第五章统计过程控制
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2
(3C P ) ( 3C P ) 1 2 ( 3C P )
所以不合格品率为：
p 1 P(TL x TU ) 2(3CP )
例：当CP=1时，求相应不合格品率P。 解：
P 2 (3 1) 2 (3) 2 0.00135 0.0027 P 0.27% (查标准正态分布表 )
1.5 例： 已知某零件尺寸要求为 50 (mm) ，抽取样本， S=0.5， X 50.6 ，求零件的不合格品率P。
解：
CP K
T 51.5 48.5 1.0 6S 6 0.5
0. 6 0.40 T /2 T /2 1. 5 P 1 [3 1(1 0.4)] [3 1(1 0.4)] 1 (3 1 0.6) (3 1.4) 1 (1.8) ( 4.2) 1 0.9641 0.00001335 0.03591335 即 P 3.59%
实践证明，能使两类错误总损失最 小的控制限幅度大致为 3σ。因此选取 μ±3σ作为上下控制限是经济合理的。
（三）控制图的种类
控 制 图 类 型 计 量 值 控 制图 控制图名 称 应用范围
计 数 值 控 制图
单值控制 图 平均值-极 差 中位值-极 差 单值-移动 极差 不合格品 率 不合格品 数 单位缺陷 数 缺陷数控 制图
例：当CP=0.9时，求相应不合格品率P。 解：
P 2(3 0.9) 2(2.7) 2 0.003467 0.006934 P 0.6934% (查标准正态分布表 )
2．当分布中心和标准中心不重合时的情况
首先计算合格品率：
P (TL x TU ) ( ( TU
2、两类错误
• 虚发警报：将正常判为异常，既生产仍 处于统计控制状态，但由于随机性原因 的影响，使得点子超出控制限，虚发警 报而将生产误判为出现了异常，把犯这 类错误的概率称为第Ⅰ类风险，记作α • 漏发警报：将异常判为正常，生产已经 变化为非统计控制状态，但点子没有超 出控制限，而将生产误判为正常，把犯 这类错误的概率称为第Ⅱ类风险，记作 β
2、过程能力的计算
在稳定生产状态下，影响工序能力 的偶然因素的综合结果近似地服从正态 分布。 一般采用稳定状态下工序质量指标 按标准差σ的6倍来表示，即
B=6σ
二、过程能力指数
1、过程能力指数的概念 过程能力指数是质量标准与过程能 力的比值，记为CP。
T T Cp B 6
2、过程能力指数的计算
（1）双侧公差而且分布中心和标准中心重 合的情况
CP
TU TL TU TL T 6 6 6s
例：某零件的强度的屈服界限设计要求为4800— 5200㎏/㎝2，从100个样品中测得样本标准偏差（S）为 62 ㎏/㎝2 ，平均值为5000 ㎏/㎝2 ，求过程能力指数。 解：过程能力指数为：
解：已知
C P 1.095 1 M (30.023 29.977) 30 2 T 30.023 29.977 0.046 M X 30 29.997 0.003
CPK
0.003 (1 K )CP (1 ) 1.095 0.952 1 0.046 2
③连续100个点子至多2个点子落在控制限外
2、判断异常的准则
点子排列有缺陷，主要是指出现 “链状”、“偏离”、“倾向”、“周 期”、“接近”等情况，则判为异常。
准则1：一点落在A区以外 准则2：连续9点落在中心线同一侧
准则2的图示
• 准则3：连续6点递增或递减
由上例看出CP=1.6是很充足的，但由 于存在偏移量，使过程能力指数下降到 0.32，造成过程能力严重不足。所以调 整过程加工的分布中心，消除偏移量， 是提高过程能力指数的有效措施。
第二节
控制图
控制图概述 计量值控制图 计数值控制图 控制图的观察分析
一、控制图概述
（一）控制图的概念
1、概念 控制图是对过程质量加以测定、记 录从而进行控制的一种用科学方法设计 的图(休哈特控制图)
费时，费用高，数据不便分组等。
控制尺寸、重量、时间、强度、成分 等。 基本与平均值-极差控制图一致。 用于数据不能分组时的情况。 不合格率、合格率、材料利用率、缺 勤率等。 不合格品数、出勤人数等。 用于单位面积、单位长度上缺陷数的 控制。 气孔、砂眼数、疵点等。
二、计量值控制图
平均值-极差控制图（ x R 控制图） x R 控制图是 x 控制图与R控制图并 用的形式。计算要适当分组，求出每组 的平均值 x 与每组的极差R，分别在 x 和 R控制图上打点， x 控制图主要观察分析 平均值 x 的变化，R控制图主要观察分析 各组的离散波动变化
（3）单侧公差情况下CP值的计算
按3σ分布的原理，在单侧标准的情 况下就可用3σ作为计算CP值的基础
①只规定上限标准时，过程能力指数为
C P上
TU TU X 3 3S
注意：当µ U时，则认为CP=0，这时可能出现的不合格率高 ≥T 达50%~100%。
②只规定下限标准时，过程能力指数为
) (
TL
K
因此
2 2 T 6CP 3CP
3 KC P
结果
P(TL x TU ) [3CP (1 K )] [3CP (1 K )]
所以不合格品率为
p 1 P(TL x TU ) 1 [3CP (1 K )] [3CP (1 K )]
2、控制图的组成
UCL(Upper Control Limit) 上控制限 LCL(Lower Control Limit) 下控制限 CL (Central Line)中心线 按时间顺序或样本号抽取的样品统计量数值的描点序列
（二）控制图的统计原理
1、3σ 原理
• 设当生产不存在系统性原因时，P（μ-3σ<X <μ+3σ）=0.9973 • 根据3σ原理，在一次试验中，如果样品出现 在分布范围（μ-3σ，μ+3σ）的外面，则认为 生产处于非控制状态。我们把μ-3σ定为LCL， μ+3σ定为UCL，μ定为CL，这样得到的控制 图称为3σ原理的控制图，也即称为休哈特控 制图
M X
3、查表法
• 根据CP 和K求总体不合格品率的数值表 求不合格品率P（CP—K—P数值表法）
四、过程能力分析
1、过程能力的判定
2、提高过程能力指数的途径
提高过程能力指数就有三个途径 （1）调整过程加工的分布中心，减少偏 移量 （2）提高过程能力减少分散程度 （3）修订标准范围
8 0..10 ，随机抽 例：已知某零件尺寸标准为 0 05
• x 控制图中心线和上下控制限的确定
CL x UCL x A2 R LCL x A2 R
• R控制图中心线和上下控制限的确定
CL R UCL D 4 R LCL D3 R
•A2 、D3，D4是与试样大小n有关的系数，可查表 •当n≤6时，D3为负值，但R不可能为负值，这时 LCL不存在
5200 4800 CP 6 62 1.075
（2）分布中心和标准中心不重合的情况下CPK 值的计算
C PK C（ K） P 1
K
T /2
M T /2
TU TL M 2
300.023 例：设零件的尺寸要求（技术标准） 随机抽样后计算样本特性值为
，
X 29.997 CP 1.095 CPK ， ，求
TU
TL
1 2
e )
t2 2
dt
T M M M ) ( L ) T T ( ) ( ) 2 2 (3C P ) ( 3C P ) TU M (3C P 3KC P ) ( 3C P 3KC P ) [3C P (1 K )] [ 3C P (1 K )]
第五章 统计过程控制
第一节 过程能力指数概述 一、过程能力 1、过程能力的概念
•工序能力 •是指处于稳定状态下的过程（或工序）实际的加工能力 •稳定状态：
原材料或上一道工序半成品按照标准要求供应 本工序按作业标准实施，并应在影响工序质量各主要因素无 异常的条件下进行 工序完成后，产品检测按标准要求进行 •过程能力是过程本身所固有的能力，与外界的要求无关
Ri max{xi } min{xi }
3)计算所有样本总平均值和平均极差
X X 2 X i X n 1 X 1 K K
X
i 1
K
i
R R2 Ri Rk 1 R 1 K K
R
i 1
K
i
96.53 3.861 25 25 .7 R 1.028 25 X
4)计算 X 图的参数 本例中n=4，查表得A2=0.729
CLX X 3.861
UCLX X A2 R 3.861 0.7201.028 4.610
LCLX X A2 R 3.861 0.7201.028 3.112
Leabharlann Baidu
5)计算R图的参数
本例中n=4，查表,得D4=2.282，因n小于6，D3=0， 所以下控制限可以不考虑
三、过程不合格品率的计算
1．当分布中心和标准中心重合时的情况 在TL和TU之间的分布函数值就是合格品率，即
t dt 1 P (TL x TU ) TL e 2 2 T T T T ( U ) ( L ) ( ) ( ) 2 2 TU
x R 控制图的作法
•
某制药厂片剂车间生产某种药品对颗粒水分的数据如表5---10所 示，试作 x R 控制图。
1)
2)
取预备数据，本例共分K=25个子组，每个子组的数 据组成一个样本，子组大小n=4 计算各子组样本的平均值与极差R
x1 x 2 x3 x n Xi n
C P下
TL X TL 3 3S
注意：当µ L时，则认为CP=0，这时可能出现的不合格率同 ≤T 样为50%~100%。
例：某一产品含某一杂质要求最高不能超 X 过12.2毫克，样本标准偏差S为0.038， 为 12.1，求过程能力指数。
TU X CP 3S 12.2 12.1 3 0.038 0.877
样 后 计 算 出 的 样 本 特 性 值 ， S=0.00519， X 7.945 ，计算过程能力指数。 解： TL 7.9，TU 7.95 M 7.925 ，
X M 7.945 7.925 0.02
2 2 0.02 K 0.8 T 0.05 T 0.05 CP 1.6 6 S 6 0.00519 C PK C P (1 K ) 1.6 (1 0.8) 0.32
CL R R 1.028
UCLR D4 R 2.2821.028 2.346
6)画控制图
三 、计数值控制图
不合格品率控制图（P控制图）
按照3σ原理，P控制图的控制界限为：
CL p p 1 p UCL p 3 n p 1 p LCL p 3 n
d p n
i
i
实际工作中，n一般是不相等的，为 简化计算，用样本大小的平均数 代替各个ni，将控制界限拉直。
1 k n ni k i 1
四、控制图的观察分析
1、判断稳态的准则 •控制图上的点子没有越出控制界限 •控制图上的点子排列没有缺陷
①连续25个点子都在控制限内
②连续35个点子至多1个点子落在控制限外
(3C P ) ( 3C P ) 1 2 ( 3C P )
所以不合格品率为：
p 1 P(TL x TU ) 2(3CP )
例：当CP=1时，求相应不合格品率P。 解：
P 2 (3 1) 2 (3) 2 0.00135 0.0027 P 0.27% (查标准正态分布表 )
1.5 例： 已知某零件尺寸要求为 50 (mm) ，抽取样本， S=0.5， X 50.6 ，求零件的不合格品率P。
解：
CP K
T 51.5 48.5 1.0 6S 6 0.5
0. 6 0.40 T /2 T /2 1. 5 P 1 [3 1(1 0.4)] [3 1(1 0.4)] 1 (3 1 0.6) (3 1.4) 1 (1.8) ( 4.2) 1 0.9641 0.00001335 0.03591335 即 P 3.59%
实践证明，能使两类错误总损失最 小的控制限幅度大致为 3σ。因此选取 μ±3σ作为上下控制限是经济合理的。
（三）控制图的种类
控 制 图 类 型 计 量 值 控 制图 控制图名 称 应用范围
计 数 值 控 制图
单值控制 图 平均值-极 差 中位值-极 差 单值-移动 极差 不合格品 率 不合格品 数 单位缺陷 数 缺陷数控 制图
例：当CP=0.9时，求相应不合格品率P。 解：
P 2(3 0.9) 2(2.7) 2 0.003467 0.006934 P 0.6934% (查标准正态分布表 )
2．当分布中心和标准中心不重合时的情况
首先计算合格品率：
P (TL x TU ) ( ( TU
2、两类错误
• 虚发警报：将正常判为异常，既生产仍 处于统计控制状态，但由于随机性原因 的影响，使得点子超出控制限，虚发警 报而将生产误判为出现了异常，把犯这 类错误的概率称为第Ⅰ类风险，记作α • 漏发警报：将异常判为正常，生产已经 变化为非统计控制状态，但点子没有超 出控制限，而将生产误判为正常，把犯 这类错误的概率称为第Ⅱ类风险，记作 β
2、过程能力的计算
在稳定生产状态下，影响工序能力 的偶然因素的综合结果近似地服从正态 分布。 一般采用稳定状态下工序质量指标 按标准差σ的6倍来表示，即
B=6σ
二、过程能力指数
1、过程能力指数的概念 过程能力指数是质量标准与过程能 力的比值，记为CP。
T T Cp B 6
2、过程能力指数的计算
（1）双侧公差而且分布中心和标准中心重 合的情况
CP
TU TL TU TL T 6 6 6s
例：某零件的强度的屈服界限设计要求为4800— 5200㎏/㎝2，从100个样品中测得样本标准偏差（S）为 62 ㎏/㎝2 ，平均值为5000 ㎏/㎝2 ，求过程能力指数。 解：过程能力指数为：
解：已知
C P 1.095 1 M (30.023 29.977) 30 2 T 30.023 29.977 0.046 M X 30 29.997 0.003
CPK
0.003 (1 K )CP (1 ) 1.095 0.952 1 0.046 2
③连续100个点子至多2个点子落在控制限外
2、判断异常的准则
点子排列有缺陷，主要是指出现 “链状”、“偏离”、“倾向”、“周 期”、“接近”等情况，则判为异常。
准则1：一点落在A区以外 准则2：连续9点落在中心线同一侧
准则2的图示
• 准则3：连续6点递增或递减
由上例看出CP=1.6是很充足的，但由 于存在偏移量，使过程能力指数下降到 0.32，造成过程能力严重不足。所以调 整过程加工的分布中心，消除偏移量， 是提高过程能力指数的有效措施。
第二节
控制图
控制图概述 计量值控制图 计数值控制图 控制图的观察分析
一、控制图概述
（一）控制图的概念
1、概念 控制图是对过程质量加以测定、记 录从而进行控制的一种用科学方法设计 的图(休哈特控制图)
费时，费用高，数据不便分组等。
控制尺寸、重量、时间、强度、成分 等。 基本与平均值-极差控制图一致。 用于数据不能分组时的情况。 不合格率、合格率、材料利用率、缺 勤率等。 不合格品数、出勤人数等。 用于单位面积、单位长度上缺陷数的 控制。 气孔、砂眼数、疵点等。
二、计量值控制图
平均值-极差控制图（ x R 控制图） x R 控制图是 x 控制图与R控制图并 用的形式。计算要适当分组，求出每组 的平均值 x 与每组的极差R，分别在 x 和 R控制图上打点， x 控制图主要观察分析 平均值 x 的变化，R控制图主要观察分析 各组的离散波动变化
（3）单侧公差情况下CP值的计算
按3σ分布的原理，在单侧标准的情 况下就可用3σ作为计算CP值的基础
①只规定上限标准时，过程能力指数为
C P上
TU TU X 3 3S
注意：当µ U时，则认为CP=0，这时可能出现的不合格率高 ≥T 达50%~100%。
②只规定下限标准时，过程能力指数为
) (
TL
K
因此
2 2 T 6CP 3CP
3 KC P
结果
P(TL x TU ) [3CP (1 K )] [3CP (1 K )]
所以不合格品率为
p 1 P(TL x TU ) 1 [3CP (1 K )] [3CP (1 K )]
2、控制图的组成
UCL(Upper Control Limit) 上控制限 LCL(Lower Control Limit) 下控制限 CL (Central Line)中心线 按时间顺序或样本号抽取的样品统计量数值的描点序列
（二）控制图的统计原理
1、3σ 原理
• 设当生产不存在系统性原因时，P（μ-3σ<X <μ+3σ）=0.9973 • 根据3σ原理，在一次试验中，如果样品出现 在分布范围（μ-3σ，μ+3σ）的外面，则认为 生产处于非控制状态。我们把μ-3σ定为LCL， μ+3σ定为UCL，μ定为CL，这样得到的控制 图称为3σ原理的控制图，也即称为休哈特控 制图
M X
3、查表法
• 根据CP 和K求总体不合格品率的数值表 求不合格品率P（CP—K—P数值表法）
四、过程能力分析
1、过程能力的判定
2、提高过程能力指数的途径
提高过程能力指数就有三个途径 （1）调整过程加工的分布中心，减少偏 移量 （2）提高过程能力减少分散程度 （3）修订标准范围
8 0..10 ，随机抽 例：已知某零件尺寸标准为 0 05
• x 控制图中心线和上下控制限的确定
CL x UCL x A2 R LCL x A2 R
• R控制图中心线和上下控制限的确定
CL R UCL D 4 R LCL D3 R
•A2 、D3，D4是与试样大小n有关的系数，可查表 •当n≤6时，D3为负值，但R不可能为负值，这时 LCL不存在
5200 4800 CP 6 62 1.075
（2）分布中心和标准中心不重合的情况下CPK 值的计算
C PK C（ K） P 1
K
T /2
M T /2
TU TL M 2
300.023 例：设零件的尺寸要求（技术标准） 随机抽样后计算样本特性值为
，
X 29.997 CP 1.095 CPK ， ，求
TU
TL
1 2
e )
t2 2
dt
T M M M ) ( L ) T T ( ) ( ) 2 2 (3C P ) ( 3C P ) TU M (3C P 3KC P ) ( 3C P 3KC P ) [3C P (1 K )] [ 3C P (1 K )]
第五章 统计过程控制
第一节 过程能力指数概述 一、过程能力 1、过程能力的概念
•工序能力 •是指处于稳定状态下的过程（或工序）实际的加工能力 •稳定状态：
原材料或上一道工序半成品按照标准要求供应 本工序按作业标准实施，并应在影响工序质量各主要因素无 异常的条件下进行 工序完成后，产品检测按标准要求进行 •过程能力是过程本身所固有的能力，与外界的要求无关
Ri max{xi } min{xi }
3)计算所有样本总平均值和平均极差
X X 2 X i X n 1 X 1 K K
X
i 1
K
i
R R2 Ri Rk 1 R 1 K K
R
i 1
K
i
96.53 3.861 25 25 .7 R 1.028 25 X
4)计算 X 图的参数 本例中n=4，查表得A2=0.729
CLX X 3.861
UCLX X A2 R 3.861 0.7201.028 4.610
LCLX X A2 R 3.861 0.7201.028 3.112
Leabharlann Baidu
5)计算R图的参数
本例中n=4，查表,得D4=2.282，因n小于6，D3=0， 所以下控制限可以不考虑
三、过程不合格品率的计算
1．当分布中心和标准中心重合时的情况 在TL和TU之间的分布函数值就是合格品率，即
t dt 1 P (TL x TU ) TL e 2 2 T T T T ( U ) ( L ) ( ) ( ) 2 2 TU
x R 控制图的作法
•
某制药厂片剂车间生产某种药品对颗粒水分的数据如表5---10所 示，试作 x R 控制图。
1)
2)
取预备数据，本例共分K=25个子组，每个子组的数 据组成一个样本，子组大小n=4 计算各子组样本的平均值与极差R
x1 x 2 x3 x n Xi n
C P下
TL X TL 3 3S
注意：当µ L时，则认为CP=0，这时可能出现的不合格率同 ≤T 样为50%~100%。
例：某一产品含某一杂质要求最高不能超 X 过12.2毫克，样本标准偏差S为0.038， 为 12.1，求过程能力指数。
TU X CP 3S 12.2 12.1 3 0.038 0.877
样 后 计 算 出 的 样 本 特 性 值 ， S=0.00519， X 7.945 ，计算过程能力指数。 解： TL 7.9，TU 7.95 M 7.925 ，
X M 7.945 7.925 0.02
2 2 0.02 K 0.8 T 0.05 T 0.05 CP 1.6 6 S 6 0.00519 C PK C P (1 K ) 1.6 (1 0.8) 0.32
CL R R 1.028
UCLR D4 R 2.2821.028 2.346
6)画控制图
三 、计数值控制图
不合格品率控制图（P控制图）
按照3σ原理，P控制图的控制界限为：
CL p p 1 p UCL p 3 n p 1 p LCL p 3 n
d p n
i
i
实际工作中，n一般是不相等的，为 简化计算，用样本大小的平均数 代替各个ni，将控制界限拉直。
1 k n ni k i 1
四、控制图的观察分析
1、判断稳态的准则 •控制图上的点子没有越出控制界限 •控制图上的点子排列没有缺陷
①连续25个点子都在控制限内
②连续35个点子至多1个点子落在控制限外