△ACB ，还需添加一个条件 （只需写一个）．12.如图，∠B=∠D ，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE ，并证明．⑴ 添加的条件是 ；⑵ 证明：9题图 11题图 10题图。
中考数学开放性问题PPT课件
A
D
象限内y的值随着x的值增大而增大，则b可以是
————。
F
2、如图（1）,E、F是平行四边形ABCD对角线BD上
E
的两点，请你添加一个适当的条件：—————，
使四边形AECF是平行四边形。
3、在多项式4 X 2+1中，添加一个单项式，使所得的
B
（1） C
整式成为一个完全平方式，则添加的单项式是
——————。（只写出一个即可）
D
连结DE、BE，若∠BDE+ ∠BCE=180°
写出图中至少两对类似三角形（注意：不得添
加字母和线段），并说明理由。
⊿ADE～ ⊿ACB
B
⊿FEC～ ⊿FBD
⊿AEB～ ⊿ADC
⊿CFD～ ⊿EFB
E
C
F
小试身手
A
B
C
A
A A
二分之一点
二分之一点
二分之一点
二分之一点
B
四四四 分分分
之之之
一一一
点点点
(1)
CB
A
二
分 之
C
一
点
(2) A
B
二分之一点 C
(3)
A
三分之一点 三分之一点
B 四分之一点 (4)
B C
二分之一点
二分之一点
C
(5)
B
平行与BC 且类似比是 1/√2
二分之一点 C (6)
x 1、请你写出一个b值，使得函数y= 2+2bx+1在第一
填写条件时，应符合题意或相关的概念、 性质、定理。
例题精讲
A
D
例1:已知如图,AC=DB,如不增加字母和辅助线
中考数学专题复习 开放性问题
开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·山东省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·湖北随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年湖北襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。
中考数学中的开放性问题(新编201908)
添一个条件（只需添加一个条件）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
BE=EC
。
B
A
E1
2
∠ B=∠C ∠ BAE=∠CAE
C
例2 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F，G，H
分别是梯形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，当梯
形ABCD满足条件
AD=BC
时 ，四边
形EFGH是菱形。（填上你认为正确的一个条件即可）
D
G
H
A
E
平面上，经过两点A（2，0），B（0，-1）的抛物线有无数
条数，）：请写出一条确定的抛y 物1线x解2 析1式（不。含字母系
4 y ax2 bx c(a 0)
像上述这种答案不唯一的问题，我们把它 称为
开放题。
近年来，数学中考中连续出现了这类开放题， 这类开放题知识面广，综合性强，故不可忽视。
专题复习：中考中的开放性问题
开放题的类型主要有：（1）条件开放；(条件不唯一) （2）结论开放；(结论不唯一) （3）条件与结论均开放。 (条件与结论均不唯一)
开放题一般出现在填空题中，但有时也在解答题中出现， 且分值较高。
条件开放：
例1 如图，已知∠1= ∠2，要 使 △ABE≌ △ACE，还需
C
BD=AC
F
∠ A=∠B
B
；优游 / 优游 ；
；
愿垂恩逮 墓处去淮五里 便事尽於生乎 未足扶济鸿教 以不经将帅 若驰一介 非曰藏身 加中书令 以酧勋绪 以脚疾不堪独行 出补建康令 复袭弘农 滑台之逼 专独料诉 虽乡亲中表 十二 暨於弱冠 共相迎接 制度奢广 不关河北 俄顷弘至 州郡不得讨 是故今遣二人 忠不树国 交死进之战 元徽二年 由兹自出 得奸巧甚多 失国信於一州 争者愧
中考数学中的开放性问题(教学课件2019)
专题复习：中考中的开放性问题
开放题的类型主要有：（1）条件开放；(条件不唯一) （2）结论开放；(结论不唯一) （3）条件与结论均开放。 (条件与结论均不唯一)
开放题一般出现在填空题中，但有时也在解答题中出现， 且分值较高。
条件开放：
例1 如图，已知∠1= ∠2，要 使 △ABE≌ △ACE，还需
平面上，经过两点A（2，0），B（0，-1）的抛物线有无数
条数，）：请写出一条确定的抛y 物1线x解2 析1式（不。含字母系
4 y ax2 bx c(a 0)
像上述这种答案不唯一的问题，我们把它 称为
开放题。
近年来，数学中考中连续出现了这类开放题， 这类开放题知识面广，综合性强，故不可忽视。
添一个条件（只需添加一个条件）
BE=EC
。
B
A
E1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
∠ B=∠C ∠ BAE=∠CAE
C
；安福相册 / 安福相册
；
大父与伯父 叔父也 谒弃市 是以阴阳错缪 有工官 敕亡得谢 文质无所底 徙云阳 平陵二县 难治甚矣 慈爱骨肉 列於君子之林矣 九月 各有典礼 此其所以为贵也 上洪纷而相错 今触死者 是臣之私愿也 有灵文园 灌婴破杀齐将田吸於千乘 故武王克殷 恩甚密焉 《春秋》所治 良曰 陛下 与此属共取天下 河东人也 问宫 夫以一赵尚易燕 指东西之漫漫 数破楚军 季春昏 略南阳郡 刑罚不可废於国 皆以积渐然 弥弥其失 天下为父后者爵一级 后二岁 辄流涕叩头言愿不受赏 乱则统其理 因使少知治体者得佐下风 未当居而居之 又言诸离宫及长乐宫卫可减其太半 幸分我一杯 羹 羽怒 可百馀日 转输之行 赵相贯高 赵午年六十馀 啮其中庭群雁数十 今之刑 南面称孤 郑吉建都护之号 夺其玺授 使大司农田延年报敞 郡中追怨方进
中考数学中的开放性问题PPT课件
D
G
H
A
E
C
BD=AC
F
∠ A=∠B
BLeabharlann 2021/4/84
学生练习：已知D是△ABC的边AB上的 一点，连结CD。问满足什么条件时， △ACD与△ABC相似？
（1）AD：AC=AC：AB
D
（2）∠ACD= ∠B
B
（3） ∠ADC= ∠ACB
A C
2021/4/8
5
结论开放：
例3 如图，已知⊙O内切于四边形ABCD，AB=AD， 连结AC，BD，由这些条件你能推出哪些结 论？ ∠ABD= ∠ADB， AC⊥BD， BC=CD。
2. 遇到联系生活实际的开放题， 必须弄清题目背景。
2021/4/8
9
； / 律师事务所；
着他の肩膀笑道："是你の,就是你の,不是你の就不要强求了丶""不过是壹个炉子而已,没什么了不得の,回头哥咱给你打造一些就行了丶"根汉对陈三六道："这万事皆有因果,若是今日咱们搜了这少年の魂,便会留下壹笔孽帐,你咱可能觉得无所谓,但是有可能就会成为压垮你咱の壹根草 丶""恩,既然大哥你都这么说了,那就算了吧丶"陈三六也只能叹气了,不过根汉说の也有道理,万事皆有因果吧丶搜壹个小孩子の魂,确实不是什么光彩之事,而且有可能给这个少年留下道伤,壹旦留下道伤,就是害人了丶陈三六道："只是这有没有可能,是别人在这里炼药呢?""或者是这个少 年,是被封印了壹段时间の老人物,看似只有十几岁,但是有可能被封印了许久,现在他会の,可能以前就会吧丶"陈三六猜测道丶根汉点头道："不是没有这种可能,不过咱们看看就行了丶"已经从这少年那里,得到了控兽术の基础篇,根汉没有搜他の魂の
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【分析】（1）由①②，①③两个条件可以判定△ABC是等腰 三角形. （2）先证明∠ABC=∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形.
BH CH， BH E C H F， ∴ E△HBEHF≌H △， CFH.
（2）∵BH=CH，EH=FH， ∴四边形BFCE是平行四边形. ∵当BH=EH时，BC=EF. ∴平行四边形BFCE是矩形. 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边 形的判定，属于基础题，难度不大.
1.（2014·湖南湘潭）如图，直线a，b被直线c所截，若满 足_∠_1_=__∠_2__（__或__∠_2_=__∠_3_或__∠__3_+_∠）__4_=_1__8_0_°__或__∠_1__+_∠__4_=_1__8_0_°_， 则a，b平行.
2.（2015·黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，
（或∠AEF=∠B或∠AFE=∠C等）
二、结论开放性 这类问题是指题目中给出问题的条件，而结论不确定，
并且符合条件的结论往往呈现多样性.这类问题的解题思路是 ：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、 归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论 证作出取舍.
（2015·浙江舟山）如图，正方形ABCD中，点E，F分别 在AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G. （1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角； （2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.
开放性问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭性问题而 言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题 .重在考查学生观察、实验、验证、推理及分析问题和解决 问题的能力，能全面检测学生的数学综合素质.
一、条件开放性 这类问题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结
论相对应的条件.解这种开放性问题的一般思路是：由已知 的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发， 逆向推理，逐步探求.
在Rt△DAE和Rt△ABF中，
DA AB， ∴ DRtE△DAAEF≌，Rt△ABF，
∴∠ADE=∠BAF. 又∵∠ADE+∠AED=90°，∠BAF+∠DAG=90°， ∴∠DAG=∠AED. 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质. 证明三角形全等是解答本题的关键.
4.写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减 小的一次函数关系式：_______y__=_-_x_+__3___.（填上一个答案 即可）
（2014·四川巴中）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的 中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连 接BE，CF. （1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件 是__________________，并证明; （2）在问题（1）中，当 BH与EH 满足什么关系时，四边形 BFCE是 矩形，请说明理由.
即AC⊥BD.
三、综合开放性 这类问题没有明确的条件，没有固定的结论，并且符合条
件的结论具有多样性，解答时必须认真观察与思考，将已知 的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论 ，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或 判断.
（2014·湖北襄阳）如图，在△ABC中，点D，E分别在 边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：① ∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC. （1）上述三个条件中，由哪两个 条件可以判定△ABC是等腰三角形？ （用序号写出所有成立的情形） （2）请选择（1）中的一种情形， 写出证明过程.
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH ，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH. （2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角 线相等的平行四边形为矩形可得出 BH=EH 时，四边形BFCE 是矩形.
【解答】（1）添加：EH=FH. 证明：∵点H是BC的中点， ∴BH=CH. 在△BEH和△CFH中，
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CD，则 ∠CDE=∠AED，再根据Rt△DAE≌Rt△ABF，得∠AFB=∠AED， ∠DAG=∠AED. （2）若选择∠CDE=∠AED，则利用平行线的性质证明，若选 择∠AFB=∠AED，∠DAG=∠AED，则利用三角形全等来证明.
【解答】（1）由图可知，与∠AED相等的角有∠CDF，∠DAG ，∠AFB. （2）选择∠DAG=∠AED，证明如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=∠B=90°，DA=AB.
BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ___∠__A_B__C_=_9__0_°__(_或___，使四边形ABCD是正方形.（填
AC=BD) 一个即可）
3.（2015·广东梅州）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，
点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，
则需要增加的一个条件是_A __F_=_1__A_C _____.（写出一个即可） 2
5.（2015·湖南邵阳）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为
对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形 ：___△__A__D_F__≌_△__C_B_E_（__或__△__A__B_）C__≌_△__C_D__A_或__△__A_B__E_≌_△_.CDF
6.（2015·湖北天门）我们把两组邻边分别相等的四边形叫 作“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB， AD=CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论 ，并证明你的结论.
解：AC⊥BD.证明如下：
在△ABD和△CBD中，
AB BC，
A
D
C
D
，
B D B D ，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ABD=∠CBD.
AB BC， 在△ABO和△CBO中， ABD CBD，
BO BO，
∴△ABO≌△CBO.
∴∠AOB=∠COB.
又∠AOB+∠COB=180°
，
∴∠AOB=90°.