Banach空间非线性四阶奇异积分边值问题正解的存在性

间 ｃ［ Ｅ】 中考 察边 值 问题 （） （） １ 和 ２．显然 ， （ ， ．ｌ） ｃｐ， ｌ １ 也是 一个 Ｂ ｎｃ １ Ｇ ａａｈ空间 ，其 中 ｆｔ Ｉｌ ｘ ｃ＝ ｆ（ Ｊ如果 ∈ ［ ｎＣ ［ Ｅ 满足边值 问题 （） （）则称为边值 问题 Ｉ ｔｔ ￣ ）． ， ］ １ 和 ２， （） （） １ 和 ２ 的一 个解 ．如果 Ｘ是边 值 问题 （） （） １ 和 ２ 的一个 非负 且非平 凡 的解 ，即 ∈ ［ Ｐ】 且 （ ≠ ｔ ， ￡ ， ∈Ｊ 则称 Ｘ是 边值 问题 （） （） ） １ 和 ２ 的一个 正解 ． 设 （ ：０ｌ一 Ｅ连 续 ，如果极 限 ｌ ｘｔ ｔ 在 ，则称抽象 广义积 分 ｘｔ ｔ ￡ （，】 ） ｉ ． （ｄ 存 ） （ｄ 是 ）
收稿 日期： ０ ８０ —０ 修订 日期 ： ０ ９ ０— ８ ２ ０ —７ １ ； ２ ０ — ５１
Ｅ－ ａ ｌ ｈｘ ９ ０ ＠ １ ３ Ｃ ｒ ｍ ｉ：ｚ ｑ１ ７５ ８ ６ ．Ｏ ｎ
｝基金项 目；国家 自 然科学基金 （０ ７ ７ 和聊城大学科研 启动基金 （１ ０ ） １６ １６） １ ３ ８ ５ 资助
秀
数学物理学报
２ １ ，０ ２ ： ６Байду номын сангаас５ ５ ０ ０３ Ａ（） ６ ７ ５ ｈｔ ： ａｔｍｓ ｐ ａ ． ｔｐ／ ｃａ ． ｍ． ａ ／ ｗｉ ｃｎ
Ｂａ ａｈ空 间非 线性 四阶奇 异 积分 边 值 问题 ｎｃ 正解 的存 在 性
张兴秋
（ 聊城大学数学科学学院 山 东聊城 ２ ２ ５ ） ５ ０ ９
．
殊 的 非空 凸闭集 ，利 用 ＭＳｃ 动点 定理在 有关 相应 线性 算子第 一特 征值 的条 件下 ，研 究 ｎｈ不 Ｂ ｎｃ ａａｈ空间 中具 有积 分边值 条 件的 四阶奇 异微 分方 程正解 的存 在性 ．本 文具 有 以下特 征： 首先， 我们是在抽象空间中研究的， 这不同于文献 【 ７ 其次，非线性项 ｆｔ ） ５ ］ ～； （ 乱 不但允许在 ， ｔ ， ＝０ １处具 有 奇异性 ，而且还 允许 在 ＝ ０具 有奇 异性 ；再 次 ，我 们使 用的方 法本 质上 不 同于文 献 即通过 引理 ６ 我 们首先 把 四阶边 值 问题 转化 为 二 阶边值 问题 ，然 后通 过 定义 ， 个线性 算子 和构 造特 殊 的凸 闭集 ，利用 ＭＳｃ ｎｈ不动点 定理 获得 主要结 果 ；最后 ，本文 使 用 的条 件 自然而 简单 ．本文 的最 后给 出 了主要结 果 在无穷 系统 中的应 用 ．
一
２ 预 备知 识 及 引 理
设 （ ｌ Ｉ 是一 个 实 Ｂ ｎ ｃ Ｅ， ．） Ｉ１ ａ ａｈ空 间， Ｐ为 Ｅ 中的一个 锥 ，从 而在 Ｅ 中引入 了半序 “ ， 即 Ｙ当且仅 当 Ｙ— ∈Ｐ．如果 存 在一个 正 常数 Ⅳ 使得 Ｘ Ｙ蕴含 【［ Ⅳ ｆ ｉｆ ｘ ， 则 称 Ｐ 是正 规常数 为 Ⅳ 的正规 锥 ．本文 中假 定锥 Ｐ 为正规 常 数为 ｌ的正规 锥 ，我 们在 空
文章编号：０３ ９８２ １）２５６１ １０— ９（０００—６—０ ３
１ 引言
具 有积分 条件 的边值 问题起 源 于物理 、化 学及 应用数 学 中的不 同领 域 ，如热 传导 、等离 子物理 、流体 力学 、化学 工程等 ．近 年来 ，多点边 值 问题 正解 的存 在性得 到 了广泛 的关 注 ， 见文 献 ［，－ ， ２ 及 其参 考文 献 ．具 有积分 条件 的 边值 问题包 含 两点 、三 点边 值 问题等 一 ３ ５６ １］ 些非 局部 问题作 为它 的特例 ．有关 积分边值 问题 的背景 及意 义见文 献 ［ ２及 其参考 文献 ． １ ］ － 本 文考 察 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间奇异 四阶微 分方 程 （ （ ＝ｆ ｔ ） ￡ ）） （ （ ，０＜ｔ １ ， ） ＜ 在具 有积分 的边值 条件 （） １
摘要：通过构造一个特殊的非空 凸闭集，利用 ＭＳ ｃ ｎ ｈ不动点定理在有关相应线性算子 的第一 特征值 的条件下 ，得到 了 Ｂａ ａｈ空间中具有积分边值条件的 四阶奇异微分方程正解的存在 ｎｃ
性．
关键词：奇异方程；积分边值；正解；不动点定理； Ｂａ ａｈ空间． ｎｃ Ｍ Ｒ（ ０ ０ ２ ０ ）主题分类：４ ５ ３ Ｂ１ 中图分类号： ７ ． 文献标识码： ３ Ｂ１ ； ４ ６ Ｏ１５８ Ａ
Ｎ． ｏ２
张兴秋 ： Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间非线性 四 阶奇异 积分 边值 问题正 解 的存在性
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文献 ｆ 利 用锥 中严 格集 压缩算 子 的不动 点定理 获得 了边 值 问题 （） （） ４ １ １ 和 ２ 正解 及多 个正解
的存在 性 ． 众 所 周知 ，特 征值 和 谱半径 是 线性 算 子 非常 重要 的 指标 ．近年 来 ，许 多学者 在 有关 线 性 算 子第 一特 征值 的条 件 下 ，利 用不 动点 指数 理论 得 到 了某些 微分 方 程正 解 的存 在性 结果 【—７ 但 是 ，在抽 象 空间 中相 应 的结果 还相 对较 少 ［． 上述文 献 的启发 ，本 文通 过构 造特 ５ １ ９ 受 】
｛（＝ （＝／ｇ）ｔｔ Ｉ ０ ｘ） ） １ （（ ， ｔ ） ｘｄ
ｌｌ ） ｚ（ 一／ｈ） （ｄ ！ 一 ） Ｘ（ ０ １ （ ） ｔ ｔｔ ｘ
Ｏ
（
２ ）
下 正解 的存 在 性 ，其 中 ｆ ∈ ［ ＸＰ＼ ， ， ＝ 【，］Ｊ Ｊ ｛｝Ｐ］ Ｊ ０１， ＝ （，）Ｒ ＝ （， ∞）Ｒ＋ ＝ ０１， ＋ ０＋ ， ［ ＋ ，， ［ １ 非负．非线性项 ｆｔ ）允许在 “＝ ０ｔ＝ ０或 ｔ＝ １处具有奇 ０ ∞） ｈ∈ ， ｇ ０］ ， （Ｕ ， ， 异性 ，即 ｌ （ ） Ｉｔ ｌ ｆ ， Ｉ— Ｏ （ ０ ｔ一 ０ ，一 或 一 ＋ ， 一 ＋ 意 味着 札 ＞ ０ｕ 一 ０ 记 ＋１ ） ， ． － （）ｓ０ （）ｓ本文 始终假 定 ０ Ｏ，＂ １最近 ，当非线性 项 ｆ连续 时 ， ０ ： ｇｓｄ ，２＝ ｈｓｄ， １ ＂ ＂０ １ ２＜ ．