运动学例题

v

0.4et
m s1
a r 0.4 m s2
an a
r 2
0.8en
0.8 0.4
m et

s2 m

s2
Example 2 一质点从静止出发作圆周运动，半径R=3.0m，
切向加速度
a 3.，0 求m ：s（2 1）速度与时间的关
v
dv
0
t
adt
0
t 0

a0

a0 2
t dt

a0t

a0 4
t2
v dx dx vdt
dt
x 0
t
vdt
0
t 0

a0t

a0 4
t2
dt

a0 2
t2

a0 12
t3
Example 3 一质点沿 x 轴作加速运动，已知 t =0 时，

v02
)
v v02 k(x02 x2 )
Example 1 半径为r=0.2m的飞轮，可绕o轴转动。已知
轮缘上一点M的运动方程为 t 2 4t，求在1秒时刻
M点的速度和加速度。
Solution d 2t 4 d 2
dt
dt
v r r(2t 4) 0.4 ms1
(l0
l0 - v0t v0t)2
h2
v0
Example 2 一物体作直线运动，初速度为零，初加速
度为a0, 出发后经过时间间隔2秒，加速度均匀增加a0, 求经过 t 秒后物体的速度和离开出发点的距离。
Solution
：加速度：
a dv
a

a0
dv
a0 2

t
adt
dt
v
v2 17.32 15.3 m 2g 29.80

17.3 mvs1
v
60
v0
Example 2 河水自西向东流动,速度为10 kmh-1. 一轮船在 水中航行, 船相对于河水的航向为北偏西30, 相对于河水 的航速为20 kmh-1. 此时风向为由东向西，风速为10 kmh-1. 试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向(设烟 离开烟囱后很快就获得与风相同的速度).
北y v船 水



v风地 (v船水 ) (v水地 )
v烟船 20(km h1)
30
v风 地 O
v水 地
x 东
30
即在船上观察，烟以20km h1 的 速 率 向 南 偏 西30 飘 去 。
v风 地
v水地
30 v风 船
v船水
x = x0，v = v0， （1）a=-kv，求任意时刻的速度v(t)和位置x(t)； （2）a=-kx，求任意位置的速度v(x)
Solution
（1） a dv kv
dt
v
dv

t
kdt
v v0
0
ln v kt
v0
v v0ekt
v dx dt v0ekt
x
Solution 根据相对速度公式
v烟船 v风船 v风地 v船地
v船地 v船水 v水地
可见 v烟船 v风地 v船水 v水地
北y v船 水
30
v风 地 O
v水 地
x 东
v烟船 v风地 v船水 v水地
R3
Example 1 一观察者A坐在平板车上，车以10m/s的速 率沿水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈60°角 向上斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者B看到石 块沿铅垂向上运动。求石块上升的高度。
Solution 按题意作矢量图 y
v v0 v
y´ x´
v0
x
v
H


v0 tan 60 10 tan 60
系； （2）经过多长时间，其加速度与由圆心至质点的
矢径方向成 135 0 角？（3）在上述时间内，质点所经历
的路程和角位移各为多少？
Solution （1）a

dv dt
3
v
t
dv 3dt v 3t (ms1)
0
0
（2） tan 450 an 1
an a 3
x
dx
x0
x0

t 0

v0e kt dt v0 (ekt 1) k
x

x0

v0 k
(1Biblioteka ekt)（2） a dv kx dv dx v dv
dt
dx dt dx
kxdx vdv
x
v
kxdx vdv
x0
v0
1 2
k
(
x02

x
2
)

1 2
(v2
a
an
v2 R

(3t)2 3
3

et
a
a1350
450
an
en
t 1(s)
（3）
v ds dt
s
1
ds vdt
s0
0


a
a1350
450
an s

n
1
S 0 3t dt
3 1 15 (m)
2
S 15 05(rad)
例题1: Example 1
一人站在崖上, 用绳子通过一滑轮向岸边拉一条小船， 如图，假设崖高为h ， 拉绳的速率为 v0 ， 初始时刻绳 长为 l 0，求：船靠岸的速度。

解：
v0
Solution
l
h
O
x
x2 l 2 h2 2x dx 2l dl
dt dt
x
l l0 - v0t
v dx l dl dt x dt