概率论与数理统计— 二维随机变量及边缘分布

y x
则称 ( X ,Y ) 是连续型的二维随机变 量 , 函数 f ( x , y ) 称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度 , 或称为随 机变量 X 和 Y 的联合概率密度.
2.性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x , y ) d x d y F (, ) 1.
对于任意固定的 x ,当y2 y1时F ( x , y2 ) F ( x , y1 ).
2o 0 F ( x, y ) 1,
且有
lim F ( x , y ) 0, 对于任意固定的 y , F ( , y ) x
对于任意固定的x , F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
P{ X x} P{ X x,Y } F ( x, ) FX ( x )
( X ,Y )关于X的边缘分布函数 .
定义 设 F ( x , y ) 为随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 , 则 F ( x , y ) P { X x ,Y y } . 令 y , 称 P { X x } P { X x ,Y } F ( x , ) 为随机变量 ( X ,Y ) 关于X的边缘分布函数 .
FX ( x ) F ( x , ) [
x
f ( x , y ) d y ]d x ,
记
f X ( x)


f ( x, y ) d y,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.
同理可得 Y 的边缘分布函数
FY ( y ) F (, y )
第一节
二维随机变量
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
设 E 是一个随机试验 , 它的样本空间是 S {e } , 设 X X (e ) 和 Y Y (e ) 是定义在 S 上的随机变量 , 由它们构成的一个向量 ( X ,Y ) , 叫作二维随机向量 或二维随机变量 .
4o 对于任意 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 ,
有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
二、二维离散型随机变量
1. 定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
解
Y X
1
2
3
1 12
4
1 2
1 4
1 8 1 8
0 0 0
1 12
1 12
3
4
0 0
0
1 16 1 16 1 16 1 16
三、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 F ( x , y ), 如果存在非负的函数 f ( x , y ) 使对于任意 x , y 有 F ( x, y) f ( u, v ) d u d v ,
2.二维正态分布
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
f ( x, y) 1 2πσ1σ 2 1 ρ
2 1 ( x μ1 )2 2 ρ ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 )2 2 2 2 σ σ 2(1 ρ ) σ1 σ2 1 2
记为 FX ( x ) F ( x , ). 同理令 x ,
FY ( y ) F (, y ) P{ X ,Y y } P{Y y }
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
二、离散型随机变量的边缘分布律
定义 设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布 律为 P { X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,.
Y
X
x1
x2

xi

p j
p1 p2
p j
… 1

pi
y1 y2 yj
p11 p12 p1 j
p21 p22 p2 j


…
pi 1 pi 2 pij


…
…


p1 j 1 Nhomakorabeap2
pi
P{ X xi } pij , i 1,2,; P{Y y j } pij , j 1,2,.
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i , j 1, 2,, 记 P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2,, 称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律 , 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
解
f X ( x)

f ( x, y) d y
y y x
(1,1)
当 0 x 1 时,
f X ( x)
f ( x, y ) d y
x x

y x2
O
2 6d y
x
6( x x ).
2
y y x
(1,1)
当 x 0 或 x 1时,
y

f ( x, y ) d x d y,


fY ( y )
f ( x, y) d x.
Y 的边缘概率密度.
例3 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
e
( x , y ),
其中μ1 , μ2 , σ1 , σ2 , ρ均为常数, 且σ1 0, σ2 0,1 ρ 1.
则称( X ,Y )服从参数为μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ的二维 正态分布.记为 2 ( X ,Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ12 , σ 2 , ρ)
1
12 42 6 42
解
Y X
0

1
12 42 6 42
012 42 12 142 pi P{ X xi } 4 7
3 7
p j P{Y y j } 4 7 3 7 1
注意 联合分布 边缘分布
三、连续型随机变量的边缘分布
定义 对于连续型随机变量 ( X ,Y ), 设它的概率 密度为 f ( x , y ), 由于
y
F ( ,) x lim F ( x , y ) 0 ,
y
F ( ,) x lim F ( x , y ) 1.
y
3o F ( x , y ) F ( x 0, y ), F ( x , y ) F ( x , y 0), 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续, 关于 y 也右连续.
y
x
y x ( 2 x y ) 2 e d x d y , x 0, y 0 , 0 0 0, 其他.
(1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0. 得 F ( x , y ) 0, 其他.
(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, 即有 {Y X } {( X ,Y ) G },
其中 pij 0,
pij 1. i 1 j 1


二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X
y1 y2 yj
Y
x1 p11
p12
x2 p21
p22


xi pi 1
pi 2


p1 j
p2 j

pij

例1 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地
记 pi pij P { X xi }, i 1,2,,
j 1
p j pij P {Y y j },
i 1
j 1,2,,
分别称 pi ( i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .
P{Y X } P{( X ,Y ) G }
y
f ( x , y ) d x d y
G
YX


0
y

2e( 2 x y ) d x d y
G
O
x
1 . 3
四、两个常用的分布
1.均匀分布
定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二 维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度 1 , ( x , y ) D, f ( x, y) S 0, 其他. 则称 ( X , Y ) 在 D 上服从 均匀分布.

( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域 , 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
二维正态分布的图形
五、小结
1. 二维随机变量的分布函数
F ( x , y ) P{ X x ,Y y }.
2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数
P{ X xi ,Y y j } pij ,
F ( x, y)
pij . x x
i
i , j 1,2,;
3. 二维连续型随机变量的概率密度
F ( x , y ) 的函数值就是随机点落 在如图所示区 域内的概率.
y
( x, y)
X x ,Y y
o
x
(2) 分布函数的性质
1o F ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y , 当 x2 x1 时 F ( x2 , y ) F ( x1 , y ),
图示
S
X (e )
e
Y (e )
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量, 对于任意实数 x , y , 二元函数 : F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P{ X x ,Y y } 称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数, 或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数 .
f X ( x)

y x2
O

f ( x , y ) d y 0.
x
因而得
6( x x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 其他. 0,
i 1
因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函 数分别为
FX ( x ) F ( x , )
FY ( y ) F ( , y )
x i x j 1

p ,
ij
y j y i 1

p .
ij
例1 已知下列分布律求其边缘分布律.
Y
X
0 1
0
12 42 12 42
G
例4
设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度
2e ( 2 x y ) , x 0, y 0, f ( x, y) 其它. 0, (1) 求分布函数 F ( x , y ); ( 2) 求概率 P{Y X }.
解 (1) F ( x , y )
f ( x, y) d x d y
yj y
F ( x, y)
f ( u, v ) du d v .
y
x
第二节
边缘分布
一、边缘分布函数
二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、小结
一、边缘分布函数
问题:已知 ( X ,Y ) 的分布 , 如何确定 X ,Y 的分布 ?
F ( x , y ) P{ X x ,Y y } , F ( x ) P{ X x },