离散数学群与半群

半群与独异点的同态映射
定义11.3 (1)设V1＝<S1,>,V2＝<S2,>是半群,: S1→S2。 若对任意的x,y∈S1有 (xy)＝(x)(y)
则称为半群V1到V2的同态映射,简称同态(homomorphism)。
(2)设V1＝<S1 ,,e1>,V2＝<S2 ,,e2>是独异点, : S1→S2. 若对任意的x,y∈S1有
称这个群为Klein四元群,简称四元群。
群的直积
设<G1,>, <G2,*>是群，在G1G2上定义二元运算如下：
<a,b>,<c,d>∈G1×G2 , <a,b><c,d>＝<ac,b*d>
称<G1×G2,>是G1与G2的直积。 上一节已经证明：<G1G2,> 是独异点， 可以证明对任意的<a,b>∈G1G2 ,<a-1,b-1> 是<a,b>的逆元， 因此G1×G2关于运算构成一个群。
在<Z,+>中，0是1阶元，其它的整数都是无限阶元。
在Klein四元群中，e为1阶元，其它元素都是2阶元。
群的性质—群的幂运算规则
定理11.1 设G为群,则G中的幂运算满足： (1) a∈G,(a-1)-1＝a。 (2) a,b∈G，(ab)-1＝b-1a-1。 (3) a∈G，anam＝an+m，n,m∈Z。
半群与独异点的定义，及其子代数的说明。
半群与独异点的幂运算。 半群与独异点的同态映射。
半群与独异点
定义11.1
(1)设V＝<S,>是代数系统，为二元运算，如果运算是可结 合的，则称V为半群（semigroup）。
(2)设V＝<S,>是半群,若e∈S是关于运算的单位元,则称V是 含幺半群，也叫做独异点（monoid）。 有时也将独异点V记作V＝<S，，e>。
群论中常用的概念或术语
定义11.5 (1)若群G是有穷集,则称G是有限群，否则称为无限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。 (2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔 (Abel)群。
例
<Z,+>,<R,+>是无限群、交换群。 <Zn,>是有限群，也是n阶群、交换群。 Klein四元群是4阶群、交换群。 <{0},+>是平凡群、交换群。
江苏科技大学本科生必修课程
离散数学
第11章 半群与群
计算机教研室 周塔
本章内容
11.1 半群与独异点 11.2 群的定义与性质 11.3 子群 11.4 陪集与拉格朗日定理
11.5 正规子群与商群
11.6 群的同态与同构 11.7 循环群与置换群 本章总结 例题选讲
作业
11.1 半群与独异点
半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。
1 a r1a r1 a11
注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。
如果G是非交换群,那么只有
ab
n
ab ab ab
n个
<Zn,>为半群,也是独异点,其中Zn＝{0,1,…,n-1},为模n 加法。
半群中元素的幂
由于半群V＝<S,>中的运算是可结合的,可以定义元素的 幂,对任意x∈S,规定： x1＝x xn+1＝xn x, n∈Z+ 用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则： xn xm＝xn+m (xn)m＝xnm m,n∈Z+
由归纳法等式得证。
设n<0，令n＝-m，m>0，则
(ab)n ＝(ba)n ＝(ba)-m ＝((ba)-1)m ＝(a-1b-1)m ＝(a-1)m(b-1)m ＝a-mb-m ＝anbn
定理11.1说明
定理11.1(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况,即
a1a 2 a r
1
(2) a,b∈G，(ab)-1＝b-1a-1。
(b-1a-1)(ab)＝b-1(a-1a)b＝b-1b＝e (ab)(b-1a-1)＝a(bb-1)a-1＝aa-1＝e 故 b-1a-1是 ab 的逆元。 根据逆元的唯一性等式得证。
定理11.1的证明
(3) a∈G，anam＝an+m，n,m∈Z。 先考虑n,m都是自然数的情况。任意给定n，对m进行归纳。
(xy)＝(x)(y) 且(e1)＝e2,
则称为独异点V1到V2的同态映射,简称同态。
两点说明：
为了书写的简便，有时经常省略上述表达式中的算符 和，而简记为 (xy)＝(x)(y) 应该记住，该表达式中左边的xy是在V1中的运算，而右 边的 (x) (y)是在V2中的运算。
定义11.2 设V1＝<S1,>，V2＝<S2,*>是半群(或独异点), 令S＝S1×S2,定义S上的·运算如下： <a,b>,<c,d>∈S, <a,b><c,d>＝<ac,b*d>
称<S,>为V1和V2的直积，记作V1×V2。
可以证明V1×V2是半群。 若V1和V2是独异点，其单位元分别为e1和e2，则<e1,e2>是 V1×V2中的单位元，因此V1×V2也是独异点。
11.2 群的定义与性质
群是特殊的半群和独异点。
群论中常用的概念或术语：
有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。 群的运算规则。
群的定义
定义11.4 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运算是可结 合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x-1∈G,则 称G为群（group）。 举例 (1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群,而<Z+,+>和<N,+>不是群。 (2)<Mn(R),+>是群,而<Mn(R),·>不是群。因为并非所有的n阶实 矩阵都有逆阵。
Klein四元群
设G＝{a,b,c,d}，为G上的二元运算，见下表。
G是一个群：

e e a b
a a e c
b b c e
c c b a
e为G中的单位元； 运算是可结合的； 运算是可交换的； G中任何元素的逆元就是它自己；
e a b
c
c
b
a
e
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在a,b,c三个元素中,任何两个元素 运算的结果都等于另一个元素。
半群与独异点的实例
<Z+,+>，<N,+>，<Z,+>，<Q,+>，<R,+>都是半群,+是普通加 法。这些半群中除<Z+,+>外都是独异点。
设n是大于1的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群,也都 是独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法。
<P(B),>为半群,也是独异点,其中为集合的对称差运算。
本节的主要内容
集合S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）。
集合S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）。
半群与独异点的两条幂运算规则：xn xm＝xn+m ，(xn)m＝xnm 。 通过笛卡尔积构造直积 。 同态映射的判别：(xy)＝(x)(y) 对于独异点要加上(e)＝e。
m＝0，有ana0＝ane＝an＝an+0成立。
假设对一切m∈N有anam＝an+m成立，则有 anam+1＝an(ama)＝(anam)a＝an+ma＝an+m+1 由归纳法等式得证。 下面考虑存在负整数次幂的情况。
设n<0，m≥0，令n＝-t，t∈Z+，则 a-(t-m)＝am-t＝an+m anam＝a-tam＝(a-1)tam＝ am-t＝an+m
对于n≥0,m<0以及n<0,m<0的情况同理可证。
t≥m t<m
定理11.1的证明
(5) 若G为交换群，则(ab)n＝anbn。 当n为自然数时，对n进行归纳。 n＝0，有 (ab)0 ＝e ＝ee ＝a0b0。 假设(ab)k＝akbk，则有
(ab)k+1 ＝(ab)k(ab) ＝(akbk)ab ＝ak(bka)b ＝ak(abk)b ＝(aka)(bk)b ＝(ak+1)(bk+1)
普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个 幂运算规则。
独异点中的幂
独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点 中去。 由于独异点V中含有单位元e，对于任意的x∈S,可以定义x 的零次幂,即 x0＝e xn+1＝xn x n∈N
半群与独异点的直积
群中元素的n次幂
定义11.6 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂
e a n a n 1a (a 1 )a m
n0 n0 n 0, n m
与半群和独异点不同的是：群中元素可以定义负整数次幂。
群中元素的阶
定义11.7 设G是群，a∈G，使得等式 ak＝e 成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a|＝k，这时也称a为 k阶元。若不存在这样的正整数k,则称a为无限阶元。 举例 在<Z6,>中，2和4是3阶元，3是2阶元，而1和5是6阶元，0 是1阶元。
(4) a∈G，(an)m＝anm，n,m∈Z。
(5) 若G为交换群，则(ab)n＝anbn。 分析：
(1)和(2)可以根据定义证明。
(3)、(4)、(5)中的等式,先利用数学归纳法对于自然数n和m 证出相应的结果，然后讨论n或m为负数的情况。
定理11.1的证明
(1) a∈G,(a-1)-1＝a。 (a-1)-1是a-1的逆元，a也是a-1的逆元。 （或者：a-1是a的逆元，a也是a-1的逆元。） 根据逆元的唯一性， (a-1)-1＝a。
定义11.2说明
任取<a,b>,<c,d>,<u,v>S (<a,b><c,d>)<u,v> = <ac,b*d><u,v> = <(ac)u,(b*d)*v>
= <acu,b*d*v>
<a,b>(<c,d><u,v>) = <a,b>(<c u,d*v>) = <a(cu),b*(d*v)> = <acu,b*d*v>