离散数学,命题逻辑等值演算

p∨q，p∨ ¬ r均是有两个文字的简单析取 式，即子句。 p∧q∧r，p∧q∧ ¬ q均是有三个文字的简 单合取式。
定理 2.1
(1) 一个简单析取式是重言式， 当且仅当 它同时含有一个命题变元及其否定。 (2) 一个简单合取式是矛盾式， 当且仅当 它同时含有一个命题变元及其否定。 • 例如， p∨q∨¬ p 是重言式 p∧¬ q∧ q是矛盾式
范式存在定理
定理2.3 • 任一命题公式都存在着与之等值的 析取范式 • 任一命题公式都存在着与之等值的 求范式的步骤如下： 合取范式 ⑴ 消去联结词“→”和“↔”
⑵ 利用双重否定律消去否定联结词“¬”或 利用德摩根律将否定联结词“¬”移到各命题变 元前(¬内移)。 ⑶ 利用分配律，结合律将公式归约为合取 范式和析取范式。
通过主范式判别公式类型
定理 • A为重言式当且仅当A的主析取范式含全 部2n个极小项（主合取范式0个极大项） • A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含 任何极小项（主合取范式含所有的极大 项） • A为可满足式当且仅当A的主析取范式至 少含一个极小项。
主析取范式与主合取范式的关系
定Leabharlann Baidu：
• 同一公式的主析取范式中极小项m的下标和主 合取范式中极大项M的下标是互补的。 • 换言之，对于任一公式， 在它的2n个赋值中， 非0即1， 因此其主析取范式中的极小项和其 主合取范式中的极大项的个数之和恰为2n， 且其下标不会相同。
练习
• 求析取范式与合取范式： (p→q)↔r 合取范式 （p∨r) ∧ (¬q∨r) ∧ (¬p∨q∨¬r) 析取范式 （p∧¬q∧¬r）∨（ ¬p∧r ）∨（ q∧r ）
极小项与极大项
定义2.4
极小项：在含有n个命题变元的简单合取式中， 若每个命题变元和它的否定式不同时出现，而 二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题 变元（或它的否定式）出现在从左算起的第i 位上。 极大项：简单析取式中满足如上条件。
解：p：王教授是苏州人 q：王教授是上海人 r：王教授是杭州人
解题思路
• p q r 0 0 1 根据实际情况， 只有3个赋值， 0 1 0 而不是 8 个 1 0 0 • 王教授的话是对的，写出公式 A（p,q,r)，找出它的成真赋值
作业
习题二 38－39页 题目： 3，4 17，18 19，20
极小项的性质
• 可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为 m 的下标来表示该极小项，叫做该极小项的名称。 • 极小项与其成真赋值的对应关系为：变元对应 1 ， 而变元的否定对应0。
极小项 ¬p∧¬q ¬p∧q 成真赋值 00 01 名称 m0 m1
p∧¬q
p∧q
10
11
m2
m3
极小项的性质
极小项 ¬p∧¬q∧¬r ¬p∧¬q∧r ¬p∧q∧¬r 成真赋值 000 001 010 名称 m0 m1 m2
归谬论的例子
• 一个岛上有一个风俗，凡是外乡人都要作 为祭品被杀掉。 • 但允许被杀的人在临死前说一句话。 • 如果这句话是真的，则死在真理之神面前。 • 如果这句话是假的，则死在错误之神面前。 • 一个哲学家说了一句话，而免于一死。
等值演算与置换规则
• 由已知的等值式推演出另外的等值 式的过程称为等值演算。 • 置换规则
练习
1.用等值演算验证等值式 （1） (p∨q)→r (p→r)∧ (q→r) （2） （(p∨q)∧ ¬（p∧q）） ¬（ p ↔ q） 2.判断公式的类型 （1）（p→q）∧p →q （2） （¬（p→q）∧q）∧r
判断问题
【例2.6】判断王教授是哪里人：
• • • • 甲说王教授不是苏州人，是上海人 乙说王教授不是上海人，是苏州人 丙说不是上海人，也不是杭州人 王教授说三个人中一个说的全对，一个说对 了一半，另一个全不对。
等值演算的例子
【例2.2】用等值演算法判断下列 公式的类型。 ⑴ q∨¬ ((¬p∨q)∧p) ⑵ (p∨¬p)→((q∧ ¬q)∧r) ⑶ (p→q)∧¬p
等值演算的例子
解：⑴ q∨¬((¬p∨q)∧p) q∨¬((¬p∧p)∨(q∧p)) q∨¬(0∨(q∧p)) q∨¬(q∧p) q∨(¬q∨¬p) (q∨¬q)∨¬p 1∨¬p 1 由此可知，⑴为重言式。 (分配律) (矛盾律) (同一律) (德摩根律) (结合律) (排中律) (零律)
0
0 0
0
1 1
1
0 1
1
1 1
1
0 1
1
1 1
1
1 1 1
0
0 1 1
0
1 0 1
1
1 0 1
1
1 0 1
1
1 0 1
十六组重要的等值式（模式）
• 1.双重否定律 A ¬ ¬ A • 2.幂等律 A∧A A，A∨A A • 3.交换律 A∨B B∨A，A∧B B∧A • 4.结合律 (A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
蕴涵等值式的例子
• 蕴涵等值式： A→B ¬A∨B • 否定形式：并非（pq) ¬ (p→q) p ∧ ¬ q • 例： 并非招手即停 招手且不停车
归谬论的应用
• 归谬论 (A→B)∧(A→¬B) ¬A • 反证法 如果非p，则q 如果非p，则非q 所以，p
归谬论的例子
• 亚理士多德：物体的下落速度 与物体的重量成正比。 • 伽利略的思想实验： A快B慢，A＋B比A快； A快B慢，A＋B比A慢。
极小（大）项的核心性质
• 定理：n个命题变元共有2n个极小项（极大项）。
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
p∧q
0 0 0 1
p∧¬q
0 0 1 0
¬p∧q
0 1 0 0
¬p∧¬q
1 0 0 0
• 每个极小（大）项只有一个成真（假）赋值，且 各极小项的成真赋值互不相同。 • 极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。
例题
【例2.7】 求(p∨q)↔p的合取范式和析取范式。
(p∨q)↔p ((p∨q)→p)∧(p→(p∨q)) (¬(p∨q)∨p)∧(¬p∨(p∨q)) ((¬p∧¬q)∨p)∧(¬p∨(p∨q)) (¬p∨p)∧(¬q∨p)∧(¬p∨p∨q) ) 1∧(¬q∨p)∧(1∨q) 1∧(¬q∨p)∧1 (¬q∨p)
¬p∧q∧r
p∧¬q∧¬r p∧¬q∧r
011
100 101
m3
m4 m5
p∧q∧¬r
p∧q∧r
110
111
m6
m7
极大项
极大项 p∨q∨r p∨q∨¬r 成假赋值 000 001 名称 M0 M1
极大项 p∨q p∨¬q ¬p∨q
成假赋值 名称 00 01 10 M0 M1 M2
¬p∨¬q
11
M3
定理2.4
¬ m i M i m i ¬ M i
定义：主范式
定义2.5 主析取范式：析取范式中所有的简单合取式都 是极小项。 主合取范式：合取范式中所有的简单析取式都 是极大项。 例： m0∨m1∨m7 M0∧M2∧M6 （ n＝ 3） （n＝3）
问题： 对于n个命题变元， 有多少个主析（合）取范式？
等值演算的例子
解：⑵ (p∨¬p)→((q∧¬q)∧r) 1→((q∧¬q)∧r) (排中律) 1→(0∧r) (矛盾律) 1→0 (零律) 0 (条件联结词的定义) 由此可知，⑵为矛盾式。 ⑶ (p→q)∧¬p (¬p∨q)∧¬p (蕴涵等值式) ¬p (吸收律) 由此可知，⑶是可满足式。
p∨¬q∨r
p∨¬q∨¬r ¬p∨q∨r p∨q∨¬r ¬p∨¬q∨r ¬p∨¬q∨¬r
010
011 100 101 110 111
M2
M3 M4 M5 M6 M7
练习
• 写出极小项的公式：
m4
m6
m7
当变元的个数分别为3、4时。 • 写出极大项的公式：
M4
M6
M7
当变元的个数分别为3、4时。
定理：极小项与极大项
第二章 命题逻辑 等值演算
• 2.1 等值式 重点
• 2.2 析取范式与合取范式
• 2.3 联结词的完备集 难点 • 2.4 可满足性问题与消解法
2.1 等值式
定义2.1 设A、B是任意两个命题公式，若等价式 A ↔ B为重言式，则称A与B是等值的， 记作：A B
• ⑴ 自反性，即对任意命题公式A， AA • ⑵ 对称性，即对任意命题公式A和B， 若AB，则BA • ⑶ 传递性，即对任意命题公式A，B和C， 若AB，BC，则AC
十六组重要的等值式
• 5.分配律 (提取公因式） A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) ( A∨B)∧(A∨C) • 6.德摩根律 ¬(A∨B) ¬A∧¬B ¬(A∧B) ¬A∨¬B
德摩根律的例子
• “地大物博”的否定： 地不大或物不博 ¬(A∧B) ¬A∨¬B • “用人民币或港币支付”的否定： 既不能用人民币支付，也不能用 港币支付 ¬(A∨B) ¬A∧¬B
• 练习： p→q
主范式与真值表
定理： • 若公式A中含n个命题变元，A的主析取 范式含s（0≤s≤2n）个极小项，则A有s 个成真赋值，它们是所含极小项编号的 二进制表示，其余2n –s个赋值都是成 假赋值。 • 反之也成立。 • 对主合取范式有相同的结果（对应成 假赋值）
从真值表求主范式
【例】用真值表法，求(p→q)→r的主范式。 m001∨m011∨m100∨m101∨m111 m1∨m3∨m4∨m5∨m7
十六组重要的等值式
• 7.吸收律
A∨(A∧B)A，A∧(A∨B)A
• 8.零律 A∨11，A∧00
• 9.同一律
A∨0A，A∧1A • 10.排中律 A∨¬A 1 • 11.矛盾律 A∧¬A 0
十六组重要的等值式
• 12.蕴涵等值式 A→B ¬A∨B • 13.等价等值式 A↔B (A→B)∧(B→A) • 14.假言易位 A→B ¬B→¬A • 15.等价否定等值式 A ↔B ¬ A ↔ ¬ B • 16.归谬论 (A→B)∧(A→¬B) ¬A
范式（normal form）的定义
定义2.3 • 析取范式 由有限个简单合取式构成的析 取 式 ， 简 称 DNF （ disjunctive normal form）。 • 合取范式 由有限个简单析取式构成的合 析取范式的例子： 取式，简称CNF（conjunctive normal A = A1 ∨ A2 ∨… ∨ An form）。 = (p∧q∧r) ∨ (p∧q∧ ¬ q) ∨p
两点注意
• “”与“=” “A=B”表示两公式一样， “A B”表示两公式真值一样
• 与↔是两类完全不同的符号 ↔是联结词、运算符，A↔B是一个公式。 不是联结词， 而是两个公式之间的关系符
真值表判断等值
p 0 q 0 r 0 p(qr） 1 (pq)r 0 (p∧q)r 1
2.2 析取范式与合取范式
定义2.2 •将命题变元及其否定统称为文字 （literal）。 • 简单析取式（基本和）： 仅由有限个文字 例如： 构成的析取式，也称为子句（clause）。 p、q既是一个文字的简单析取式， 又是一 • 简单合取式（基本积）：仅由有限个文字构 个文字的简单合取式。 成的合取式。
2
2
n
主范式的存在性与唯一性
定理2.5 任何命题公式都存在与之等值的主 析取范式和主合取范式，并且是唯 一的。
证明： （1）存在性：等值演算 （2）唯一性：反证法
例题与练习
【例2.8】求主析取范式与主合取范式： (p→q)↔r
合取范式 （p∨r) ∧ (¬q∨r) ∧ (¬p∨q∨¬r) 析取范式 （p∧¬q∧¬r）∨（ ¬p∧r ）∨（ q∧r ）
p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 p→q 1 1 1 1 0 0 1 1 (p→q)→r 0 1 0 1 1 1 0 1
“排斥或”的公式
排斥或
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
排斥或
0 1 1 0
排斥或：
(¬ p∧q) ∨ (p∧¬ q) m1 ∨ m2
设（A）是一个含有公式A的命题公式， （B）是用公式B置换了（A）中的公式 A后得到的公式， 如果A B，那么 （A） （B）。
等值演算的例子
【例2.1】 用等值演算验证等值式 p→（q→r）（p∧q）→r
p (q r ) p (q r ) p (q r ) (p q ) r ( p q ) r ( p q) r