中心极限定理 PPT课件

设随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ， n =1,2…， 对于任意的实数 x ，有
lim
P
Yn np
x
Φ(
x)
n np(1 p)
16
中心极限定理的意义与作用
它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似 概率的简单方法， 而且有助于解释为什么很多自然群体的经验 频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
9
10
5.2.1 独立同分布中心极限定理
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若随机变量 { Xk}，k = 1,2,…相互独立，
且同分布，有有限数学期望E(Xk)=µ
和方差D(Xk)=².
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Xk
k1
近似
～
N n, n 2
n
～ Xk n
Yn k1 n
近似 N(0,1)
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定理5.2.1（独立同分布中心极限定理）
(x2 ) (x1)
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特别地：
若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有
P{x1 X x2 }
P
x1 np
X np
x2 np
np(1 p) np(1 p) np(1 p)
Φ
x2 np(1
np p)
Φ
x1 np np(1 p)
20
讲讲练练
21
例1.一食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一
f g
01
X1 ~f(x) X=X1 +X2~g(x) X=X1 +X2+X3~ h(x)
X近似服从正态分布
h
x
2
3
7
什么是中心极限定理？
阐述大量的相互独立的随机变量的线性 组合在一定条件下近似服从正态分布的 一系列定理称为中心极限定理
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讨论2种简单情形.
独立同分布下的中心极限定理 德莫佛-拉普拉斯定理 (二项分布的正态近似)
这天的收入至少400元的概率为：
300
P{Y Xi 400 }
i1
P{Y 300 1.29 400 300 1.29}
300 0.048
300 0.048
1
(
13 3.79)1(3.4)3 0.000
24
例2. 设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的 指数分布，现随机地抽取16只，设它们的寿
命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和
大于1920小时的概率。
解：设各电器元件的寿命为X1,X2, …X16
E( X i ) 100, D( X i ) 1002
～ 16 Xk
k1
近似 N(1600,400 2 )
25
～ 16 Xk
近似 N(1600,400 2 )
k1
则16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率为
P
12345654321
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
P
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
x
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3
掷三颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3的
分布律为：
X 3 4 5 6 7 8 9 10
P 1 3 6 10 15 21 25 27 216 216 216 216 216 216 216 216
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若随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ， n =1,2…，
Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn Xi ~ B( 1, p )，相互独立，并且
E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1－p)
lim
P
Yn np
x
(x)
n np(1 p)
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定理5.2.2（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）
设随机变量 { Xk}，k = 1,2,…相互独立，且同分布，
有有限数学期望E(Xk)=µ和方差D(Xk)=².
若随机变量序列 n
n
n
Xk E( Xk ) Xk n
Yn k1
k1 n
k1
n
D( Xk )
k1
则 lim
n
FY
n (x)
lim
n
P{Yn
x}
(x)
13
5.2.2 棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理
0
x
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
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中心极限定理的客观背景
例:20个0-1分布的和的分布 X i~B (1 ,p ) i1 ,2 , ,20
X X1 X 2 X 20 ~ B(20, p)
X近似服从正态分布
6
中心极限定理的客观背景
X1~U(0,1) X2~U(0,1) X3 ~U(0,1)
种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一
个随机变量，它取1,1.2,1.5（元）各个值的概 率分布是0.3,0.2,0.5.每天售出300只蛋糕，求 这天的收入至少400元的概率。
解：用Y表示这天的收入，
Xi为售出第i只蛋糕的价格，则
300
Y Xi i
Xi 1 1.2 1.5
Pi 0.3 0.2 0.5
5.2 中心极限定理
（Central limit theoem)
1
中心极限定理的客观背景 掷一颗骰子，出现点数X的分布律为：
X 1 2 3 45 6
P 111111 666666
P
1
6
Байду номын сангаас
x
123456
2
掷两颗骰子，出现点数和X=X1+X2的分布律为：
X=X1+X2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
22
Xi 1 1.2 1.5 Pi 0.3 0.2 0.5
E( X i ) 1.29
E(
X
2 i
)
1.7
1
3
D( X i ) 0.048
300
Y Xi ~
N(n, n 2 )
i1
N(300 1.29, 300 0.048) 23
300
Y Xi ~ N(300 1.29, 300 0.048 ) i1 由独立同分布中心极限定理，
X 11 12 13 14 15 16 17 18
P 27 25 21 15 10 6 3 1 216 216 216 216 216 216 216 216
4
掷三颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3的 分布律为： X近似服从正态分布
P 27 / 216 25 / 216 21 / 216 15/ 216 10/ 216 6 / 216 3 / 216 1 / 216
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定理的应用
对于独立的随机变量序列 {X n } ，不管 X i (i 1,2, , n) 服从什么分布，只要它们
是同分布，且有有限的数学期望E(Xi)=μ
和方差D(Xi)=σ²，
那么，当n充分大时，
n
Xi
i 1
近似
~
N
(n
,
n
2
)
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近似计算公式
n
Xk n
P(x1 k1 n
x2 )