考研数学：终极奥义-一元函数导数与微分
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奇偶性一般是在考查0处得导数时有所应用（不只是导数性质，考查一个函数的抽象性质在点0处的性质时，很可能是对奇函数（奇偶性）的考查。P57-二4）；求n阶导数中可能效果显著，从而简化繁杂甚至不可能而又不必要的过程，有时多次重复使用奇偶性
2.9.设u=f(x)在(a ,b)内可微，且在(a ,b)内有du= ，则f(x)=C1x+C2，其中C1，C2为任意常数。
对以分段函数的变限积分为函数F(x)的情况，若原函数在分界点x0间断，则F(x)在分界点以外的导数就是原分段函数的值，而分界点处的导数是原分段函数的极限值。
分段函数的每个函数在分段点x0邻域任意阶可导，则该分段函数在x0具有k阶导数（k阶可导）的充要条件可以是：每个函数在x0处具有系数完全相同的泰勒公式。
事实上， 其中 与 无关（取决于x0，但dy与x0和dx都有关）的常数，它的存在是可微的必要条件；dy- 或者 -dy都是 的高阶无穷小
的意义：定义是这样的，当
2.2.关于导数定义式：在定义单侧导数时， 0-（左导数）时 是负数这一事实并不影响表达式的形式，不需要提出负号，仔细想想其实正体现了自变量与因变量的变化关系（导数的本质）。P32
极坐标变直角坐标在极坐标函数表达式r(θ)中，θ和x=rcosθ关系中的θ是同一变量
若平面曲线C的隐式方程为f(x ,y)=0（和方程确定的隐函数求导法紧密联系），其中f(x ,y)有连续的一阶导数，则C在M0(x0,y0)的切线方程为： 是切线的法向量，也是曲线C在点M0的法向量（向量(x ,y)与斜率的关系：k=y/x）
2.4.有关导数几何意义的扩展：某点可导且导数相同，曲线在该点（有相同的切线）相切；某点连续二阶可导，且一阶导数相等，二阶导数相等但不为0，曲线相切并有相同的曲率（注意，由曲率公式可知，在一是阶导数相等的前提下）；邻域内有相同的凹凸性（凹凸性是区域性质）。P33
2.5.一阶导数表示的物理量关系扩充： ；甚至有二阶导数的力学意义（物理意义）。
关于利用泰勒公式求n阶导数，是利用泰勒公式(x-x0)n项的系数来确定的，f(n)(x0)=n!An
2.21.莱布尼茨法则求乘积的n阶导数：
2.22.f(x)与|f(x)|之间可导性的关系：f(x0) 0,f(x)在x0连续，则f(x)在x0可导|f(x)|在x0可导。
f(x0)=0，f’(x0)=0（可导且为0）|f(x0)|在x0可导
2.23.g(x)在x=a时可导，f(x)在x=a连续不可导（含绝对值时常出现这种情况），则g(x)f(x)在x=a处：当g(a) 0时，不可导；当g(a)=0时，可导且导数为g’(a)f(a)
2.24.反函数的一阶导数和二阶导数（极易推导，记忆结论）：ϕ’(y)=1/f’(x)，ϕ’’(y)=-f’’(x)/[f’(x)]3。
2.16.幂指数函数 的求导：（两个方法一定意义上具有一致性）方法一：将 表示成 后再求导；方法二：对y= 两边同时取对数，再对x求导并注意y是x的函数。
求连乘积y=f1(x)*f2(x)*…*fn(x)（指数函数连乘更是优越有加，注意除法是特殊的乘法）的导数或微分：两边取绝对值（为取对数为前提），再对两边取对数，最后求导（求导过程可去绝对值）
2.20.注意求n阶导数时，大题中总结规律写出结果需进行归纳法证明的必要性。P53-2.39
记一些归纳公式应用于分解法求n阶导数：有理函数、无理函数分式分解，拼凑分子出现公式形式；三角函数利用恒等变形得到三角函数n阶导数的两个基本公式形式
公式：
(sin换cos同样成立)
特别地，
对公式ln(ax+b)(n)，ax+b*为高次多项式时，因式分解为乘（除）积化对数外和差（各单位都是ax+b标准形式）后再利用利用公式求解P53-2.40
2.13.关于一阶微分形式不变性的理解：永远都有dy=f’(x)dx的基本形式，有必要时，一层一层地剥开复合函数的微分。
2.14.初等函数的导数还是初等函数，所以可求初等函数的任意阶导数。
2.15. ,x> 0
对y= 求导：y= => y’= =>y’= (x=0)
,x< 0 - *(-x)’=
对数绝对值求导可去绝对值求导，但积分则要需要加绝对值（对数要求底数大于0）
除此之外，关于定义式表达式变形的考查，注意始终保持表达式形式一致（ ），又如+ 中 可以是负的表达式（-相当于+(负数)），对应分母也应是负的表达式； 前乘常数（不影响极限逼近），分母的 也要乘常数（再作变量代换即回归定义式）；拼凑的思想在这里尤其重要，对题型敏感：……
对（近似）求导定义式的极限问题不能用洛必达法则逼迫只能拼凑组合定义式。P54-2.42甚至出现部分符合定义式，部分是初等函数或其他形式的情况（特别是出现f(x0)=0甚至f(x0)=1, g(x)=ln(f(x))时，使定义式形式更难被发觉)）
导数定义求法在明确意义后，求导数纯粹是对极限的考查，所以会出现灵活用数列（如xn=1/n）来代替 作极限逼近量这类考查方式，如出现1/n（n-> ），很可能考查的不是极限本身，而是1/n体现的数列极限或微元法概念P57-二10
2.12.关于补充定义的应用：对抽象函数，不改变原题函数关系（点值关系）时，可进行有利于解题的补充定义。（P35）
2.6.连续与可导（可微）的关系：连续不一定可导，但不连续一定不可导。事实上，左右分别可导即可判断连续，此时左右导数不一定相等，即不可导。
, , 等在x=0处连续，但不可导。（典型。应用。记住。）出现此类函数（有时与其他函数复合）考查在x=0处的可导性（换个问法：存在第几阶导数？）
2.7.可导的实质是对点的可导，所以区间可导强调了区间的每一个点可导。
考研数学：终极奥义-一元函数导数与微分
2.1.什么是微分（几何意义）？
是曲线y=f(x)在点x0处相应于自变量增量 的纵坐标f(x0)的增量，微分 是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0))处的切线在x0处相应于自变量增量 的纵坐标的增量（函数增量的线性主要部分）；而一般规定自变量x的微分dx=
该题型也就只在分界点处求导存在考查性：先分别按求导法则求出非分界点函数导数，再按照以上情形求分界点处导数，最后整合（合并或者独立）
对于分段函数在分界点的连续性和可导性判别，一般先判别可导性，因为可导必连续
分段函数分界点处可导反求参变量的题型：分界点处连续；左右导数相等
对一般分段函数（在各自区间内任意阶可导）在分界点x0处具有k阶导数的充要条件是：有相同的泰勒公式，即f1(x)=f2(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+ak(x-x0)k+o((x-x0)k)(x->x0)
2.17.变限积分（包括变上限、变下限、变上下限）求导法：设f(t)在[a ,b]连续，ϕ(x),ψ(x)在[α,β]可导，当x [α,β]时，a ϕ(x),ψ(x) b，则 在[α,β]可导（拆分为两个变上限积分）：
变限积分往往隐含着初始条件，即取变限积分上限=下限时，表达式的值是确定的
2.18.由方程确定的一元隐函数求导的一般方法：两边同时求导；两边同时微分；对F(x ,y)=0有y’= 。求微分，一阶微分形式不变；先运用上面方法求导后得dy=y’dx。
对x0 (a ,b)，有f’(x0)(x-x0)=f(x)-f(x0)，其中f(x0)、f’(x0)、x0均为常数，易得到上面结果
2.10.f’(x0)不存在的另一种表述其实可以为： 时， 不是无穷小量。
导数存在，则其定义式分子部分必须趋近于0，这个隐含条件常用于参变量确定
2.11.须定义法求导数的情况：没有明确指明（初等函数等简单明了函数除外）函数f(x)可导（有时会是指明‘连续’来迷惑干扰）；分段函数在分界点处的导数
对F(x ,y)=0，有 ，再有 。
求二阶及以上导数时，注意用函数对应代换来简化由一阶导数求二阶导数的过程。
2.19.分段函数分界点求导考查有三种形式：在分界点处自变量实际上可取等号（前提是都存在定义），分界点两侧表达式不同=>分别按求导法则求左右导数；分界点处函数无定义，分界点两侧表达式不同=>定义法求左右导数；分界点（分段点并不一定是间断点）处函数无定义但连续（‘非分界点处函数可导’，一般这个条件都满足：非分界点的函数是初等函数），分界点两侧表达式相同=>函数求导后求导数极限。
所以，f(x)在某点x0可导不能说明其在x0邻域可导及f’(x)在x0处连续，必须是说f(x)的导数存在或者可导（洛必达法则使用的前提）……
某点的n阶导数（或在某点x0）存在可以说明该邻域n-1阶可导（具有一切低于n阶的导数），n阶可导与否不能判断，从而不能求导而只能对定义式进行相关判断或处理。在具体题目中，x不一定是未知数，此时它相当于x0的意义。P57-12
切线实际上是对应单侧极限的性质，只有当左右切线重合时（左右导数相等=可导=导数存在），导数才存在。注意：切线垂直于x轴时，左右导数可以是相等的，也可以互为相反数，如 （P56-5）所以，说两切线存在一个夹角不完全准确（P33）
求导以求切线、法线问题：不给出切点坐标或者给出点不在曲线上时，都先按切点——设为(x0,y0)，写出切线或法线方程，再考虑其他条件。P55-2.43
事实上，由原函数与反函数是同一曲线，在同一点处有相同的曲率，由曲率公式可知原函数和反函数一、二阶导数之间的定量关系。
关于下面类型的式子（经常在可导条件下，出现在定义式分母位置，而分子是有界量（或0或 ）从而确定分母必须成0或 或确定数）中参变量的确定： ，a<0时为0；a=0时为1；a>0时为 。又如：……
可导性的判断：如果要考查，绝对是考查复合函数（复合结果和原函数可导性没有必然联系）和分段函数分界点处的可导性，而又必须是用定义确定，从而又是对求极限的考查
导数定义式的扩展：虽然定义式是对某点的导数的定义，但也应该在题目中看出f’(x)= 。
2.3.导数与切线的关系：导数存在一定存在切线，但导数不存在不一定不存在切线。存在切线不一定存在导数。
某点有连续的导数……
而一般情况下f(x)代表函数，f(x)有n阶导数，n阶可导，n阶导数存在三种说法等价
2.8.设f(x)在I上可导，若f(x)在I为奇函数，则f’(x)在I上为偶函数；若f(x)在I为偶函数，则f’(x)在I上为奇函数；f(x)在XLeabharlann Baidu可导，以T为周期，则f’(x)在X上也以T为周期。
2.9.设u=f(x)在(a ,b)内可微，且在(a ,b)内有du= ，则f(x)=C1x+C2，其中C1，C2为任意常数。
对以分段函数的变限积分为函数F(x)的情况，若原函数在分界点x0间断，则F(x)在分界点以外的导数就是原分段函数的值，而分界点处的导数是原分段函数的极限值。
分段函数的每个函数在分段点x0邻域任意阶可导，则该分段函数在x0具有k阶导数（k阶可导）的充要条件可以是：每个函数在x0处具有系数完全相同的泰勒公式。
事实上， 其中 与 无关（取决于x0，但dy与x0和dx都有关）的常数，它的存在是可微的必要条件；dy- 或者 -dy都是 的高阶无穷小
的意义：定义是这样的，当
2.2.关于导数定义式：在定义单侧导数时， 0-（左导数）时 是负数这一事实并不影响表达式的形式，不需要提出负号，仔细想想其实正体现了自变量与因变量的变化关系（导数的本质）。P32
极坐标变直角坐标在极坐标函数表达式r(θ)中，θ和x=rcosθ关系中的θ是同一变量
若平面曲线C的隐式方程为f(x ,y)=0（和方程确定的隐函数求导法紧密联系），其中f(x ,y)有连续的一阶导数，则C在M0(x0,y0)的切线方程为： 是切线的法向量，也是曲线C在点M0的法向量（向量(x ,y)与斜率的关系：k=y/x）
2.4.有关导数几何意义的扩展：某点可导且导数相同，曲线在该点（有相同的切线）相切；某点连续二阶可导，且一阶导数相等，二阶导数相等但不为0，曲线相切并有相同的曲率（注意，由曲率公式可知，在一是阶导数相等的前提下）；邻域内有相同的凹凸性（凹凸性是区域性质）。P33
2.5.一阶导数表示的物理量关系扩充： ；甚至有二阶导数的力学意义（物理意义）。
关于利用泰勒公式求n阶导数，是利用泰勒公式(x-x0)n项的系数来确定的，f(n)(x0)=n!An
2.21.莱布尼茨法则求乘积的n阶导数：
2.22.f(x)与|f(x)|之间可导性的关系：f(x0) 0,f(x)在x0连续，则f(x)在x0可导|f(x)|在x0可导。
f(x0)=0，f’(x0)=0（可导且为0）|f(x0)|在x0可导
2.23.g(x)在x=a时可导，f(x)在x=a连续不可导（含绝对值时常出现这种情况），则g(x)f(x)在x=a处：当g(a) 0时，不可导；当g(a)=0时，可导且导数为g’(a)f(a)
2.24.反函数的一阶导数和二阶导数（极易推导，记忆结论）：ϕ’(y)=1/f’(x)，ϕ’’(y)=-f’’(x)/[f’(x)]3。
2.16.幂指数函数 的求导：（两个方法一定意义上具有一致性）方法一：将 表示成 后再求导；方法二：对y= 两边同时取对数，再对x求导并注意y是x的函数。
求连乘积y=f1(x)*f2(x)*…*fn(x)（指数函数连乘更是优越有加，注意除法是特殊的乘法）的导数或微分：两边取绝对值（为取对数为前提），再对两边取对数，最后求导（求导过程可去绝对值）
2.20.注意求n阶导数时，大题中总结规律写出结果需进行归纳法证明的必要性。P53-2.39
记一些归纳公式应用于分解法求n阶导数：有理函数、无理函数分式分解，拼凑分子出现公式形式；三角函数利用恒等变形得到三角函数n阶导数的两个基本公式形式
公式：
(sin换cos同样成立)
特别地，
对公式ln(ax+b)(n)，ax+b*为高次多项式时，因式分解为乘（除）积化对数外和差（各单位都是ax+b标准形式）后再利用利用公式求解P53-2.40
2.13.关于一阶微分形式不变性的理解：永远都有dy=f’(x)dx的基本形式，有必要时，一层一层地剥开复合函数的微分。
2.14.初等函数的导数还是初等函数，所以可求初等函数的任意阶导数。
2.15. ,x> 0
对y= 求导：y= => y’= =>y’= (x=0)
,x< 0 - *(-x)’=
对数绝对值求导可去绝对值求导，但积分则要需要加绝对值（对数要求底数大于0）
除此之外，关于定义式表达式变形的考查，注意始终保持表达式形式一致（ ），又如+ 中 可以是负的表达式（-相当于+(负数)），对应分母也应是负的表达式； 前乘常数（不影响极限逼近），分母的 也要乘常数（再作变量代换即回归定义式）；拼凑的思想在这里尤其重要，对题型敏感：……
对（近似）求导定义式的极限问题不能用洛必达法则逼迫只能拼凑组合定义式。P54-2.42甚至出现部分符合定义式，部分是初等函数或其他形式的情况（特别是出现f(x0)=0甚至f(x0)=1, g(x)=ln(f(x))时，使定义式形式更难被发觉)）
导数定义求法在明确意义后，求导数纯粹是对极限的考查，所以会出现灵活用数列（如xn=1/n）来代替 作极限逼近量这类考查方式，如出现1/n（n-> ），很可能考查的不是极限本身，而是1/n体现的数列极限或微元法概念P57-二10
2.12.关于补充定义的应用：对抽象函数，不改变原题函数关系（点值关系）时，可进行有利于解题的补充定义。（P35）
2.6.连续与可导（可微）的关系：连续不一定可导，但不连续一定不可导。事实上，左右分别可导即可判断连续，此时左右导数不一定相等，即不可导。
, , 等在x=0处连续，但不可导。（典型。应用。记住。）出现此类函数（有时与其他函数复合）考查在x=0处的可导性（换个问法：存在第几阶导数？）
2.7.可导的实质是对点的可导，所以区间可导强调了区间的每一个点可导。
考研数学：终极奥义-一元函数导数与微分
2.1.什么是微分（几何意义）？
是曲线y=f(x)在点x0处相应于自变量增量 的纵坐标f(x0)的增量，微分 是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0))处的切线在x0处相应于自变量增量 的纵坐标的增量（函数增量的线性主要部分）；而一般规定自变量x的微分dx=
该题型也就只在分界点处求导存在考查性：先分别按求导法则求出非分界点函数导数，再按照以上情形求分界点处导数，最后整合（合并或者独立）
对于分段函数在分界点的连续性和可导性判别，一般先判别可导性，因为可导必连续
分段函数分界点处可导反求参变量的题型：分界点处连续；左右导数相等
对一般分段函数（在各自区间内任意阶可导）在分界点x0处具有k阶导数的充要条件是：有相同的泰勒公式，即f1(x)=f2(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+ak(x-x0)k+o((x-x0)k)(x->x0)
2.17.变限积分（包括变上限、变下限、变上下限）求导法：设f(t)在[a ,b]连续，ϕ(x),ψ(x)在[α,β]可导，当x [α,β]时，a ϕ(x),ψ(x) b，则 在[α,β]可导（拆分为两个变上限积分）：
变限积分往往隐含着初始条件，即取变限积分上限=下限时，表达式的值是确定的
2.18.由方程确定的一元隐函数求导的一般方法：两边同时求导；两边同时微分；对F(x ,y)=0有y’= 。求微分，一阶微分形式不变；先运用上面方法求导后得dy=y’dx。
对x0 (a ,b)，有f’(x0)(x-x0)=f(x)-f(x0)，其中f(x0)、f’(x0)、x0均为常数，易得到上面结果
2.10.f’(x0)不存在的另一种表述其实可以为： 时， 不是无穷小量。
导数存在，则其定义式分子部分必须趋近于0，这个隐含条件常用于参变量确定
2.11.须定义法求导数的情况：没有明确指明（初等函数等简单明了函数除外）函数f(x)可导（有时会是指明‘连续’来迷惑干扰）；分段函数在分界点处的导数
对F(x ,y)=0，有 ，再有 。
求二阶及以上导数时，注意用函数对应代换来简化由一阶导数求二阶导数的过程。
2.19.分段函数分界点求导考查有三种形式：在分界点处自变量实际上可取等号（前提是都存在定义），分界点两侧表达式不同=>分别按求导法则求左右导数；分界点处函数无定义，分界点两侧表达式不同=>定义法求左右导数；分界点（分段点并不一定是间断点）处函数无定义但连续（‘非分界点处函数可导’，一般这个条件都满足：非分界点的函数是初等函数），分界点两侧表达式相同=>函数求导后求导数极限。
所以，f(x)在某点x0可导不能说明其在x0邻域可导及f’(x)在x0处连续，必须是说f(x)的导数存在或者可导（洛必达法则使用的前提）……
某点的n阶导数（或在某点x0）存在可以说明该邻域n-1阶可导（具有一切低于n阶的导数），n阶可导与否不能判断，从而不能求导而只能对定义式进行相关判断或处理。在具体题目中，x不一定是未知数，此时它相当于x0的意义。P57-12
切线实际上是对应单侧极限的性质，只有当左右切线重合时（左右导数相等=可导=导数存在），导数才存在。注意：切线垂直于x轴时，左右导数可以是相等的，也可以互为相反数，如 （P56-5）所以，说两切线存在一个夹角不完全准确（P33）
求导以求切线、法线问题：不给出切点坐标或者给出点不在曲线上时，都先按切点——设为(x0,y0)，写出切线或法线方程，再考虑其他条件。P55-2.43
事实上，由原函数与反函数是同一曲线，在同一点处有相同的曲率，由曲率公式可知原函数和反函数一、二阶导数之间的定量关系。
关于下面类型的式子（经常在可导条件下，出现在定义式分母位置，而分子是有界量（或0或 ）从而确定分母必须成0或 或确定数）中参变量的确定： ，a<0时为0；a=0时为1；a>0时为 。又如：……
可导性的判断：如果要考查，绝对是考查复合函数（复合结果和原函数可导性没有必然联系）和分段函数分界点处的可导性，而又必须是用定义确定，从而又是对求极限的考查
导数定义式的扩展：虽然定义式是对某点的导数的定义，但也应该在题目中看出f’(x)= 。
2.3.导数与切线的关系：导数存在一定存在切线，但导数不存在不一定不存在切线。存在切线不一定存在导数。
某点有连续的导数……
而一般情况下f(x)代表函数，f(x)有n阶导数，n阶可导，n阶导数存在三种说法等价
2.8.设f(x)在I上可导，若f(x)在I为奇函数，则f’(x)在I上为偶函数；若f(x)在I为偶函数，则f’(x)在I上为奇函数；f(x)在XLeabharlann Baidu可导，以T为周期，则f’(x)在X上也以T为周期。