单元四课题二2

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已知： 、 、 求梁的最大挠度和最大转角。 例1 已知：EI、l、F，求梁的最大挠度和最大转角。 解：①建立坐标系并列弯矩方程 y F A x l B x
M (x ) = − F (l − x )
②建立挠曲线微分方程并积分
EIy = M ( x ) = − F (l − x ) = Fx − Fl F EIy ' = EIθ = x 2 − Flx + C 2 F 3 F 2 EIy = x − lx + Cx + D 6 2
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课题二 梁的弯曲
概述 第一节 挠度和转角 第二节 挠曲线近似微分方程 第三节 用积分法求梁的位移 第四节 用叠加法求梁的位移 第五节 梁的刚度计算 第六节 简单超静定梁
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概述
齿轮啮合
桥式起重机大梁
研究范围： 研究范围：直梁在平面弯曲时的变形 研究内容： 研究内容： ①对梁做刚度计算 ②解超静定梁
ρ(x)
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3. 转角： 转角：
梁横截面相对于变形 前初始位置绕中性轴所转
y
ρ(x) θ B′ y B F x
过的角度, 称为转角， 过的角度 称为转角，用 θ表示。逆时针转过的转 表示。 表示 角为正，反之为负。 角为正，反之为负。 A x l 挠曲线表示为 ： y = f (x) C′ θ C
EIy″= M(x)
积分一次得转角方程： 积分一次得转角方程： 转角方程
注意： 注意：此式应分段应用
EIy ' = EI θ =
∫ M (x )dx
+C
再积分一次得挠曲线方程： 再积分一次得挠曲线方程： 挠曲线方程
EIy =
∫ ∫ M (x )dxdx
+ Cx + D
C、D均为积分常数 、 均为积分常数
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与转角θ的关系 二、挠度y与转角 的关系 挠度 与转角 y
dy tanθ = dx
工程中，梁的变形很小， 工程中，梁的变形很小， tanθ≈θ，即 A x
ρ(x) θ C′ θ C l y B F B′ x
dy θ= dx
该式表明：梁上任一横截面的转角等于该截面处 该式表明： 的挠度对截面位置变量x的一阶导数。 的挠度对截面位置变量 的一阶导数。 的一阶导数
Fl 3 = yB = − 3EI
2
最大挠度： 最大挠度： ymax
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已知： 、 、 建立梁的挠曲线方程和转角方程 建立梁的挠曲线方程和转角方程。 例2 已知：F、EI、l建立梁的挠曲线方程和转角方程。 解：①建立坐标系并列弯矩方 程 F F = F = 2 Fx M (x ) = F x = 2 L Fx l M (x ) = F x − F x − = −F x − 2 2 2
④确定挠曲线和转角方程
AC段 段
F θ1 = 4 x12 − l 2 16 EI Fx1 y1 = 4 x12 − 3l 2 48 EI
(
)
(
)
l 0 ≤ x1 ≤ 2
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第二节 挠曲线近似微分方程
M = EI ρ
1
⇒
Z
ρ (x
y
''
2
1
)
3 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M (x = EI Z ⇒ 1
) )
= ± y
''
ρ (x
1
)
''
= ±
M (x ) M (x ) '' ∴± y = ⇒y = ——挠曲线近似微分方程 挠曲线近似微分方程 EI Z EI Z
y
(1 +
y
'
)
ρ (x
"
当 x = 0，θA= 0，yA= 0， ∴C = D = 0
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Fx 转角方程： 转角方程：θ = (x − 2l ) 2 EI
y
Fx (x − 3l ) 挠曲线方程： 挠曲线方程： y = 6 EI
最大转角： 最大转角： θ max
2
F A x l B x
Fl =θB = − 2 EI
3 2
3
y A
l 2
F C x2
l 2
B x1 x FB
③确定积分常数
FA
2 2
x = 0,y = 0;x = l,y = 0
1 1
l x = x = ,θ = θ , y = y 2
1 2 1 2 1
2
Fl 2 代入相应方程得 D1 = D2 = 0, C1 = C2 = − 16 EI
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第一 节 挠度和转角 一、基本概念 1. 挠曲线 梁变形后， 梁变形后，轴线由直线 θ 变为光滑曲线，该曲线称为 变为光滑曲线， 挠曲线。 挠曲线。 2. 挠度 梁上任意横截面的形心 沿垂直于x轴线方向的线位 沿垂直于 轴线方向的线位 表示。 移，称为挠度，用y 表示。与 称为挠度， y轴同向为正，反向为负。 轴同向为正，反向为负。 轴同向为正 A x l C′ θ C y B F B′ x y
A B 1 1 A 1 2 2 A 2 2 2
②分段建立挠曲线微分方程并积分
EIy 1 = M ( x 1 ) =
"
Fx 1 2
y A
l 2
F C x2
l 2
B x1 x FB
EI θ 1 = EIy 1 EIy 1 =
3 1
'
Fx 12 = + C1 4
Fx + C 1 x1 + D 1 12
FA
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Fx2 l EIy = M (x2 ) = − F x2 − 2 2
" 2 2 Fx2 F l ' EIθ 2 = EIy2 = − x2 − + C 2 4 2 2 2
Fx F l EIy2 = − x2 − + C2 x2 + D2 12 6 2
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二、积分常数的确定 F A x1 x2 l 约束条件： 约束条件：x = 0，yA = 0 ， x = l，yB = 0 ， 连续条件： 连续条件：x1 = x2 = xc， yc左 = yc右 左 右 x = 0，yA= 0，θA= 0 ， ， C B A B F x
光滑条件： 光滑条件： x1 = x2 = xc， θc左 = θc右 左 右
d2y >0 2 dx M >0
d2y <0 2 dx M <0
x
O
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第三节 用积分法求梁的位移 一、微分方程的积分 工程中常用等截面直梁，弯曲刚度 或简写成EI） 工程中常用等截面直梁，弯曲刚度EIZ（或简写成 ） 为常量，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： 为常量，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：