第5章稳定性判据

s1,s2,…,sn：特征根
n 2 i j
因为
( s s1 )(s s2 )( s sn ) s ( si ) s
i 1
(
比较系数：
n a n 1 si , an i 1
i j i 1, j 2
s s )s
n
( 1)
n
s
i 1
系统不稳定
2. 系统稳定条件
线性定常系统：
( n) ( n1) o(t ) a0 xo(t ) xi(t ) anxo (t ) an 1 xo (t ) a1 x
X o ( s) 1 G( s) X i ( s) an s n an 1s n 1 ... a1s a0
制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才
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2
6. 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
K ( s 3) 例3 G ( s ) H ( s ) s( s 1)
例4
G( s ) H ( s )
(4 s 1) s 2 ( s 1)(2 s 1)
P=1
P=0
2 2 G( j ) H ( j ) 1 / 2
实验？ 思路：
如果不稳定，可能导致严重后果
①特征方程→根的分布（避免求解） ②开环传递函数→闭环系统的稳定性
（开环极点易知，闭环极点难求）
稳定判据
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2014.12.3讲到此就行！
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二、Routh （劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
s n 1 a n 1 s n 2 A1 s n 3 B1 s s
2
D1 E1 F1
s1
0
Routh 判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特 征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定 的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正， 且值不为零。
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一、系统的稳定性与稳定条件
1. 系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数）， 与输入无关 2. 不稳定现象的存在是由于正反馈的作用 3. 稳定性是指自由响应的收敛性
定义： 系统在初始状态作用下 输出 （响应） 无输入时的初态 输入引起的初态 系统稳定
收敛（回复平衡位置） 发散（偏离越来越大）
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机械工程控制基础
王振成
中原工学院信息商务学院 机械系
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第五章 系统的稳定性
——系统能正常工作的首要条件
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
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结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的
特征根。
线性定常系统稳定的充要条件：
若系统的全部特征根（传递函数的全部极点）
均具有负实部（位于[s]平面的左半平面），则系
统稳定。
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如何判别？ 求出闭环极点？
①高阶难求 ②不必要
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2. 系统稳定的充要条件
特征方程： D( s) an s n an1 s n1 a1 s a0 0 Routh 表：
s
n
an
an 2 an 3 A2 B2 D2
an 4 an 5 A3 B3
an 6 an 7 A4 B4

1
2
10.6
稳定
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不稳定
7. 应用举例
例1 系统的特征方程 D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0 Routh 表：
1 19 30 s4 1 11 0 s 3 1 ( 19) 1 11 30 30 0 （改变符号一次） s2 1 s 1 ( 30) 11 1 30 12 0 0 （改变符号一次） 0 30 s 30 0 0
G( s ) H ( s )
s lim re j
r 0

K (T j 1) s (Ti 1)
i 1 j 1 n
m
lim
r 0 s lim re j
r 0
K j e r
当s沿小半圆从=0－变化到=0＋时
角从－/2经0变化到/2
[GH]平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从 经0转到 2
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三、Nyquist 稳定判据
——几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性）
1. 幅角原理
设有复变函数：
K ( s z1 )(s z2 )( s zm ) F ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
映射 Ls
[ s ]平 面
[ F ( s )]平 面
LF
Ls：[s]平面上一封闭曲线 （不经过F(s)的奇点）
幅角原理：ｓ按顺时针方向沿Ls变 化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋 转N周，即包围原点N次。 N=Z-P Z：Ls内的F(s)的零点数 P：Ls内的F(s)的极点数
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第一列各元符号改变次数为2，因此 1. 系统不稳定 2. 系统有两个具有正实部的特征根
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n
i
an 3 an
i jk i 1, j 2 , k 3
s s s
i
n
j k
,
s s i j i j i 1, j 2 n a0 n ( 1) si an i 1 an 2 an
n
系统稳定的必要条件： 各系数同号且不为零 或： an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0
于[s]平面的左半平面）
n n si t si t lim A e A e 1i 2i 0 t i 1 i 1
自由响应收敛，系统稳定
2) 若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面）
l i me
t sk t

n n si t si t A1i e A2 i e lim t i 1 i 1
2. 开、闭环零极点与F(s)
GK ( s ) G( s ) H ( s ) K ( s z1 )(s z2 )( s zm ) ( s p1 )(s p2 )( s pn ) (n m)
GB ( s )
F ( s)
G( s ) 1 G( s ) H ( s )
其中：
a n 1a n 2 a n a n 3 a n 1 a a an an 5 A2 n1 n 4 a n 1 a a an an 7 A3 n 1 n 6 a n 1 A1

B1 B2 B3 A1a n 3 a n 1 A2 A1 A1a n 5 a n 1 A3 A1 A1a n 7 a n 1 A4 A1
自由响应发散，系统不稳定
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3) 若有特征根sk =±jω（位于[s]平面的虚轴上），其余极点 位于[s]平面的左半平面
n n si t si t lim A e A e 1i 2i t i 1 i 1
jt A e k
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特别：
二阶系统(n=2)稳定的充要条件为：
a2>0, a1>0, a0>0,
三阶系统(n=3)稳定的充要条件为：
a3>0,
a2>0,
a0>0,
a1a2－a0a3>0
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只能讲到此了！！！
P=1 开环不稳定， 闭环稳定
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6. 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
当s沿无穷小半圆逆时针方向移动时，有
s lim re j
r 0
G( s) H ( s)
K (T j 1) s (Ti 1)
i 1 j 1 n
m
映射到[GH]平面上的Nyquist轨迹为：
简谐运动
自由响应等幅振动，系统临界稳定
4) 若有特征根sk =0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s]
平面的左半平面
Ak e sk t Ak
n n si t si t A1i e A2 i e lim Ak t i 1 i 1
自由响应收敛于常值，系统稳定
取
F(s)=1＋G(s)H(s)=1+Gk(s)
( s p1 )(s p2 )( s pn ) K ( s z1 )(s z2 )( s zm ) ( s p1 )(s p2 )( s pn ) ( s s1 )(s s2 )( s sn ) ( s p1 )(s p2 )( s pn ) ( n n)
1. 系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： D( s) an s n an1 s n1 a1 s a0 0
sn a n 1 n 1 a a s 1 s 0 ( s s1 )(s s2 )( s sn ) an an an
n n n 1
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3.[s]平面上的 Nyquist轨迹的选取
4. [F(s)]与[GH]平面上 的Nyquist轨迹
F(s)=1+Gk(s)
① s 沿虚轴L1：s=jω，（ω从－∞到+∞）；LGH：G(j ω)H(j ω) 0 当n m s 沿L2：s→0； LGH： limG( s)H ( s)
自由响应 强迫响应
n
xo( t ) A1i e
i 1
n
si t
A2 i e si t B( t )
i 1
系统的初态引 起的自由响应
输入引起的 自由响应
si:系统的特征根.上式见P84的（3.1.12）
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1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位
s
常量
当n m
② LF包围原点的圈数 = LGH包围（－1，j0）点的圈数
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N=Z-P
5. 判据
当 由－ 到 + 时，若 [GH] 平面上的开环频率 特性G(j)H(j)逆时针方向包围（－1，j0）点P圈， 则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平 面的极点数） 对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环系统稳 定的充要条件是，系统的开环频率特性G(j)H(j) 不包围（-1，j0）点。
① 确定P ② 作G(j)H(j)的Nyquist图
③ 运用判据
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例1
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例2
G( s ) H ( s )
K (Ta s 1)(Tb s 1) (T12 s 2 2T1 s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)