泛函分析(变分法)
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约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却 更为一般化.
欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从 而确立了数学的一个新分支——变分学。
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泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将21/4/11
中心
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.1 函数的定积分
1.连续时间系统：
1
J 0 x(t)dt
是泛函 吗？
q
2. 离散系统 J x2 (i) 2u2 (i) i 1
2
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
2.1 变分法简介
作为数学的一个分支，变分法(calculus of variations)的诞生，是现实世界许多现象不断探索的 结果:
约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696 年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直 平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自 较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下 滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题 （The Brachistochrone Problem）。
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链
线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经 由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提 出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向数学 界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂 下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项 链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的 蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链 线（catenary）。
一、泛函的定义
如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都 有一个确定的值与之对应，那么就称变量J为依赖于函 数x(t)的泛函，记为：J=J[x(t)]。
x(t) R n , J R 函数 x(t) t x
泛函 J x(t) x(t) J ; x(t)又称为泛函的宗量
说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而
3、容许函数空间：满足泛函的规定条件的宗量的全 体所构成的函数空间。
4、求函数的极值时，微分或导数起着重要的作用。 求泛函的极值时，变分起着类似的作用。我们将求泛 函的极值问题称为变分问题，其相应的方法称为变分 法。
n
J i 1
n
ti2 xi2 (t) i 1 tb ta
1
xi 2 ti
(t
2
)
ti
1
dx dt
2
dt
Δxi
B(t b,x b)
x(t)
A(ta,x a)
Δti
t
图2－1
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.3 函数的不定积分
t
y 0 x( )d
不是泛函。
泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛函的情况：
例如
1
J 0[x(t) y(t)]dt
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
几点说明：
1、泛函是映射，是从函数空间到数域的映射。
2、泛函的自变量是函数，泛函的自变量称为泛函的 宗量。
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它要求出 一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖 和别出心裁引起了很大兴趣.
罗比塔（1661-1704）、雅可比·伯努利（1654-1705）、莱布 尼茨（1646-1716）和牛顿（1642—1727）都得到了解答。
都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa) x 和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如 图2-1所示。
当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)= xa ， x(tb)= xb ）给定后，可算出它在A、B两点 o 间的弧长为：
答案。
到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年， 莱布尼兹、惠更斯（62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答 案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求
解一个二阶常微分方程
d2 y
dy
a 1 ( )2
dx2
dx y(0) y0
y(0) 0
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
现实生活中的许多现象可以表达为泛函求极值问题， 称为变分问题。
变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函 数的普通微积分相对。
什么叫泛函？
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2.1 泛函的变分
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
解此方程并适当选取参数，得
1 y (eax eax )
2a
即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比·贝努利 随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所 有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”， 有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
泛函分析：变分法
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
第二章 变分法及其 在最优控制中的应用
2.1 变分法简介 2.2 泛函的变分 2.3 欧拉方程 2.4 横截条件 2.5 泛函局部极值的充分条件 2.6 等式约束条件下的变分问题 2.7 利用变分法求解最优控制问题 小结
欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从 而确立了数学的一个新分支——变分学。
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泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将21/4/11
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.1 函数的定积分
1.连续时间系统：
1
J 0 x(t)dt
是泛函 吗？
q
2. 离散系统 J x2 (i) 2u2 (i) i 1
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
2.1 变分法简介
作为数学的一个分支，变分法(calculus of variations)的诞生，是现实世界许多现象不断探索的 结果:
约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696 年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直 平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自 较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下 滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题 （The Brachistochrone Problem）。
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链
线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经 由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提 出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向数学 界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂 下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项 链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的 蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链 线（catenary）。
一、泛函的定义
如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都 有一个确定的值与之对应，那么就称变量J为依赖于函 数x(t)的泛函，记为：J=J[x(t)]。
x(t) R n , J R 函数 x(t) t x
泛函 J x(t) x(t) J ; x(t)又称为泛函的宗量
说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而
3、容许函数空间：满足泛函的规定条件的宗量的全 体所构成的函数空间。
4、求函数的极值时，微分或导数起着重要的作用。 求泛函的极值时，变分起着类似的作用。我们将求泛 函的极值问题称为变分问题，其相应的方法称为变分 法。
n
J i 1
n
ti2 xi2 (t) i 1 tb ta
1
xi 2 ti
(t
2
)
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dx dt
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Δxi
B(t b,x b)
x(t)
A(ta,x a)
Δti
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图2－1
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例2.1.3 函数的不定积分
t
y 0 x( )d
不是泛函。
泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛函的情况：
例如
1
J 0[x(t) y(t)]dt
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几点说明：
1、泛函是映射，是从函数空间到数域的映射。
2、泛函的自变量是函数，泛函的自变量称为泛函的 宗量。
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它要求出 一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖 和别出心裁引起了很大兴趣.
罗比塔（1661-1704）、雅可比·伯努利（1654-1705）、莱布 尼茨（1646-1716）和牛顿（1642—1727）都得到了解答。
都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa) x 和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如 图2-1所示。
当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)= xa ， x(tb)= xb ）给定后，可算出它在A、B两点 o 间的弧长为：
答案。
到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年， 莱布尼兹、惠更斯（62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答 案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求
解一个二阶常微分方程
d2 y
dy
a 1 ( )2
dx2
dx y(0) y0
y(0) 0
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
现实生活中的许多现象可以表达为泛函求极值问题， 称为变分问题。
变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函 数的普通微积分相对。
什么叫泛函？
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2.1 泛函的变分
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
解此方程并适当选取参数，得
1 y (eax eax )
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即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比·贝努利 随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所 有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”， 有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
泛函分析：变分法
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
第二章 变分法及其 在最优控制中的应用
2.1 变分法简介 2.2 泛函的变分 2.3 欧拉方程 2.4 横截条件 2.5 泛函局部极值的充分条件 2.6 等式约束条件下的变分问题 2.7 利用变分法求解最优控制问题 小结